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等比数列的前n项和



国王赏麦的故事

4 25 26 27 … 263 2 1 2 国王要给多少麦粒?

22

23

?

让我们来分析一下:
由于每个格子里的麦粒数都是前一个 格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子, 各个格子里的麦粒数依次是

1, 2, 2

, 2 , ? ??, 2 ,
2 3 63

于是发明者要求的麦粒总数就是

1? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ,
2 3 63

=18,446,744,073,709,551,615

等比数列前n项和的公式

引例:


求数列: 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 263 ? ?

S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 263

两边同乘公比2,得 2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ?16 ? ?? 263 ? 264.

将上面两式列在一起,进行比较

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ?? 2 ,
63

① ②

2S64 ?

2 ? 4 ? 8 ? ? ? 263 ? 264.

② - ①,得

S64 ? 2 ?1
64

说明:这种求和方法称为错位相减法

等比数列的前 n 项和 设等比数列 a , a , a ,?, a ,?
1 2 3 n

它的前n项和是


Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
2 n ?2

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q

? a1q .

n?1



⑴×q, 得

qSn ?
⑴-⑵,得

a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1q n?1 ? a1qn .



?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1q

n

,

说明:这种求和方法称为错位相减法

等比数列前n项和求和公式

当q≠1时,

a1 ? 1 ? q n Sn ? 1? q

?

?

当q=1时,

Sn ? na1

? na1 , (q ? 1), 于是 S ? ? a (1 ? q n ) ? 1 n ? 1 ? q , ( q ? 1). ?

等比数列前n项和公式的其他推导方法
用等比定理推导 an a 2 a 3 a4 ? ? ? ??? ? ?q 因为 a1 a2 a3 a n ?1 a 2 ? a 3 ? a4 ? ? ? ? ? a n ?q 所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 S n ? a1 ?q S n ? an ?na1 n a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 或 S n ? ? ? a1 ? an q 1? q ?
? 1-q

q ?1 ,

q ? 1。

当 q = 1 时 Sn = n a 1

注意: ①在等比数列的前 n 项和的两个公式中共有五 个量 a1,n,q,Sn,an,如果已知其中的任意三个便可求出 另外两个,即所谓的“知三求二”. ②在使用等比数列的前 n 项和公式时,如果公比 q 不确 定,切不可贸然使用,而应当分 q=1 与 q≠1 两种情况讨论.

合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 ? a1q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q a1 令A ? ? ? 0 则:S n ? Aqn - A 1-q
这个形式和等比 数列等价吗?
n

等比数列前n项和的性质一:

数列 {an }是等比数列 ? S n ? Aq - A( A ? 0) 类似结论: 相反 数列 {an }是等比数列 数 ? Sn ? Aan ? B( AB ? 0, A ? 1)

例题讲解
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n ? 4n ? a,求a的值。

提示: S n ? Aq - A( A ? 0)
n

系数和常数互为相反数 ? a ? ?1

变式练习
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn ? 3n?1 ? 2a,求a的值。
1 1 1 n 化简到: S n ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 3 3 6

我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?an ?为等差数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列。

新的等差数列首项为 S k,公差为k d。
2

那么,在等比数列重,也有类似的性质吗?

等比数列前n项和的性质二:
怎么 证明?

如果?an ?为等比数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等比数列

新等比数列首项为 S k,公比为q k 。

2、等比数列 {an }的前n项和为S n,若S m ? 10 ,S 2m ? 30 , 求S 3m的值。 解:? S m,S 2m - S m,S3m - S 2m 成等比数列

? (S 2m - S m ) ? S m ? (S3m - S 2m )
2

即: (30 - 10) ? 10? (S3m - 30)
2

解得:S3m ? 70

等比数列前n项和的性质三:

?an ?共有2n项,则: 若等比数列
S偶 S奇 ?q
怎么 证明?

等比数列前n项和的性质四:
如果?an ?为公比为 q的等比数列 ,对?m、p ? N ? 有:

Sm? p ? Sm ? q S p
m

探究一:错位相减法求和
例 1 设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+?+3
2 n-1

n an= ,n∈N*. 3

(1)求数列{an}的通项; n (2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n
解 (1)∵a1+3a2+3 a3+?+3
2 n-2

2

n-1

n an= , 3



∴当n≥2时,
a1+3a2+3 a3+?+3

n- 1 an-1= , 3



1 1 - ①-②得3n 1an= ,∴an= n. 3 3 1 1 在①中,令n=1,得a1= ,适合an= n, 3 3 1 ∴an= n. 3

n (2)∵bn=a ,∴bn=n· 3n. n ∴Sn=3+2×32+3×33+?+n· 3n, ③

∴3Sn=32+2×33+3×34+?+n· 3n+1.
④-③得2Sn=n· 3n+1-(3+32+33+?+3n), n n+1 3 ? 1 - 3 ? ? 2 n - 1 ? 3 3 n+1 即2Sn=n· 3 - ,∴Sn= + . 4 4 1-3



探究二:裂项相消法求和
例 2 已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n ? 1? =an?Sn-2?. ? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1



2? ? ? 1? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, ? ?
即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn, 由题意Sn-1· Sn≠0,

1 2 ? (1)∵Sn=an Sn- ?,an=Sn-Sn-1

?

?

(n≥2),



1 1 ①式两边同除以Sn-1· Sn,得S - =2, n Sn-1 ? ?1? ? 1 1 ∴数列?S ?是首项为 = =1,公差为2的等差数列. ? S1 a1 ? n? ? 1 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . 2n-1 n

Sn 1 (2)又bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? ? 1 ? = ?2n-1-2n+1?, 2? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn ? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? = ??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? n ? ? = ?1-2n+1?= . 2? ? 2n+1

探究四:倒序相加法求和 1 例 , 计算f ( ? n) ? f ( n ? 1)的值, 例 41.若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 并求T ? f ( ?5) ? f ( ?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6).
解: f ( ? n) ? f ( n ? 1) ? 1

?

2n

2 ? 2
n

?n

?

1

2

n ?1

1? 2 2 2

?

1

? 2

n ?1

? 2

?

2n 2 ? 1 (2n

2 ? . 2 2 ? 1) 2

T ? f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) T ? f ( 6 ) ? f ( 5 ) ? ??? ? f ( 1 ) ? ??? ? f (?4) ? f (?5)

2 ? 2T ? ? 12, 2

即 T ? 3 2.



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