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数列与等差数列练习题



数列与等差数列练习题
一、选择题: 1.有穷数列 1, 23, 26, 29, …,23n A.3n+7 B.3n+6
+6

的项数是 C.n+3 D.n+2





2.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ?1? n ? 2? ,则 a

5 为 A.7 B.15 C.30 D.31





3.某数列第一项为 1,并且对所有 n≥2,n∈N*,数列的前 n 项之积 n2,则这个数列的通 项公式是 A.an=2n-1 C.an= B.an=n D.an=
2





n2 (n ? 1) 2

(n ? 1) 2 n2
( )

4.若{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是 A.39 B.20 C.19.5 D.33

5.若等差数列{an}的前三项为 x-1,x+1,2x+3,则这数列的通项公式为 A.an=2n-5 B. an =2n-3 C. an =2n-1 D.an =2n+1





6.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是 A.d>





8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

D.

8 <d≤3 3
( )

7.等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,那么它的通项公式是 A.an =2n-1 B.an =2n+1 C.an =4n-1 D.an =4n+1 8. ?an ? 中 an ? n2 ? 9n ?100 ,则值最小的项是 A.第 4 项 C.第 6 项 9.已知 an ? B.第 5 项 D.第 4 项或第 5 项





1 n ? N * ? ,则 a1 ? a2 ? ? n ?1 ? n
B. 11 ? 1

? a10 的值为
D. 2





A. 10 ? 1

C. 12 ?1

10.在等差数列{an}中,若 a3+a9+a15+a21=8,则 a12 等于 A.1 B.-1 C.2 D.-2





11.在等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则 S13 等于 A.168 B.156 C.78 D.152





12.数列{an}的通项 an =2n+1,则由 bn= n 项和是 A.n(n+1) 二、填空题: B.

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n∈N*),所确定的数列{bn}的前 n
( )

n(n ? 1) 2

C.

n( n ? 5) 2

D.

n( n ? 7) 2
. ______.

13.数列 1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式的为 an= 14. 在-1, 7 之间插入三个数, 使它们顺次成等差数列, 则这三个数分别是_

15.数列{ an }为等差数列,a2 与 a6 的等差中项为 5,a3 与 a7 的等差中项为 7,则数列的通 项 an 等于__ 16、 数列{an}为等差数列, S100=145, d= 三、解答题: 17. 已知关于 x 的方程 x2-3x+a=0 和 x2-3x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为 求 a+b 的值. _.

1 , 则 a1+a3+a5+…+a99 的值为___ 2

__.

3 的等差数列, 4

18.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是项数 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)88 是否是数列{an}中的项.

19.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值.

20.设函数 f ( x) ? log2 x ? log x 4(0 ? x ? 1) ,数列 ?an ? 的通项 an 满足

f (2 an ) ? 2n(n ? N * ) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)判定数列{a n }的单调性.

21.已知数列{an}满足 a1=4,an=4-

4 a n ?1

(n≥2),令 bn=

1 . an ? 2

(1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

参考答案
一、选择题: CDCDB DCDBC BC 二、填空题: 13.sin

n? 1 或 an = (?1) 2 2

n ?1 2

[1 ? (?1) n ] .14.1,3,5.15.2n-3.16、60.

三、解答题: 17.解析:由方程 x2-3x+a=0 和 x2-3x+b=0(a≠b)可设两方程的根分别为 x1,x2 和 x3,x4, 由 x1+x2=3 和 x3+x4=3 所以,x1,x3,x4,x2(或 x3,x1,x2,x4)组成等差数列,

3 1 ,x1+x3+x4+x2=6,可求公差 d= , 4 2 3 5 7 9 所以四项为: , , , , 4 4 4 4 3 9 5 7 31 ∴a+b= ? ? ? ? . 4 4 4 4 8
由首项 x1= 18.解析: (1)设 an=An+B,由 a1=2,a17=66,得 ? ∴an=4n-2 (2)令 an=88,即 4n-2=88 得 n=

?A ? B ? 2 ?A ? 4 , 解得? ?17A ? B ? 66 ?B ? ?2

45 ? N* 2

∴88 不是数列{an}中的项. 19.解析: (1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0, 解得:-

23 23 <d<- ,又 d∈Z,∴d=-4 5 6
6?5 (-4)=78 2

(2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又 a6>0,a7<0 ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,S6=6× 23+ (3)Sn=23n+

n( n ? 1) (-4)>0,整理得:n(50-4n)>0 2 25 ∴0<n< ,又 n∈N*, 2
所求 n 的最大值为 12.
a *

20.解析:⑴∵ f ( x) ? log2 x ? log x 4(0 ? x ? 1) ,又 f (2 n ) ? 2n(n ? N ) , ∴ f (2 n ) ? log 2 2 n ? log 2an 4 ? 2n (0 ? 2
a a an

? 1, 即an ? 0)

令 log2 2

an

? t ,则 t ?
an

2 ? 2n ,∴ t 2 ? 2nt ? 2 ? 0 , t ? n ? n2 ? 2 t
n2 ? 2

注意到 log2 2

? t ,因此 log2 2an = n ? n2 ? 2 , 2an ? 2n?



an ? n ? n 2 ? 2 ? 0 ,
另解:由已知得

∴ an ? n ? n ? 2 n ? N
2

?

*

? 即为数列 ?a ? 的通项公式;
n

log2 2 nk ?

1 1 ?2 2 ? 2n,? an ? ? 2n, an ? nan ? 0, 解得an ? n ? n 2 ? 1 nk an log2 2

? 0 ? x ? 1, 即0 ? 2 nk ? 1a n ? 0,? a n ? n ? n 2 ? 1(1,2,3??) ( 2) ? a n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 1 n ? n2 ?1 ? ? ? 1, 而a ? 0(n ? 1,2,3, ?) an n ? n2 ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 1

? an?1 ? an ,可知数列 ?an ? 是递增数列.
注:数列是一类特殊的函数,判定数列的单调性与判定函数的单调性的方法是相同的, 只需比较 an+1 与 an 的大小. 21.(1)证明: an+1-2=2-

4 2(a n ? 2) ? an an



1 an?1 ? 2
1 a n ?1 ? 2

?

an 1 1 (n≥1) ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2
1 1 1 ? (n≥1),即 bn+1-bn= (n≥1) 2 an ? 2 2



?

∴数列{bn}是等差数列. (2)解析: ∵{

1 }是等差数列 an ? 2
∴an=2+



1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? , a n ? 2 a1 ? 2 2 2
2 n

2 n

∴数列{an}的通项公式 an=2+



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