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一元三次方程求根公式



一元三次方程求根公式
目录 盛金公式 盛金判别法 盛金定理 传统解法 方程公式历史 一元三次方程求根公式 1. 卡尔丹公式的推导 2. 卡尔丹公式 3. 卡尔丹判别法 根与系数的关系 一个三次方求根计算方法 一元三次方程置换群解法 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公 式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹

公式解题比较复杂,缺乏直观性。 范盛金推导出一套直接用 a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的 一般式新求根公式,并建立了新判别法。 盛金公式(Shengjin's Formulas) 一元三次方程 aX 3 +bX2 +cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且 a≠0)。 重根判别式:A=b 2 -3ac;B=bc-9ad;C=c2 -3bd, 总判别式:Δ=B2 -4AC。 当 A=B=0 时,盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。 当 Δ =B2 -4AC>0 时,盛金公式②: X1=(-b-(Y1)1/3 -(Y2) 1/3 )/(3a); X2,X3=(-2b+(Y1) 1/3 +(Y2) 1/3 )/(6a)±3 1/2 ((Y1) 1/3 )-(Y2)1/3 )i/(6a), 其中 Y1,Y2=Ab+3a(-B±(B2 -4AC)1/2 )/2,i 2 =-1。 当 Δ =B2 -4AC=0 时,盛金公式③: X1=-b/a+K;X2=X3=-K/2, 其中 K=B/A,(A≠0)。 当 Δ =B2 -4AC<0 时,盛金公式④:

X1=(-b-2A1/2 cos(θ/3))/(3a); X2,X3=(-b+A1/2 (cos(θ/3)±3 1/2 sin(θ/3)))/(3a), 其中 θ =arccosT,T= (2Ab-3aB)/(2A 3/2 ),(A>0,-1<T<1)。

盛金判别法 盛金判别法(Shengjin's Distinguishing Means) ① 当 A=B=0 时,方程有一个三重实根; ② 当 Δ =B^2-4AC>0 时,方程有一个实根和一对共轭虚根; ③ 当 Δ =B^2-4AC=0 时,方程有三个实根,其中有一个两重根; ④当 Δ =B^2-4AC<0 时,方程有三个不相等的实根。

盛金定理 盛金定理(Shengjin's Theorems) 当 b=0,c=0 时,盛金公式①无意义;当 A=0 时,盛金公式③无意义; 当 A≤0 时,盛金公式④无意义;当 T<-1 或 T>1 时,盛金公式④无意义。 当 b=0,c=0 时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否 存在 A≤0 的值?盛金公式④是否存在 T<-1 或 T>1 的值?盛金定理给出如 下回答: 盛金定理 1:当 A=B=0 时,若 b=0,则必定有 c=d=0(此时,方程有一 个三重实根 0,盛金公式①仍成立)。 盛金定理 2:当 A=B=0 时,若 b≠0,则必定有 c≠0(此时,适用盛金公 式①解题)。 盛金定理 3: A=B=0 时, 当 则必定有 C=0 (此时,适用盛金公式①解题) 。 盛金定理 4:当 A=0 时,若 B≠0,则必定有 Δ >0(此时,适用盛金公 式②解题)。 盛金定理 5:当 A<0 时,则必定有 Δ >0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理 6:当 Δ =0 时,若 A=0,则必定有 B=0(此时,适用盛金公式 ①解题)。 盛金定理 7:当 Δ =0 时,若 B≠0,盛金公式③一定不存在 A≤0 的值 (此时,适用盛金公式③解题)。 盛金定理 8:当 Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 A≤0 的值。(此时, 适用盛金公式④解题)。 盛金定理 9:当 Δ <0 时,盛金公式④一定不存在 T≤-1 或 T≥1 的值, 即 T 出现的值必定是-1<T<1。 显然,当 A≤0 时,都有相应的盛金公式解题。 注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当 Δ >0 时,不一定有 A<0。

盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方 程都可以运用盛金公式直观求解。 当 Δ =0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式 相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较 高; 盛金判别法判别方程的解较直观。 重根判别式 A=b^2-3ac; B=bc-9ad; C=c^2-3bd 是最简明的式子,由 A、B、C 构成的总判别式 Δ =B^2-4AC 也 是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判 别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B2 -4AC)^(1/2))/2 具有一元二次 方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简 洁美。 以上结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第 2 卷, 第 2 期;1989 年 12 月,中国海南。国内统一刊号:CN46-1014),第 91—98 页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法。(NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2; Dec, 1989) A new extracting formula and a new distinguishing , means on the one variable cubic equation., Fan Shengjin. PP·91—98 .

传统解法

一元 三次 ax^3 +bx^2+cx+d=0 可用求根公式 x= 求解,它是由方程系数 直接把根表示出来的公式。 这个公式早在公元 9 世纪由中亚细亚的阿尔·花 木子米给出。 南宋数学家秦九韶至晚在 1247 年就已经发现一元三次方程的 求根公式,欧洲人在 400 多年后才发现,但在中国的课本上这个公式仍是 以那个欧洲人的名字来命名的。 (《数学九章》等)

一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方 程的求根公式的配方法只能将型如 ax^3+bx^2+cx+d=0 的标准型一元三次方程形式化 为 x^3+px+q=0 的特殊型。

卡尔丹公式的推导
第一步: ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便,约去 a 得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令 x=y-k/3 , 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,

(y-k/3)^3 中的 y^2 项系数是-k , k(y-k/3)^2 中的 y^2 项系数是 k , 所以相加后 y^2 抵消 , 得到 y^3+py+q=0, 其中 p=(-k^2/3)+m , q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步: 方程 x^3+px+q=0 的三个根为: x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3), 其中 w=(-1+i√3)/2。 ×推导过程: 1、方程 x^3=1 的解为 x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ; 2、方程 x^3=A 的解为 x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 , 3 、 一 般 三 次 方 程 ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0), 两 边 同 时 除 以 a, 可 变 成 x^3+sx^2+tx+u=0 的形式。 再令 x=y-s/3,代入可消去次高项,变成 x^3+px+q=0 的形式。 设 x=u+v 是方程 x^3+px+q=0 的解,代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①, 如果 u 和 v 满足 uv=-p/3,u^3+v^3=-q 则①成立, 由一元二次方程韦达定理 u^3 和 V^3 是方程 y^2+qy-(p/3)^3=0 的两个根。 解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 不妨设 A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 则 u^3=A;v^3=B , u= A^(1/3)或者 A^(1/3)ω 或者 A^(1/3)ω^2 ; v= B^(1/3)或者 B^(1/3)ω 或者 B^(1/3)ω^2 , 但是考虑到 uv=-p/3,所以 u、v 只有三组解: u1= A^(1/3),v1= B^(1/3); u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2; u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω, 最后: 方程 x^3+px+q=0 的三个根也出来了,即

x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

卡尔丹公式
方程 x^3+px+q=0, (p,q∈R) 判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。 x1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 这就是著名的卡尔丹公式。

卡尔丹判别法
当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0 时,有一个实根和一对个共轭虚根; 当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0 时,有三个实根,其中两个相等; 当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0 时,有三个不相等的实根。

根与系数的关系 设 ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三根为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=-b/a; x1x2+x2x3+x1x3=c/a; x1x2x3=-d/a。

一个三次方求根计算方法 下面介绍一个三次方求根计算方法: X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3 n,n+1 是下角标,A 被开方数。 例如,A=5,5 介于 1 的 3 次方至 2 的 3 次方之间。X0 可以取 1.1;1.2; 1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0 我们可以随意代入一个数,例 如 2,那么: 第一步,2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1; 第二步,1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2; 第三步,1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;

每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

一元三次方程置换群解法 一元三次方程 系数和根的关系如下:

求出 X,Y,后有

这是个线性方程,其中

为原方程的三个根!
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