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第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系



第 3 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y =1},则 A∩B 的元素个数为( A.4 B.3 ). C.2 D.1
2 2

解析 法一 (直接法)集合 A 表示圆,集合 B 表 示一条直线,又圆心(0,0)到直线 x+y=1

的距离

d=

1

2 = <1=r,所以直线与圆相交,故选 C. 2 2

法二 (数形结合法)画图可得,故选 C. 答案 C 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-3,-1] C.[-3,1] B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ).

解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2

答案 C 3.若圆(x-a) +(y-b) =b +1 始终平分圆(x+1) +(y+1) =4 的周长,则 a,b 满足的关 系是(
2 2 2 2 2 2

)

A.a +2a+2b-3=0 B.a +b +2a+2b+5=0 C.a +2a+2b+5=0 D.a -2a-2b+5=0 解析 即两圆的公共弦必过(x+1) +(y+1) =4 的圆心, 两圆相减得相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a +1=0, 将圆心坐标(-1,-1)代入可得 a +2a+2b+5=0. 答案 C 4.若圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条切 线,则 a+b 的最大值为 A.-3 2 B.-3 ( ). C.3 D.3 2
2 2 2 2 2 2 2 2

解析 易知圆 C1 的圆心为 C1(-a,0),半径为 r1=2;

1

圆 C2 的圆心为 C2(0,b),半径为 r2=1. ∵两圆恰有三条切线,∴两圆外切, ∴|C1C2|=r1+r2,即 a2+b2=9.∵? ∴a+b≤3 2(当且仅当 a=b= ∴a+b 的最大值为 3 2. 答案 D 5.若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是 A.?- ( B.?- ). 3 ? ? 3? ,0 ∪ 0, 3 3? ? ? 3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 3? ?3 ? a+b?2 a2+b2 ? 2 ?≤ 2 ,

3 时取“=”), 2

?

3 3? , 3 3? 3 3? , 3 3?

?

C.?-

?

D.?-∞,-

?

解析 C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+ 1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点; 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1 与直线 y= m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时, m=± 处于两切线之间时满足题意, 则- 3 3 <m<0 或 0<m< . 3 3 3 3 <m<0 或 0<m< . 3 3 3 ,即直线 3

综上知- 答案 B

6.如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时 针方向滚动, M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么, 当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的 图形大致是( ).

2

解析 如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆 O1 总与大圆 O 相内切,且小圆 O1 总 经过大圆的圆心 O.设某时刻两圆相切于点 A,此时动点 M 所处位置为点 M′,则大圆圆 弧 的长与小圆圆弧 的长之差为 0 或 2π.切点 A 在三、四象限的差为 0,在一、二

象限的差为 2π.以切点 A 在第三象限为例,记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1,记∠ AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圆圆弧 的长为 l1=θ×2=2θ,小圆圆弧 圆弧 与 的长为 l2=2θ×1=2θ,则 l1=l2,即小圆的两段

的长相等,故点 M1 与点 M′重合.即动点 M 在线段 MO 上运动,同理

可知,此时点 N 在线段 OB 上运动.点 A 在其他象限类似可得,故 M,N 的轨迹为相互 垂直的线段.观察各选项知,只有选项 A 符合.故选 A. 答案 A 二、填空题 7.直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得的弦长为________. 解析 由题意得,圆 x2+(y-2)2=4 的圆心为(0,2),半径为 2,圆心到直线 x-y=0 的距 离 d= 2 = 2. 2

l ?2 2 2 设截得的弦长为 l,则由? ?2? +( 2) =2 ,得 l=2 2. 答案 2 2 m 2 2 2 8.设集合 A=(x,y)? ? 2 ≤ (x-2) +y ≤m ,x,y∈R,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y ∈R},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是________. 解析 ∵A∩B≠?,∴A≠?, m 1 ∴m2≥ .∴m≥ 或 m≤0.显然 B≠?. 2 2 要使 A∩B≠?,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与 x+y=2m 或 x+y=2m+1 有交点,即 |2-2m| |1-2m| 2- 2 ≤|m|或 ≤|m|,∴ ≤m≤2+ 2. 2 2 2 1 1 又∵m≥ 或 m≤0,∴ ≤m≤2+ 2. 2 2 当 m=0 时,(2,0)不在 0≤x+y≤1 内. 1 ? 综上所述,满足条件的 m 的取值范围为? ?2,2+ 2?. 1 ? 答案 ? ?2,2+ 2? 9. 从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线, 则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________. 解析 (数形结合法)如图,圆 x +y -12y+27=0
3
2 2 2 2

可化为 x +(y-6) =9,圆心坐标为(0,6),半径为 3. π 2π 在 Rt△OBC 中可得:∠OCB= ,∴∠ACB= , 3 3 ∴所求劣弧长为 2π . 答案 2 π 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,该圆半径为 2 |c| 即圆心 O(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 d<1,即 0< <1,∴-13<c<13. 13 答案 (-13,13) 三、解答题 11.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为
2 2

2

2

(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 |4+2a|
2

3 =2,解得 a=- . 4 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

?|CD|= a +1, 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , |AB|= 2. ?|DA|=1 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 12.已知与圆 C:x +y -2x-2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,|OA|=a, |OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3)求△AOB 面积的最小值. 解 (1)证明:圆的标准方程是(x-1) +(y-1) =1,设直线方程为 + =1,即 bx+ay
2 2 2 2

x y a b

|a+b-ab| -ab=0,圆心到该直线的距离 d= =1, a2+b2
4

即 a +b +a b +2ab-2a b-2ab =a +b ,即 a b +2ab-2a b-2ab =0, 即 ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2. (2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2, 1 得(x-1)(y-1)= (x>1,y>1). 2 (3)由(a-2)(b-2)=2 得 ab+2=2(a+b)≥4 ab, 解得 ab≥2+ 2(舍去 ab≤2- 2), 当且仅当 a=b 时,ab 取最小值 6+4 2, 所以△AOB 面积的最小值是 3+2 2. 13.设直线 l 的方程为 y=kx+b(其中 k 的值与 b 无关),圆 M 的方程为 x2+y2-2x-4=0. (1)如果不论 k 取何值,直线 l 与圆 M 总有两个不同的交点,求 b 的取值范围; (2)b=1 时,l 与圆交于 A,B 两点,求|AB|的最大值和最小值. 解 圆 M 的标准方程为(x-1)2+y2=5, ∴圆心 M 的坐标为(1,0),半径为 r= 5. (1)∵不论 k 取何值,直线 l 总过点 P(0,b), ∴欲使 l 与圆 M 总有两个不同的交点,必须且只需点 P 在圆 M 的内部,即|MP|< 5,即 1 +b2<5, ∴-2<b<2,即 b 的取值范围是(-2,2). (2)当 l 过圆心 M 时,|AB|的值最大,最大值为圆的直径长 2 5.当 l⊥MP 时,此时|MP|最 大,|AB|的值最小,|MP|2=? 2 ? k+1 ?2 k2+2k+1 ? = k2+1 =1+ 1≤1+ 2 k + 1 ? ? k+ k 2 1 k· k =2,当且仅当

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

k=1 时取等号.最小值为 2 r2-|MP|2=2 5-2=2 3. 14.已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; (3)若|AB|= 解 4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1,

则圆心 M 到切线的距离为 1, ∴ |2m+1| 4 =1,∴m=- 或 0, 3 m2+1

∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2)∵MA⊥AQ,∴S = 3.
5
四边形 MAQB

=|MA|· |QA|=|QA|= |MQ|2-|MA|2= |MQ|2-1≥ |MO|2-1

∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3. (3)设 AB 与 MQ 交于 P,则 MP⊥AB,MB⊥BQ, ∴|MP|= 2 2?2 1 1-? = . ? 3 ? 3

在 Rt△MBQ 中,|MB|2=|MP||MQ|, 1 即 1= |MQ|,∴|MQ|=3,∴x2+(y-2)2=9. 3 设 Q(x,0),则 x2+22=9,∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.

6

7