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28.1 锐角三角函数(1)



情 境 探 究

问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚 下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上 修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷 灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°,为使出水口的高度为35m,那么需要 准备多长的水管?
B A C

当∠A=30°时

?A的 对 边 BC ? 斜边 AB

>
1 ? 2

B

情境探究

A
C

现测得斜坡与水平面 所成角的度数是30°,为 使出水口的高度为35m, 那么需要准备多长的水管?

(1)出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 1 ?A的 对 边 BC ? 当∠A=30°时 ? 斜边 AB 2 (2)出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管? 1 ?A的 对 边 BC ? 当∠A=30°时 ? 斜边 AB 2 (3)出水口的高度为75m,那么需要准备多长的水管? 1 ?A的 对 边 BC ? 当∠A=30°时 ? 斜边 AB 2

探究
30
? 30 ?

上述三个比值与含 30? 角的直角三角形的大小有 关吗?

Rt△AB1C1∽Rt△_______ AB2C2∽Rt△_________. AB3C3
所以

?A的对边 = 斜边

B C1 1

AB1

B2C2 B3C3 AB2 =__________=__________. AB3

上述三个比值与含 30? 角的直角三角形的大小无关
? ? ? A ? 45 ? A ? 60 议一议:当 或

结论又如何?你能总结出一个结论来吗?

归纳总结:
在直角三角形中,当锐角A的度数一定 时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与 斜边的比是一个固定值.a c
在Rt △ABC中,∠C=900, 把锐角A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦 记作sinA.
A B 斜边 c

a
对边
┌ C

b
邻边

28.1锐角三角函数
一、锐角三角函数定义
B 斜边 c

a
对边 ┌ C

A

b
邻边

?A的对边 a ? sin A= 斜边 c

类似地
当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比也是 确定的,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦 (cosine),记作cosA,即
?A的邻边 b cos A ? ? 斜边 c
A 斜 c 边

B

b
邻边

对边 ┌ C

a

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent), 记作tanA,即 ?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

解释为什么叫锐角三角函数
?A的对边 a ? sin A= 斜边 c

斜 c 边

B

a

A

b
邻边

对边 ┌ C

1 当∠A=30°时, sinA = sin30°= 2

当∠A=45°时, sinA = sin45°= 当∠A=60°时, sinA = sin60°=

对于锐角A的每一个确定的值, sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是 A的函数.

2 2 3 2

注意
∠A的正弦,余弦,正切 (1)sinA ,cosA,tanA是一个比值,不是一个角 sinA不是 sin与A的乘积 (2) sinA,cosA,tanA没有单位 想一想:sinA的取值范围是多少.

(3)注意读音及写法
sin B, sin 57 , cos?1, tan?BAC, cos?
?

(3)范围

a<c, b<c 0<
在Rt△ABC中

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

<1

0<

?A的邻边 b cos A ? ? 斜边 c

<1

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

>0

例1: 根据图中数据,分别求出角A,角B的正 弦,余弦,正切值.
B

B 3
7

5

3 C

4 A

A

4 (1)

C

(2)

例2: 在△ABC中,AB=AC=6, BC=8,

求角C的正弦,余弦,正切值.

例3.已知锐角α的始边在x轴的正半轴上, (顶点在原点)终边上一点P的坐标为(2, 3), 求角α的三个三角函数值。
解:过P作OM⊥x轴于M, 则OM=2,PM=3 由勾股定理得OP=
y P (2,3) α

13

O

M

x

PM 3 3 13 sin ? ? ? ? PO 13 13

OM 2 2 13 cos ? ? ? ? PO 13 13

PM 3 tan ? ? ? OM 2

小结

回顾
?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c ?A的邻边 b cos A ? ? 斜边 c

在Rt△ABC中

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

作业
1、书64页练习1,2; 2、书65页练习1,2 3、学探诊45页



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