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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:9.2(含答案)



第九章

9.2 第 2 课时

高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( ) 1 3 A.2 B.2 2 3 2 C. 2 D. 2 答案 D |1+1+1| 3 2 解析 由 d= = 2 2 2.过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( ) A.x-2

y+7=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 答案 A 1 1 解析 因为直线 x-2y+3=0 的斜率是2, 故所求直线的方程为 y-3=2(x+1), 即 x-2y+7=0. 3.若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的 取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D. [1,+∞) 答案 C 解析

如图,作出直线 x+y-1=0 的图象,它与 x 轴、y 轴交点分别为(1,0)、(0,1), 直线 y=kx-1 过点(0,-1),因此,直线 y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点在第 一象限时,k>1,选择 C. 4.若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y+6=0 的图象是两条平行直线, 则 m 的值是( ) A.m=1 或 m=-2 B.m=1 C.m=-2 D.m 的值不存在 答案 A 1 1+m m-2 解析 法一: 据已知若 m=0, 易知两直线不平行, 若 m≠0, 则有m= 2 ≠ 6 ? m=1 或 m=-2. 法二:由 1× 2=(1+m)m,得:m=-2 或 m=1, 当 m=-2 时,l1:x-y-4=0,l2:-2x+2y+6=0,平行 当 m=1 时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+6=0,平行

5.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2= 0,则实数 m 的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 答案 C 1+m 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点( 2 ,0)在直线 x+2y-2=0 上,把 中点坐标代入直线方程,解得 m=3. 6.将一张坐标纸折叠一次,使点(2,0)与点(2,4)重合,则与点(-4,1)重合的点 是( ) A.(4,-1) B.(-4,3) C.(-4,-3) D.(8,3) 答案 B 解析 以点(2,0)与(2,4)为端点的线段的垂直平分线为 y=2,即为对称轴,故 与点(-4,1)重合的点是(-4,3). 7.已知直线 l1:y=x· sinα 和直线 l2:y=2x+c,则直线 l1 与 l2( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 D.通过绕 l1 上某一点旋转可以重合 答案 D 解析 ∵k1≠k2,∴l1 与 l2 相交.选 D. x y 8.若直线a+b=1 通过点 M(cosα,sinα),则( ) A.a2+b2≤1 B. a2+b2≥1 1 1 1 1 C.a2+b2≤1 D.a2+b2≥1 答案 D x y 解析 直线a+b=1 通过点 M(cosα,sinα),我们知道点 M 在单位圆上,此问 x y 题可转化为直线a+b=1 和圆 x2+y2=1 有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线 |-1| 1 1 的距离公式有 ≤1? a2+b2≥1,故选 D. 1 1 a2+b2 二、填空题 9.点 P(-1,3)到直线 l:y=k(x-2)的距离的最大值等于________. 答案 3 2 解析 解法一:直线 l:y=k(x-2)的方程化为 kx-y-2k=0,所以点 P(-1,3) 3|k+1| k2+2k+1 2k 2k 到该直线的距离为 d= 2 =3 =3 1+ 2 ,由于 2 ≤1,所 2 k + 1 k + 1 k +1 k +1 以 d≤3 2.即距离的最大值等于 3 2. 解法二:直线 l: y=k(x-2)过定点 Q(2,0),所以所求距离的最大值即为|PQ| =3 2.

10.直线(2λ+1)x+(λ-1)y+1=0(λ∈R),恒过定点________. 1 2 答案 (-3,3) 解析 整理为 x-y+1+λ(2x+y)=0 1 x=-3 ? ? x - y + 1 = 0 ? 1 2 令? 得? ∴恒过点(-3,3) 2 ?2x+y=0 ?y=3 ? 1 11.若函数 y=ax+8 与 y=-2x+b 的图象关于直线 y=x 对称,则 a+b= ________. 答案 2 解析 直线 y=ax+8 关于 y=x 对称的直线方程为 x=ay+8,所以 x=ay+8 ?a=-2 1 与 y=-2x+b 为同一直线,故得? ,所以 a+b=2. ?b=4 12.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为 ________. 答案 16 x y 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为a+b=1,又 C(-2,-2)在该 -2 -2 直线上,故 a + b =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.根据基本不等 式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,即 ab 的最小值为 16. 三、解答题 13.已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条 件的 a、b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 2 ? ?a= ?a=2 ?a=2, 答案 (1)? (2)? 或? 3 ?b=2 ?b=-2 ? ?b=2 解析 (1)∵l1⊥l2,∴a· (a-1)-b=0,① 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0② 由①,②解得:a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2, a ∴直线 l1 的斜率存在,∴k1=k2,即b=1-a③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数.即b=b,④ 2 ? ?a= , ?a=2, 由③④联立解得? 或? 3 ?b=-2, ? ?b=2.

14.直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,且 l1 与 l2 的距离为 5,求 l1、l2 的方程. 解析 若 l1,l2 的斜率都存在时,设直线的斜率为 k, 由斜截式得 l1 的方程 y=kx+1,即 kx-y+1=0, 由点斜式可得 l2 的方程 y=k(x-5),即 kx-y-5k=0. 在直线 l1 上取点 A(0,1),则点 A 到直线 l2 的距离 |1+5k| d= =5, 1+k2 12 ∴25k2+10k+1=25k2+25,∴k= 5 . ∴l1:12x-5y+5=0, l2:12x-5y-60=0. 若 l1、l2 的斜率不存在, 则 l1 的方程为 x=0,l2 的方程为 x=5,它们之间的距离为 5.同样满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组: ?l1:12x-5y+5=0, ?l1:x=0, ? 或? ?l2:12x-5y-60=0; ?l2:x=5. 15.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条 切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解析 (1)y′=2x+1.直线 l1 的方程为 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 因为 l1⊥l2,则有 2b+1=-3,b=-3, 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=-3x- 9 . 1 y=3x-3, ? ? ?x=6, ? (2)解方程? 得? 1 22 5 y=-3x- 9 , ? ? ? ?y=-2. 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点的坐标为(6,-2). 22 l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(- 3 ,0). 1 25? 5? 125 所以所求三角形的面积为 S=2× 3 ?-2?= 12 . ? ?

拓展练习·自助餐
1.已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程为( )

A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0 答案 B 解析 在 l1 上取两点(0,-2),(1,0),则易求它们关于直线 l 的对称点为(-1, y+1 x+1 -1),(1,0),∴l2 的方程为 = ,即 x-2y-1=0. 0+1 1+1 2.若实数 x,y 满足 x+2y-3=0,则 x2+y2 的最小值是________. 9 答案 5 解析 可用消元法:x=3-2y 代入 x2+y2 化为一元函数求最值;或用解析法: 将 x2+y2 视为直线 x+2y-3=0 上的点 P(x,y)与原点 O(0,0)距离的平方.其最小 值为原点到直线 x+2y-3=0 距离的平方, |-3| 2 9 故(x2+y2)min=( ) =5. 5 3.三角形的两条高所在直线的方程为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,且 A(1,2)是 其一个顶点.求 BC 边所在直线的方程. 解析 可以判断 A 不在两条高所在的直线上,不妨设 AB、AC 边上的高所在 的直线方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,则 AB、AC 所在的直线方程可求得: 3 y-2=-2(x-1),y-2=x-1,即 3x+2y-7=0,y-x-1=0. ?3x+2y-7=0 由? ,得 B(7,-7), ?x+y=0 ?y-x-1=0 由? ,得 C(-2,-1). ?2x-3y+1=0 所以直线 BC 的方程为 2x+3y+7=0.

教师备选题
1. 试求三条直线 ax+y+1=0, x+ay+1=0, x+y+a=0 构成三角形的条件. 思路分析 三条线构成三角形,则任意两直线相交且不能交于一点. 解析 解法一:任意两直线相交, a 1 a 1 得1≠a,1≠1, ∴a≠±1 且三直线不共点. ?x+ay+1=0 由? 得交点(-1-a,1), ?x+y+a=0 此交点不在直线 ax+y+1=0 上, 即 a(-1-a)+1+1≠0, ∴a2+a-2≠0,∴a≠-2 且 a≠1. 综上所述,a≠-2 且 a≠±1. 解法二:三条直线能构成三角形, ∴三条直线两两相交且不共点,即任意两条直线都不平行且三线不共点, 若 l1、l2、l3 交于一点,则 l1

x+y+a=0 与 l2:x+ay+1=0 交点 P(-a-1,1)在直线 l3:ax+y+1=0 上, ∴a(-a-1)+1+1=0, ∴a=1 或 a=-2. 1 若 l1∥l2 则有-a=-1,a=1; 若 l1∥l3 则有-a=-1,a=1; 1 若 l2∥l3 则有-a=-a,a=± 1, ∴l1,l2,l3 构成三角形时,a≠±1 且 a≠-2. 2.(1)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之 差最大; (2)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 Q,使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和 最小. 解析

甲 (1)如图甲所示,设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a,b),则 kBB′· kl=-1, b-4 即 3· a =-1. ∴a+3b-12=0.① a b+4 又由于线段 BB′的中点坐标为(2, 2 ),且在直线 l 上, a b+4 ∴3× 2- 2 -1=0, 即 3a-b-6=0.② 解①②,得 a=3, b=3,∴B′(3,3). y-1 x-4 于是 AB′的方程为 = , 3-1 3-4 即 2x+y-9=0. ?3x-y-1=0, ?x=2, 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

3 24 (2)如图乙所示,设 C 关于 l 的对称点为 C′,求出 C′的坐标为(5, 5 ).

∴AC′所在直线的方程为 19x+17y-93=0, 11 26 AC′和 l 交点坐标为( 7 , 7 ), 11 26 故 Q 点坐标为( 7 , 7 ). 3.将一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 平行的概率为 P1,相交的概率为 P2, 则复数 P1+P2i 所对应的点 P 与直线 l2:x+2y=2 的位置关系是( ) A.P 在直线 l2 上 B.P 在直线 l2 的左下方 C.P 在直线 l2 的右上方 D.无法确定 答案 B a 1 a 1 解析 易知当且仅当b≠2时两条直线只有一个交点,而b=2的情况有三种:a =1,b=2(此时两直线重合),a=2,b=4(此时两直线平行),a=3,b=6(此时两 直线平行),而投掷两次的所有情况有 6× 6=36 种,所以两条直线相交的概率 P2= 3 11 2 1 1 11 1-36=12; 两条直线平行的概率为 P1=36=18, P1+P2i 所对应的点为 P(18, 12), 1 11 易判断 P(18,12)在 l2:x+2y=2 的左下方,选 B. 名师指引 本题融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识,在处理方 法上可采用枚举法处理,注意不要忽视了直线重合这种情况,否则会误选.



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