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§8.1 椭圆


第八章

圆锥曲线

§8.1 椭圆 例 1:若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到 椭圆上点的距离的最小值为 3 ,求椭圆的方程。

例 2:已知椭圆 3x2+4y2=12 上的点 P 与左焦点的距离为

5 ,求点 P 到右准线的距离。 2

练 习
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3,则 P 点到另一个焦点的距离 25 16 为: ( ) A、2 B、3 C、5 D、7 2、若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比是: 6 3 A、2 B、 C、 2 D、 ( ) 2 2 4 x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那 3、椭圆 12 3 么点 M 的纵坐标是: ( ) 3 3 2 3 A、 ? B、 ? C、 ? D、 ? 4 2 2 4 4、a, b, c, p 分别表示椭圆的半长轴,半短轴,半焦距及焦点到相应准线的距离,则它们的关 系是: ( ) 2 2 2 2 b a a b A、 p ? B、 p ? C、 p ? D、 p ? a b c c 5、平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 。 2 6、已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 的椭圆方程为 。 3
1、已知椭圆

6、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A,上顶点 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离 为

7 |OB|,求椭圆的离心率。 7

7、在椭圆 9x2+25y2=225 上求一点 P,使它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍。

x2 y2 ? ? 1,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它到左准 4 3 线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项? x2 y2 例 4: 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 上一点 M 与两焦点 F1, 2 所成的角∠F1MF2=a, 求证△F1MF2 F a b a 的面积为 b2tan . 2 【备用题】 1 在面积为 1 的△PMN 中,tanM= ,tanN=-2,建立适当的 2 坐标系,求出以 M、N 为焦点且过 P 的椭圆方程。 【基础训练】 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3,则 P 点到另一个焦点的距离 1、已知椭圆 25 16 为: ( ) A、2 B、3 C、5 D、7 2、若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比是: 6 3 A、2 B、 C、 2 D、 ( ) 2 2 4 x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那 3、椭圆 12 3 么点 M 的纵坐标是: ( ) 3 3 2 3 A、 ? B、 ? C、 ? D、 ? 4 2 2 4 4、a, b, c, p 分别表示椭圆的半长轴,半短轴,半焦距及焦点到相应准线的距离,则它们的关 系是: ( ) 2 2 2 2 b a a b A、 p ? B、 p ? C、 p ? D、 p ? a b c c 5、平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 。 2 6、已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 的椭圆方程为 。 3
例 3:已知椭圆

【拓展练习】 1、 方程 x2sinα +y2cosα =1 (0<α < A、 (0,

?
2

) 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则α 的取值范围是: ( C、 (



, ] 4 4 4 2 4 2 x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, 是 MF1 的中点, 是椭圆中心, 2、 椭圆 N O 则|ON| 25 9
D、[ 的值是: A、2 3、若 F 是椭圆 B、4 C、8 ( )

?



B、 (0,

?

]

? ?
,



? ?

3 D、 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 是该椭圆上的点,A(-2, 3 )是该椭圆内一点, 16 12 则|MA|+2|MF|的最小值是 ( ) A、8+ 7 B、4+ 7 C、10 D、8

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 的值为 。 5 m 5 5、若 M 为椭圆上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且∠MF1F2=2∠MF2F1=2α (α ≠0) ,则 椭圆的离心离是 。 6、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A,上顶点 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离 7 为 |OB|,求椭圆的离心率。 7
4、椭圆

7、在椭圆 9x2+25y2=225 上求一点 P,使它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍。

8、如图,AB 是过椭圆左焦点的一弦,C 是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠BAC=90°, 求椭圆方程。

9、已知 F1(-3,0), F2(3,0)分别是椭圆的左、右焦点,P 是该椭圆上的点,满足 PF2⊥F1F2,∠ F1PF2 的平分线交 F1F2 于 M(1,0) ,求椭圆方程。

10、已知椭圆 C 的长轴两端点为 A、B, (1)过一焦点 F 作垂直于长轴的弦 PP′,证明∠APB ≠120°, (2)若 C 上存在一点 Q,且∠AQB=120°,求椭圆 C 的离心率的范围。


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