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高考数学中的恒成立问题与存在性问题



“恒成立问题”的解法
常用方法:①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 一、函数性质法 1.一次函数型:给定一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,若 y ? f ( x) 在[m,n]内恒有 f ( x) ? 0 ,则根据函数

的图象 (直线) 可得上述结论等价于 ? y

? f (

m) ? 0 ? f ( m) ? 0 ; 同理, 若在[m,n]内恒有 f ( x) ? 0 , 则有 ? . ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0
y

o m

n

x
2

o m

n

x

例 1.对满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x 略解:不等式即为 ( x ?1) p ? x
2

? px ? 1 ? 2 px ? x 恒成立的 x 的取值范围。

? 2x ? 1 ? 0 ,设 f ( p) ? ( x ?1) p ? x2 ? 2x ? 1 ,则 f ( p ) 在 [?2, 2] 上恒大

?x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? ? x ? ?1或x ? 3 . 于 0,故有: ? ,即 ? 2 ?? ? ? f (2) ? ? x ? 1或x ? ?1 ?x ? 1 ? 0
2.二次函数:

a?0 a?0 ①.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ? 0 (或 ? 0 )在 R 上恒成立,则有 ? (或 ? ) ; ? ? ?? ? 0 ?? ? 0
②.若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ? 0 (或 ? 0 )在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及
2

根的分布等知识求解。 例 2.已知函数 f ? x ? ? 2mx ? 2 ? 4 ? m? x ?1, g ? x ? ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 的值至少
2

有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) 选 B。

D.(-∞,0)

例 3.设

f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 ,当 x ?[?1, ??) 时,都有 f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 f ( x) ? a ? x2 ? 2ax ? 2 ? a ,

解:设 F ( x) ?

(1)当 ? ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 时,即 ?2 ? a ? 1 时,对一切 x ? [?1, ??) , F ( x) ? 0 恒成立; (2)当 ? ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 时,由图可得以下充要条件: y

-1 o
1

x

? ?? ? 0 ?( a ? 1)( a ? 2) ? 0 ? ? ? ?3 ? a ? ?2 ; 综合得 a 的取值范围为[-3,1]。 ? f (?1) ? 0 即 ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?1, ? ?2a ? ?? ? ?1, ? 2
例 4.关于 x 的方程 9
x

x

? (4 ? a)3x ? 4 ? 0 恒有解,求 a 的范围。
2

解法:设 3 ? t ,则 t ? 0 .则原方程有解即方程 t

? (4 ? a)t ? 4 ? 0 有正根。

?? ? 0 ?(4 ? a ) 2 ? 16 ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? ?(4 ? a ) ? 0 ? ? ? a ? ?8 . ? a ? ?4 ?x x ? 4 ? 0 ? 1 2
3.其它函数:

f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)min ? 0 (若 f ( x) 的最小值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的下界 ? 0) ; f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)max ? 0(若 f ( x) 的最大值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的上界 ? 0).
例 5.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 , 3

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。.s.5.u.c.o.m 解: (2)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 4 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a ; f (0) ? 24a 3 3

?a ? 1 ? 则由题意得 ? f ( 2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 即? ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0 ? 1 ? a ? 6 ? 3 ? ?24a ? 0.

? a ? (1, 6) 。

二、主参换位法:某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参 数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得 出奇制胜的效果。 例 6.已知函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其中 a 为实数. 3 2

(1)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

? ?) 都成立,求实数 x 的取值范围. (2)已知不等式 f ?( x)>x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0,
2

解: 由题设知 “ ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对 ? a ? (0, 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对 ? ?) 都成立,

? a ? (0, ,则 g (a ) 是一个以 a 为自变量的一 ? ?) 都成立。设 g (a) ? ( x2 ? 2)a ? x2 ? 2x ( a ? R )

? x 2 ? 2 ? 0 恒成立, 次函数。 则对 ? x ? R ,g (a ) 为 R 上的单调递增函数。 所以对 ? a ? (0, ? ?) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 , ? x 2 ? 2 x ? 0 ,? ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 {x | ?2 ? x ? 0} 。
三、分离参数法:利用分离参数法来确定不等式 f ? x, ? ? ? 0 ( x ? D , ? 为实参数)恒成立时参数 ? 的 取值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离,即化为 g ? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式; (2) 求 f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值; (3) 解不等式 g ? ? ? ? f ( x)max (或 g ? ? ? ? f ? x ?min ) ,求得 ? 的取值范围。 适用题型: (1)参数与变量能分离; (2)函数的最值易求出。 例 7.当 x ? (1, 2) 时, x
2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是

.

解: 当 x ? (1, 2) 时, 由 x ? mx ? 4 ? 0 得 m ? ?
2

x2 ? 4 x2 ? 4 4 ? x? , .令 f ( x ) ? 则易知 f ( x ) 在 (1, 2) x x x

上是减函数,所以 4 ? f ( x) ? 5 ,所以 ?

x2 ? 4 ? ?5 ,∴ m ? ?5 . x

例 8.已知 x ? R 时,不等式 a ? cos 2 x ? 5 ? 4sin x ? 5a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:原不等式即为:1 ? 4sin x ? 2sin x ? 5 ? a ? 5a ? 4 ,要使上式恒成立,只需 5a ? 4 -a+5 大于
2

1 ? 4sin x ? 2sin 2 x 的最大值,因为 1 ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 3 , ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 4 ? ∴ 5 ? a ? 5a ? 4 ? 3 ,即 5a ? 4 ? a ? 2 ? ?5a ? 4 ? 0 或? ,解得 ? a<8. 5 ?5a ? 4 ? (a ? 2) 2 ?5a ? 4 ? 0 ?
四、数形结合(对于 f ( x) ? g ( x) 型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理) :若把等 式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接 判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 y 例 9.若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) y ? ax (A) a ? ?1 (B) | a |? 1 (C) | a |? 1
3

y ?| x |

y ?| x |

y ? ax

(D) a ? 1 O

x

选 B。 例 10.当 | x ? (1, 2) )时, ( x ?1)2 ? loga x 恒成立,求 a 的取值范围。 答案: 1 ? a ? 2 . 例 11.已知关于 x 的方程 lg( x2 ? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 解:原问题即为:方程 x ? 20 x ? 8x ? 6a ? 3 ? 0 有唯一解。
2

y 1 o

y1=(x-1)
2

令 y1 ? x2 ? 20x , y2 ? 8x ? 6a ? 3 ,则如图所示,要使 y1 和 y2 在 x 轴上有 唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但不包括 l2 )。 当直线为 l1 时, a ? ?

y2=loga x 2 x

163 1 ;当直线为 l2 时, a ? ? , 6 2 163 1 ,? )。 ∴ a 的范围为 [ ? 6 2 2 另解:方程 x ? 12 x ? ?6a ? 3 在方程 x ? (??, ?20) ? (0, ??) 上有唯一解有唯一解。

五。根据函数的奇偶性、周期性等性质:函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。 例 12.若 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 解:由题得: f (? x) ? f ( x) 对一切 x ? R 恒成立,

? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? sin x cos ? ? ? sin x sin ? ? sin x(cos ? ? sin ? ) ? 0 ,? 只需也必须 cos ? ? sin ? ? 0 ? 对一切 x ? R 恒成立 ... ? ? ? ? k? ? .( k ? Z ) 4

4



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