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广东省中山市2012-2013学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(文科)



中山市 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试 高三数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选

涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2, 3, 5}, B ? {2, 4,6} ,则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) B. ?4, 6? D. ?4,6,7,8? ) B.65
b

A. ?2?

C. ?1,3,5? A.130
a

2.等差数列 {an } 的前n项和为 Sn ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30 ,则 S13 的值是( C.70 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.75 3.“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形
2



B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 )

5.直线 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0,

?
4

]

B. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?


6. 有编号分别为 1, 3, 5 的 5 个红球和 5 个黑球, 2, 4, 从中取出 4 个, 则取出的编号互不相同的概率为 (

A.

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

第 1 页 共 1 页

7.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点,且

AB ? 3, 则 OA? OB 的值是(
A. ?

) D.0 ) D.n ? 8

1 3 1 B. C. ? 2 2 4 8.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为(
A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7

9.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面 上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③
2

A1 B1 E F A D H

D1

C1

G

) C.②④

B

C

B.①③

D.①③④

10.函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的图象如图所示,则函数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是(
A. ( , )

) D. (2,3)

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C.(1,2)

第Ⅱ 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上.) 11、若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为
4

。 。 .

12、若命题“存在实数 x,使 x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为
2

13、如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 14、将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 5 3 6
第 2 页 共 2 页

7 8 9 10 ………………………

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)
? 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点 F (0,1) ,与 x 轴交于 2 点 B , C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 ? .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;
? 2 5 ? ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. (Ⅱ)若 f (? ? ) ? 6 5 2 4

y

x

16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3 , a4 ? a6 ? 18 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ?1 ? 2bn ,并且 b1 ? a5 ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 17.(本小题满分 14 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,
C1

1 点 F 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4

A1

D

B1

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分 14 分) 某中学共有学生 2000 人,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 x 370 高三年级 y z
A F E C

B

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)求 x 的值;
第 3 页 共 3 页

(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (Ⅲ)已知 y ? 245, z ? 245 ,求高三年级中女生比男生多的概率. 19.(本小题满分 14 分) 某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销售量 可达到 15 ? 0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定 价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比 例系数为 10.假设不计其它成本,即销售每套丛书的利润 ? 售价 ? 供货价格.问: (Ⅰ)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获得的总利润是多少万元? (Ⅱ)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a, b 是常数. 3

(Ⅰ)已知 a ? ?0,1,2?, b ? ?0,1,2? ,求事件 A :“ f ?1? ? 0 ”发生的概率; (Ⅱ)若 f ?x ? 是 R 上的奇函数, g ?a ? 是 f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值,求当 a ? 1 时 g ?a ? 的解析式; ( Ⅲ ) 记 y ? f ?x ? 的 导 函 数 为 f ?? x ? , 则 当 a ? 1 时 , 对 任 意 x1 ? ?0,2? , 总 存 在 x2 ? ?0,2? 使 得

f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

中山市高三级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题: 二、 填空题 11 、 答案 B A B C B D A B D B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n2 ? n ? 6 ? 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 12、 a ? ?2或a ? 2 ; 13、 ;14、 2 3
三、解答题
1 15.解:(I)∵ S?MBC ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2

∴周期 T ? 2? ?

??

?

,? ? 1 .
1 , 2

由 f (0) ? 2sin ? ? 1 ,得 sin ? ? ∵0 ?? ?
? ? ,∴ ? ? , 2 6

? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . 6
第 4 页 共 4 页

(Ⅱ)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?
? ∵ ? ? (0, ) , 2

? 6

2 5 5 ,得 sin ? ? , 5 5

∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

2 5 , 5

3 4 ∴ cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5 ? ? ? ∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin 4 4 4
3 2 4 2 2 ? ? ? ? ?? . 5 2 5 2 10 16.解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,根据题意得:

? a1 ? d ? 3, ? ? 2a1 ? 8d ? 18,

解得: ?

? ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1

?a1 ? 1 , ?d ? 2

(Ⅱ) ? bn ?1 ? 2bn , b1 ? a5 ? 9

? ?bn ? 是首项为 9 公比为 2 的等比数列

? Sn=

9 ? (1 ? 2n ) = 9 ? 2n ? 9 1? 2
1 AB ? F 为 AM 的中点, 4

17.(I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ?

又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD, ? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D
? EF // 平面 BC1 D
A1 D

C1

B1

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

E C G A F M B

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC 3 1 AG 1 AG 3 ? ? ? ,? ? ,? AG ? AC ? AC 2 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在.

第 5 页 共 5 页

18.解:(1)由

x ? 0.19 ,? x ? 380 2000

(2)高三年级人数为 y ? z ? 2000? ?373? 377 ? 380? 370? ? 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在高三年级抽取的人数为

48 ? 500 ? 12 (名). 2000

(3)设高三年级女生比男生多的事件为 A,高三年级女生、男生数记为 ? y , z ? ,由 (2)知 y ? z ? 500 ,且 y 、 z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有(245,255),(246,254),(247, 253),┅,(255,245)共 11 个.事件 A 包含的基本事件不(251,249),(252,248),(253,247), (254,246),(255,245)共 5 个.

? P ( A) ?

5 11

19.解:(Ⅰ)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15 ? 0.1 ? 100 ? 5 万套,

10 ? 32 元, 5 书商所获得的总利润为 5 ? (100 ? 32) ? 340 万元.
此时每套供货价格为 30 ?

?15 ? 0.1x ? 0, (Ⅱ)每套丛书售价定为 x 元时,由 ? 得, 0 ? x ? 150 , ?x ? 0
依题意,单套丛书利润 P ? x ? (30 ? ∴ P ? ?[(150 ? x) ? ∵ ∴ 由
0 ? x ? 150 ,

10 100 )? x? ? 30 , 15 ? 0.1x 150 ? x

100 ] ? 120 , 150 ? x

150 ? x ? 0 ,

(150 ? x) ?

100 100 ? 2 (150 ? x) ? ? 2 ? 10 ? 20 , 150 ? x 150 ? x

当且仅当 150 ? x ?

100 ,即 x ? 140 时等号成立,此时, Pmax ? ?20 ? 120 ? 100 . 150 ? x

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ??0,1,2?, b ??0,1,2? 时,等可能发生的基本事件 ( a, b) 共有 9 个:

(0,,,,, ,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2),(1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).
其中事件 A : “ f (1) ?

1 ? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).
故 P ( A) ?

6 2 2 ? . 即事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 9 3 3
第 6 页 共 6 页

(Ⅱ) f ( x ) ? ∴ f ( x) ?

1 3 x ? ax ? b, 是 R 上的奇函数,得 f (0) ? 0, b ? 0. (5 分) 3

1 3 x ? ax, 3

f ?( x) ? x2 ? a ,

① 当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递减, 从而 g ( a ) ? f (1) ?

1 ?a ; 3

② 当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递增, 从而 g (a ) ? f ( ?1) ? ?

1 ?a, 3 ? 1 ? a ? 3 , a ? ?1 ? . 综上,知 g (a ) ? ? 1 ??a ? , a ? 1 ? 3 ?

(Ⅲ)当 a ? 1 时,

1 3 x ? x ? b,? f ??x ? ? x 2 ? 1 3 当 x ? ?0,1?时f ??x ? ? 0, 当x ? ?1,2?时f ??x ? ? 0

f ?x ? ?

2 ? ? f ?x ?在?0,1?上递减,在1,2?上递增,即 f ? x ?min ? f ?1? ? ? ? b 3 2 2 ? ? 2 又? f ?0? ? b, f ?2? ? ? b ? f ?0? ,?当x ? ?0,?时,f ?x ? ? ?? ? b, ? b? 2 3 3 ? ? 3 2 而 f ? ? x ? ? x ?1在x ??0,2? 上递增 , f ?( x) ? [?1,3]

? 对任意 x1 ? ?0,2?,总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) 2 ? ? 2 即 ? f ? x ?的值域 ? f ? ? x ?的值域, ?- ? b, ? b ? ? ? ?1,3? 3 ? ? 3 2 1 7 2 ? - ? b ? ?1 且 ? b ? 3 ,解得 ? ? b ? 3 3 3 3

第 7 页 共 7 页



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