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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.11变化率与导数、导数的计算


课时跟踪检测(十四) 变化率与导数、导数的计算

1.下列求导运算正确的是( 1 1 A.?x+x?′=1+ 2 ? ? x C.(3x)′=3xlog3e

) 1 B.(log2x)′= xln 2 D.(x2cos x)′=-2sin x

3 2.已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度 t 为( ) 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4 )

3.(2012· 海口模拟)曲线 y=e2x 在点(0,1)处的切线方程为( 1 A.y= x+1 2 C.y=2x-1 B.y=-2x+1 D.y=2x+1

1+cos x π 4. 设曲线 y= 在点?2,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行, 则实数 a 等于( ? ? sin x A.-1 C.-2
3

)

1 B. 2 D.2

π 5.在函数 y=x 2 -x 的图像上,满足在点 P 处的切线的倾斜角小于 ,且点 P 的横、纵 4 坐标都为整数,则切线方程为( A.x+2y-1=0 C.x-2y+1=0 ) B.x-2y-1=0 D.x+2y+1=0

6.(2012· 新田模拟)已知函数 f(x)的图像如图所示,f′(x)是 f(x)的导函 数,则下列数值排序正确的是( A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 7.(2012· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 8.(2012· 辽宁高考)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, -2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 9.设曲线 y=xn 1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 log2


)

013x1

+log2 013x2+…+log2 013x2 012 的值为________. 10.求下列函数的导数. (1)y=x· x; tan (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=3sin 4x.

11.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线 y=f(x)斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平 行时,求 a 的值.

2 12.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 x 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线.

1. (2012· 商丘二模)等比数列{an}中, 1=2, 8=4, a a f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), f′(x) 为函数 f(x)的导函数,则 f′(0)=( A.0 C.29 ) B.26 D.212

2.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N+, π π π n≥2),则 f1?2?+f2?2?+…+f2 012?2?=________. ? ? ? ? ? ? 3.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程;

(2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程.





课时跟踪检测(十四) A级 1.B

3 2.选 D ∵s′=2t- 2,∴t=2 时, t 3 13 v=4- = . 4 4 3.选 D ∵y′=(e2x)′=2e2x,k=2·2 0=2, e ∴切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1. -sin2x-?1+cos x?cos x -1-cos x 1 4.选 A ∵y′= = .由条件知 =-1,∴a=-1. 2 2 sin x sin x a 3 3 4 16 5.选 B 设 P(x0,y0),由 y′= x-1,得 0< x0-1<1,即 <x0< ,又 x0∈Z,所 2 2 9 9 1 1 以 x0=1,y0=0,切线斜率 k= .切线方程为 y= (x-1),即 x-2y-1=0. 2 2 6.选 B 由导数的几何意义可知,f′(2)、f′(3)分别表示曲线在 x=2,x=3 处的切线 的斜率,而 f(3)-f(2)表示直线 AB 的斜率,即 kAB=f(3)-f(2). 由图形可知 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2). 1 7.解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 1 8.解析:易知抛物线 y= x2 上的点 P(4,8),Q(-2,2),且 y′=x,则过点 P 的切线方 2 程为 y=4x-8,过点 Q 的切线方程为 y=-2x-2,联立两个方程解得交点 A(1,-4),所以 点 A 的纵坐标是-4. 答案:-4 9.解析:y′=(n+1)xn,曲线 y=xn
+1 ×

在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),

n 1 2 2 011 2 012 所以 xn= .log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012=log2 013 × ×…× × =-1. 2 3 2 012 2 013 n+1 答案:-1 10.解:(1)y′=(x· x)′=x′tan x+x(tan x)′ tan cos2x+sin2x ? sin x =tan x+x·cos x?′=tan x+x· ? ? cos2x =tan x+ x . cos2x

(2)y′=(x+1)′(x+2)(x+3)+(x+1)· [(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x +1)(x+3)=3x2+12x+11. (3)y′=(3sin 4x)′=3cos 4x· (4x)′=12cos 4x.

a a2 a 11.解:f′(x)=3x2+2ax-9=3?x+3?2-9- ,即当 x=- 时,函数 f′(x)取得最小 ? ? 3 3 a2 值-9- ,因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, 3 a2 即该切线的斜率为-12,所以-9- =-12, 3 即 a2=9,即 a=± 3. 12.解:根据题意有 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1), 得:y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1). 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线. B级 1.选 D ∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), ∴f′(x)=x′(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′ =(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′, ∴f′(0)=(-a1)· 2)· (-a8)+0=a1·2· a8=(a1·8)4=(2×4)4=(23)4=212. (-a …· a …· a 2.解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π π π π π π π ∴f1?2?+f2?2?+…+f2 012?2?=503×f1?2?+f2?2?+f3?2?+f4?2?=0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:0 3.解:(1)由 f(x)=x3-3x 得 f′(x)=3x2-3,过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜 率 f′(1)=0, 故所求的直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0),则 f′(x0)=3x2-3. 0 又直线过(x0,y0),P(1,-2), 故其斜率可表示为

3 y0-?-2? x0-3x0+2 = , x0-1 x0-1



3 x0-3x0+2 =3x2-3, 0 x0-1

即 x3-3x0+2=3(x2-1)(x0-1), 0 0 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 故所求直线的斜率为 1 9 k=3?4-1?=- . ? ? 4 9 所以 y-(-2)=- (x-1), 4 即 9x+4y-1=0.



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