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江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文



南昌三中 2015—2016 学年度上学期期末考试 高二数学(文)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2、直线 l1 : ?a ? 1?x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : 3 x ? ay ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( A.

/>


1 3 D. 4 4 3、 已知 a,b 是 两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是(
B. C. A、

1 2

3 2



a // b , b // ? ,则 a // ?

B、

a, b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

C、 a ? ? , b // ? ,则 a ? b 4、下列说法错误 的是( ) ..
2 2

D、 当 a ? ? ,且 b ? ? 时,若 b ∥ ? ,则 a ∥ b

A. “ ab ? 0 ”是“方程 ax ? by ? 1 表示双曲线”的充分 不必要条件 B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C.若命题 p:存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定:对任意 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

D.若命题“非 p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 5、已知抛物线 y ? 4ax 2 ,则其准线方程是( A. y ? ? ) C. y ? ?

1 16a

B. x ? ?a

1 16a


D. x ? ? a

6、如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. C.

1 2 3 4

B. 1
1

D.

3 2
1

1

主视图

1

左视图

7、给出两个命题: p:平面内直线 l 与抛物线

俯视图

y2 ? 2x 有 且 只
y2 ? 1右焦点 F 的最短弦长是 8。 4

2 有一个交点,则直线 l 与该抛物线相切;命题 q:过双曲线 x ?

则(

) B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题 )

A.q 为真命题 C. “p 且 q”为真命题 8、已知双曲线 C :

5 x2 y 2 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

1

A. y ? ?

1 1 1 x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 4 3 2

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 2 b 9 、已知双曲线 a 的两条渐近线与抛物线 y ? 4 x 的准线分别交于 A, B 两
点, O 为坐标原点.若 ?AOB 的面积为 3 ,则双曲线的离心率为( A. )

3 4

B.

3 2

C. 2

D. 3

10 、设 F 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, A , B , C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB? FC ? 0 ,则

??? ? ??? ? ????

?

??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB |? | FC |= (
A.6 B.9 C.12

) D.16 ( )

11、已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 A.

2 3 2 2 B. C. D. 6 6 3 2
x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取 值范围是 4 3
) D.

12、椭圆 C :

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A. ? , ? ? ?2 4? ?
3? B. ? 3 , ? ?8 4 ? ?

C.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

?3 ? , 1 ? ?4 ? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、复数

5 的共轭复数是 3 ? 4i

14.由图(1)有关系

S ?PA/ B / S ?PAB

?

V PA/ ? PB/ ,则由图(2)有关系 P ? A ' B 'C ' ? VP ? ABC PA ? PB



(1 )

(2)
2

15、若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则 的最小值为________.

2 3 ? a b

16、过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 点 F 作倾角为 30? 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则 三 、解答题 17、 (本题满分 10 分) 已知命题 p :x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , 命题 q :x ? 2x ? ?1 ? a ??1 ? a ? ? 0 , (a ? 0) ,
2

AF FB

? ________.

若“ ? p ”是“ ? q ”的必要而不充分条件,求 a 的取值范围

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; q :方程 ? ? 1表 2k ? 1 k ? 1 4?k k ?3 示双曲线. 若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ” 为假,求实数 k 的取值范围.
18、 (本题满分 12 分)已知命题 p :方程 19、 (本题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 已知 AC =BC = AA1=a, ∠ACB =90°,D 是 A1B1 中点.(1)求证:C1D ⊥平面 A1B1BA ; (2)请 问, 当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 B ⊥平面 C1DF ?并证明你的结 A 论 . 20 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 1 , 直 角 梯 形 ABCD 中 ,

D
A E

C ? , E , F 分 别 为 边 AD 和 BC 上 的 点 , 且 A D/ / B C ? , AB ?C 9 0 F E B EF / / AB , AD ? 2 AE ? 2 AB ? 4 FC ? 4 .将四边形 EFCD 沿 EF 折起 C F 成如图 2 的位置,使 AD ? AE .
(1)求证: BC

// 平面 DAE ; (2)求四棱锥 D ? AEFB 的体积.

D
图1 图2

21、 (本题满分 12 分)设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物 线 C 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,且 y1 y 2 ? ?4 . (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)若 k ? 1 , O 为坐标原点,求 ?OAB 的面积.

3

22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : (I) 求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 经过点 P (1, . ) ,离心率是 2 a b 2 2

(II) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M ,求证:直线 l 恒过定点.

南昌三中高二数学(文)期末考试试题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A. ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2、直线 l1 : ?a ? 1?x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : 3 x ? ay ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为(D A.



1 2

B.

3 2

C.

1 4

D.

3 4

3、 已知 a,b 是 两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是(D ) A、 C、

a // b , b // ? ,则 a // ?
a ? ? , b // ? ,则 a ? b

B、

a, b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

D、 当 a ? ? ,且 b ? ? 时,若 b ∥ ? ,则 a ∥ b

4、下列说法错误 的是(A ) .. A. “ ab ? 0 ”是“方程 ax2 ? by2 ? 1 表示双曲线”的充分 不必要条件 B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C.若命题 p:存在 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定:对任意 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 D.若命题“非 p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 5、已知抛物线 y ? 4ax 2 ,则其准线方程是 A A. y ? ?

1 16a

B. x ? ?a

C. y ? ?

1 16a

D. x ? ? a

6、 如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A

4

A. C.

1 2 3 4

B. 1
1

D.

3 2
1

1

主视图

1

左视图

俯视图 7、给出两个命题: p:平面内直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 x 有且只有一个交点,则直线 l 与该抛物线

相切;命题 q:过双曲线 x ?
2

y2 ? 1右焦点 F 的最短弦长是 8。则( B ) 4
B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题

A.q 为真命题 C. “p 且 q”为真命题 8、已知双曲线 C : A. y ? ?

5 x2 y 2 ,则 C 的渐近线方程为( C ) ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 4x 的准线分别交于 A, B 两 2 a b 点, O 为坐标原点.若 ?AOB 的面积为 3 ,则双曲线的离心率为( C ) 3 3 A. B. C. 2 D. 3 4 2
9、已知双曲线 10、设 F 为抛物线 y ? 8x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则
2

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB | ? | FC | = (
B.9

C

A.6

) C.12

D.16 ( A ) C.

11、已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 A.

2 6

B.

3 6

2 3

D.

2 2

12 、椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3
B )

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A. ? , ? ? ?2 4? ?
3? B. ? 3 , ? ?8 4 ? ?

C.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

D.

?3 ? , 1 ? ?4 ? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、复数

5 的共轭复数是 3 ? 4i

5

14.由图(1)有关系

S ?PA/ B / S ?PAB

V PA/ ? PB/ ,则由图(2)有关系 P ? A ' B 'C ' ? ? VP ? ABC PA ? PB



(1)

(2)

15、若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则 的最小值为

2 3 ? a b

5? 2 6
2



16、过抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾角为 30? 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两点( A 在 y 轴 左侧) ,则
AF FB ?

1 . 3
2

三、解答题
2 17、 (本题满分 10 分) 已知命题 p :x ? 7 x ? 10 ? 0 , 命题 q :x ? 2x ? ?1 ? a ??1 ? a ? ? 0 , (a ? 0) ,

若“ ? p ”是“ ? q ”的必要而不充分条件,求 a 的取值范围
2 2 2 解: x ? 7 x ? 10 ? 0 ? 2 ? x ? 5 , x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? 1 ? a ? x ? 1 ? a ,

∵ P 是 q 的充分不必要条件,∴ {x | 2 ? x ? 5} ∴?

{x | 1? a ? x ? 1 ? a} ,

?1 ? a ? 2 ? a ? 4。 ?1 ? a ? 5

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; q :方程 ? ? 1表 18、 (本题满分 12 分) 已知命题 p :方程 2k ? 1 k ? 1 4?k k ?3 示双曲线. 若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ” 为假,求实数 k 的取值范围.

? 2k ? 1 ? 0, ? 解:若命题 p 为真,则 ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? 1 ; ? 2k ? 1 ? k ? 1, ?
若命题 q 为真,则 (4 ? k )(k ? 3) ? 0 ,解得 k ? 3 或 k ? 4 由题意可知命题 p 与 q 一真一假 当 p 真 q 假时,则 ? 当 p 假 q 真时,则 ?

?k ? 1, ,解得 3 ? k ? 4 ; ?3 ? k ? 4,

?k ? 1, 解得 k ? 1 . ?k ? 3或k ? 4, 综上,实数 k 的取值范围 k ? 1 或 3 ? k ? 4 .
19、 (本题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AC =BC = AA1=a,∠ACB =90°,D 是 A1B1 中点.(1)求证:C1D ⊥平面 A1B1BA ; (2)请问, 当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论.解: (1)? AC=BC, ??A1B1C1 为等腰三角形,
6

又? A 1 D ? DB 1 ,?C1 D ? A 1B 1

? AA1 ? 底面A1B1C1 ,?C1D ? AA1,又? AA1 ? A1B1 ? A1 ,?CD ? 面A1B1BA (2)由(1)可得:?C1D ? AB1,又要使 AB1 ? 平面C1DF, 只要 DF ? AB1 即可,
又??ACB ? ?AC 1 1B 1 ? 90?, 且AA 1 ? AC ? BC ? a,? A 1B 1 ? 2a ,

?? DEB1 ?? AA1 B1 ?? DB1 F ,?

DB1 B1 F ? ,? B1 F ? a AA1 A1 B1 即当:F 点与 B 点重合时,会使 AB1 ? 平面C1DF,

20、 (本题 满分 12 分) 如图 1, 直角梯形 ABCD 中, AD / / BC, ?ABC ? 90? ,

E , F 分 别 为 边 AD 和 BC 上 的 点 , 且 EF / / AB , AD ? 2 AE ? 2 AB ? 4 FC ? 4 .将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的位 A B 置,使 .

AD ? AE (1)求证: BC // 平面 DAE ; (2)求四棱锥 D ? AEFB 的体积.

D
A E

C

F
C

E F
D
图1

B

图2

解 (1)证:?CF // DE, FB // AE, BF ? CF ? F , AE ? DE ? E

? 面 CBF // 面 DAE 又 BC ? 面 CBF

所 以 BC

// 平面 DAE

(2)取 AE 的中点 H ,连接 DH ? EF ? ED, EF ? EA? EF ? 平面 DAE 又 DH ? 平面

DAE ? EF ? DH ? AE ? ED ? DA ? 2? DH ? AE, DH ? 3 ? DH ? 面 AEFB
所以四棱锥 D ? AEFB 的体积 V ?

1 4 3 ? 3 ? 2? 2 ? 3 3

21、 (本题满分 12 分)设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物 线 C 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,且 y1 y 2 ? ?4 .

(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方 程; (Ⅱ)若 k ? 1 , O 为坐标原点,求 ?OAB 的面积.
7

试题解析: (Ⅰ) F (

p p ,0) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) , 2 2

p ? ? y ? k(x ? ) 联立 ? 2 ,消 x ,得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ? ? y1 y2 ? ? p 2 ? ?4 ,从而 p ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)由已知, F (1,0) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 ,
联立 ?

?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

,消 x ,得 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,所以 ?

? y1 ? y 2 ? 4 , ? y1 y 2 ? ?4

?| AB |? 2 ? 4 2 ? 4 ? (?4) ? 8

又? O 到直线 AB 的距离 d ?

1 2

?

2 , 2

故 S?OAB ?

1 2 ? ?8 ? 2 2 . 2 2

22、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : (I) 求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 经过点 P (1, . ) ,离心率是 2 a b 2 2

(II) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M ,求证:直线 l 恒过 定点.

3 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 3 ? ?a ? 2 x2 3 ?c ? y2 ? 1 解:(I)由 ? ? ,解得 ? ,所以椭圆 C 的方程是 4 2 ?b ? 1 ?a 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?
. (II) (1)由题意可知,直线 l 的斜率为 0 时,不合题意. (2)不妨设直线 l 的方程为 x ? ky ? m .
? x ? ky ? m ? , 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

消去 x 得 (k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? ?

m2 ? 4 2km ??① , ???② y y ? 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4

???? ???? 因为以 AB 为直径的圆过点 M ,所以 MA ? MB ? 0 .
8

???? ???? 由 MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 .
将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2 ? 0 . ??? 将①②代入③,得 解得 m ? ③

5m ? 16m ? 12 ? 0 , k2 ? 4
2

6 或 m ? 2 (舍) . 5 6 综上,直线 l 经过定点 ( ,0). 5

9



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