北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编：三角函数

北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 三角函数
一、选择题 1、（朝阳区 2015 届高三上学期期末）设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ，下面结论中正确的是 A．函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B．图象 C 关于点 ( ,0) 对称 C．图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D．函数 f ( x) 在区间 (?

? 3

? 6

? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2

2、（朝阳区2015届高三上学期期末）在 ?ABC 中， B ?

π ，则 sin A ? sin C 的最大值是 4
D．

A．

1? 2 4

B．

3 4

C．

2 2

2? 2 4
π ，则 A 等于 3

3、（大兴区 2015 届高三上学期期末）在 ?ABC 中， a ? 2 ， b ? 3 ， B ? （A） （C）
π 6
3π 4

（B） （D）

π 4

π 3π 或 4 4

4、（丰台区2015届高三上学期期末）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边， b ?

7，

c ? 3， B ?
(A)l

? ，那么a等于 6
(B)2 (C)4 (D)l或4

5、 （西城区 2015 届高三上学期期末） 在锐角 ? ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 若 a ? 2b ，

sin B ?

3 ，则（ 4
? 3

）

（A） A ?

（B） A ?

? 6

（C） sin A ?

3 3

（D） sin A ?

2 3

6、 （北京四中 2015 届高三上学期期中）为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象，可以将函数

y ? 2 sin3x 的图象
（A）向右平移

? 个单位 4

（B）向左平移

? 个单位 4

（C）向右平移

? 个单位 12

（D）向左平移

? 个单位 12

7、（北京四中 2015 届高三上学期期中）设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ，其中 a, b ? R, ab ? 0 ，若

f (x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立，则下列结论正确的是 6
11? )?0； ① f( 12

?

②

既不是奇函数也不是偶函数；

? 2? ? ? ③ f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ( k ? Z) ； 6 3 ? ? ?
④ 存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x) 的图象不相交. （A） ①② （C） ②③ （B）①③ （D）②④

8、（朝阳区 2015 届高三上学期期中）如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数

y ? A sin??x ? ? ? ? b
（其中 ? ? 0 ，

? ? ? ? ? ）， 2

T /℃ 30 20 10 O 6 8 10 12 14 t/h

则估计中午 12 时的温度近似为（ A. 30 ℃ B. 27 ℃

） C.25 ℃ D.24 ℃

9、 （海淀区 2015 届高三上学期期中） 要得到函数 y ? sin(2 x ? 图象（ ）

π ) 的图象， 只需将函数 y ? sin 2 x 的 3

? ? 个单位 （B）向左平移 个单位 3 6 ? ? （C）向右平移 个单位 （D）向右平移 个单位 3 6
（A）向左平移

二、填空题 1、 （东城区 2015 届高三上学期期末）在△ ABC 中，a ? 3 ，b ? 13 ， B ? 60 ，则 c ? △ ABC 的面积为_______ 2、 （朝阳区 2015 届高三上学期期中） 已知 tan( ? ? )= 的值是______ 三、解答题 1、（昌平区 2015 届高三上学期期末）已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ． ( I ) 求函数 f ( x) 的最小正周期； (Ⅱ) 当 x ? [0, ] 时，求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 值． ；

? 4

1 ? n t ? 的值是_______; cos? ， ? ? ( , ?) ， 则a 7 2

? 2

2、（大兴区 2015 届高三上学期期末）已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x ( x ? R) . （Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期及单调减区间；

π （Ⅱ）若 f ( x0 ) ? 2 ， x0 ? [0， ] ，求 x0 的值. 2
3、 （东城区 2015 届高三上学期期末）已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? 部分图象如图所示． （Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 间 [0, ] 上的最大值和最小值．

? ) 2

? 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图象，求函数 g ( x) 在区 6
y
1

? 2

?? 3

o
?1

?? 12

x

4、（丰台区2015届高三上学期期末）已知函数

f ( x) ? 2 3 sin(x ?

?
4

) cos(x ?

?
4

) ? 2 cos2 (x ?

?
4

)? 1,x ? R .

（I）求函数 f ( x) 的最小正周期； （II）求函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值及相应的 x 的值．
π ) 的部分图象如图所示. 2
y 3 2

5、（海淀区 2015 届高三上学期期末）函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? （Ⅰ ）写出 ? 及图中 x0 的值；

1 （ Ⅱ） 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) ， 求 函 数 g ( x) 在 区 间 3 1 1 [? , ] 上的最大值和最小值. 2 3

O

x0

x

6、 （石景山区 2015 届高三上学期期末） 如图所示， 在四边形 ABCD 中， AB ? DA ，CE ?

7 ，?ADC ?

2? ? ；E 为 AD 边上一点，DE ? 1 ，EA ? 2 ，?BEC ? . C 3 3
D E

（Ⅰ）求 sin∠CED 的值； （Ⅱ）求 BE 的长．

A 7、（西城区 2015 届高三上学期期末）已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin 如图所示. （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ） 设点 B 是图象上的最高点，点 A 是图象与 x 轴的交点，求 tan ?BAO 的值.

B

x x x cos ? cos , x∈R 的部分图象 4 4 2

y
B O A

x

8、（北京四中 2015 届高三上学期期中）已知函数 f ( x) ? 2( 3 cos x ? sin x)sin x , x ? R .

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间；
? ?? （Ⅱ）求函数 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值与最小值. ? 4?

9、（朝阳区 2015 届高三上学期期中）已知函数 f ( x) ? 3sin x ? a cos x （ x ? R ）的图象经过点

? ( ,1) . 3
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间.

10、（东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为

a, b, c ，满足 c ? 1 ，
且 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 。 （I）求 C 的大小； （II）求 a ? b 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的值。
2 2

11、（海淀区 2015 届高三上学期期中）已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? （Ⅰ ）求 f ( ) 的值； （Ⅱ ）求 f ( x ) 的单调递增区间.

π ). 3

π 2

参考答案
一、选择题 1、B 2、D 7、A 8、B 二、填空题 1、4, 3 3 2、 ? 3、B 9、B 4、C 5、A 6、D

3 3 ,? 4 4

三、解答题 1、解：（Ⅰ）因为 f ( x) ? sin 2 x ? 2 ?

1 ? cos 2 x 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

………… 5 分 ………… 7 分 …………9 分 …………11 分 …………13 分

2? ? ? ，故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2 ? ? ? ?? （Ⅱ）因为 0 ? x ? ， 所以 ? 2 x ? ? ． 2 4 4 4 ? ? ? 当 2 x ? ? 时，即 x ? 时， 8 4 2
所以 T ? 所以 f ( x) 有最大值 2 ? 1 . 2、解：（Ⅰ） f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 3sin 2x

?1? 2?

1 ? cos2 x ? 3sin 2 x 2

? 3sin 2x ? cos2x ? 2
? 2?( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
2 π ?π 2

………..4 分 ………..6 分 ………..7 分

所以， f (x) 的最小正周期T ? 由 2kπ ? 化简得

π π 3π ? 2x ? ? 2kπ ? , k ? Z 2 6 2

kπ ?

π 5π ? x ? kπ ? 3 6 π 5π , kπ ? ], k ? Z 3 6
………..9 分

所以，函数 f ( x) 的单调递减区间为 [kπ ? （Ⅱ）因为

f ( x0 ) ? 2 ， 所以 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? 2

π 6

即 sin(2 x0 ? ) ? 0
? π? 又因为 x0 ? ?0， ? ? 2?

π 6

………..2 分

所以 2 x0 ? 则 3、

π π 5π ?[ ? , ] 6 6 6 π π 2 x0 ? ? 0 ， 即 x0 ? 6 12

………..3 分 ………..4 分

4、(I) f ( x) ? 2 3 sin( x ?

? ? ? ) cos( x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 4 4 4

? ? ? 3 sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 2 2 ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2sin(2 x ? ) 3
2? ? ? ．………………………………………………………………6 分 2 ? (II)因为 0 ? x ? 2 T?

? ? 4? ? 2x ? ? ． 3 3 3 ? ? ? 所以：当 2 x ? ? ，即 x ? 时， ymax ? 2 ； 12 3 2 ? ? ? 当 2 x ? ? ，即 x ? 时， ymin ? ? 3 ．…………………………………13 分 12 3 2 ? ? 所以当 x ? 时，函数有最大值是 2；当 x ? 时，函数有最小值是 ? 3 ． 12 2 π 5、解：（Ⅰ ） ? 的值是 . ………………2 分 6 5 ………………5 分 x0 的值是 . 3 1 1 π π （Ⅱ ）由题意可得： f ( x ? ) ? cos( π(x ? ) ? ) ? cos( πx ? ) ? ? sin πx . 3 3 6 2
所以 ………………7 分 所以 f ( x) ? f ( x ? ) ? cos( πx ?

π ) ? sin πx 6 π π ? cos πx cos ? sin πx sin ? sin πx 6 6 1 3

………………8 分

?

3 1 cos πx ? sin πx ? sin πx 2 2 3 3 π cos πx ? sin πx ? 3 cos( πx ? ) . 2 2 3
………………10 分

?
因为 x ? [?

1 1 , ]， 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ，即 x ? ? 时， g ( x) 取得最大值 3 ； 3 3
当 πx ?

π 2π 1 3 ? ，即 x ? 时， g ( x) 取得最小值 ? . 3 3 3 2

………………13 分

6、（Ⅰ）设 ?CED ? ? .在 ?CED 中，由余弦定理，得

CE 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos ?CDE
得 CD ＋CD－6＝0，解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)． 在 ?CED 中，由正弦定理，得 sin ?CED ?
2

…………………2 分 …………………4 分 …………………6 分

21 7

（0， ） （Ⅱ）由题设知 ? ? ，所以 cos ? ? 3

?

2 7 7

…………………8 分

而 ?AEB ?

2? ? ? ，所以 3

cos ?AEB ? cos （

2? 2? 2? ? ?） =cos cos ? ? sin sin ? 3 3 3

1 3 1 2 7 3 21 7 . ………………11 分 = ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14
在 Rt ?EAB 中， BE ?

2 ?4 7 . cos ?AEB

…………………13 分

7、（Ⅰ）解：因为 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos 4 4 2 x x ? 3 sin ? cos 2 2 x π = 2 sin( ? ) ， 2 6

……………… 2 分 ……………… 4 分

所以 T ?

2π ? 4π . 1 2
……………… 6 分

故函数 f ( x) 的最小正周期为 4 π .

π x π π ≤ ? ≤ 2kπ ? ， 2 2 6 2 4π 2π 解得 4kπ ? ， ≤ x ≤ 4kπ+ 3 3 4π 2π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4kπ+ ], (k ? Z) . 3 3
由题意，得 2kπ ? （Ⅱ）解：如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点 C .

……………… 9 分

y
B O C A

3T ? 3π ， BC ? 2 ， 4 BC 2 所以 tan ?BAO ? . ? AC 3π
由题意，得 AC ? ………… 13 分 8、解： f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(

x

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

（Ⅰ） f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

?
2

? ?2k? ? 2 x ?

?
6

?

?

2π ? π. 2

2

? 2k? , k ? Z ，解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ，

, k? ? ], k ? Z . 3 6 ? ? ? 2? 1 ? （Ⅱ）因为 0 ? x ? ，所以 ? 2 x ? ? ，所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 ， 4 6 6 3 2 6

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

?

? 于是 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ，所以 0 ? f ( x) ? 1 . 6
当且仅当 x ? 0 时 f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0

? 时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 . 6 6 2 6 ? 9、解：（Ⅰ）由函数 f ( x ) 的图象经过点 ( ,1) ， 3 ? ? 则 3 sin ? a cos ? 1 . 3 3 解得 a ? 1 .
当且仅当 2 x ?

?

?

?

，即 x ?

?

因此 f ( x) ? 3sin x ? cos x . （Ⅱ） f ( x) ? 3sin x ? cos x

……………………….5 分

? 2(

3 1 sin x ? cos x) 2 2

? ? 2sin( x ? ) . 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? .

? ? ?? ? x ? ? 2k ? ? ，k ?Z . 2 6 2 ?? ?? ? x ? 2k ? ? 可得 2k ?+ ， k ?Z . 3 3 ?? ?? , 2k ? ? 因此函数 f ( x ) 的单调递减区间为[ 2k ?+ ]， k ? Z .……………13 分 3 3
由 2k ?+ 10、解：（I）由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 ， 可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 ， 即 sin A ? a cos C ，又 c ? 1 ，所以 c sin A ? a cos C ， 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C ，（4 分） 因为 0 ? A ? ? ，所以 sin A ? 0，从而 sin C ? cos C ，即 C ?
2 2 2

?
4

。（6 分）

（II）由余弦定理 a ? b ? 2ab cosC ? c ，得 a ? b ? 2ab ? 1 ，
2 2

又 ab ?

? 2? 2 a2 ? b2 ??a ? b 2 ? ? 1，于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 ，（11 分） ，所以 ?1 ? ? ? 2 2 ? ?
3 ? 时， a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 。（13 分） 8

当A?B?

11、解：（Ⅰ） f ( ) ? sin

π π π 1 1 ? sin( ? ) ? 1 ? ? . 2 2 3 2 2 π （Ⅱ） f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) 3 π π ? sin x ? (sin x cos ? cos x sin ) 3 3

π 2

……………… 3 分

……………… 5 分

1 3 1 3 π ? sin x ? ( sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 2 2 2 2 3
……………… 9 分 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ? 由 2kπ ?

π π , 2kπ ? ](k ? Z) ， 2 2

π π π ≤x ? ≤2kπ ? (k ? Z) ， ……………… 11 分 2 3 2 π 5π (k ? Z) . 得 2kπ ? ≤x≤2kπ ? 6 6 π 5π ](k ? Z) . ……………… 13 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2kπ ? , 2kπ ? 6 6