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江西省上高县第二中学2016届高三第七次月考数学(理)试题



2016 届高三年级第七次数学月考试题(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1、 设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M, 函数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N, 则M ?N 为 ( ) A. [0, 1] B. (0,1) C.[0,1) D. (-1,0]

2、复数 z1 ? 3 ?

i , x2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 3、下列有关命题的说法正确的是(
2

z1 的共轭复数在复平面内对应的点位于( z2
D.第四象限



C.第三象限 )
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”. B.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均
2

开始
6

2

有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2

i ? 0, x ? 1, y ? 1
否 正视图

4 侧视图

D.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

1 4、等差数列 {an } 中, a3 ? 8, a7 ? 20 ,若数列 { } 的前 a n a n ?1 4 n 项和为 ,则 n 的值为( ) 25

i ? 3?


x ? x? y
5 俯视图

4

输出 x ? y

第 11 题图

A、18 B、16 C、15 D、14 y? x? y 5、某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A.-8 B.-2 C.-1 D.0 结束 i?i?1 6、向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 2,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为( ) (第 5 题) A.45° B.60° C.90° D.120° 7、为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图 (如图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3, 第 2 小组的频数为 12,则报考飞行员的学生人数是( ) A、50 B、47 C、48 D、52 8、已知圆(x-2)2+(y+1)2=16 的一条直径通过直线 x-2y+3=0 被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( ) A、3x+y-5=0 B、x-2y=0 C、x-2y+4=0 D、2x+y-3=0 ?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 9、实数 x, y 满足条件 ? ,则 z ? x ? y 的最小值为( ) * ?x ? N ?y ? N * ? A. 0 B.

?2

C. ? 1

D.1

10、 设? ? 0 , 函数 y ? sin(?x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) 的图象向左平移 的值为( )

?
3

个单位后, 得到下面的图像, 则 ?,?

A. ? ? 1, ? ? ?

?
3

1 π π
·1·

B. ? ? 2, ? ? ?

?
3
2

π O 6 1

π 3

C. ? ? 1, ? ? D. ? ? 2, ? ?

2? 3

2? 3

11、某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧 是半圆) ,则该几何体的表面积为

π A、 82 ? 24 π B、 82 ? 14
π C、 92 ? 24

π D、 92 ? 14 12、已知 f ( x) 与 g ( x) 都是定义在 R 上的函数,

g ( x) ? 0, f ' ( x) g ( x) < f ( x) g ' ( x), f ( x) ? a x g ( x) ,
f (1) f (?1) 5 f (n) ? ? ,在有穷数列{ } , g (1) g (?1) 2 g (n)
(n ? 1,2,?10) 中,任意前 K 项相加,则前 K 项和大于
A.

15 的概率是( 16

)

3 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

4 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 已知抛物线 H:4 x 2 ? y 的准线 l 与双曲线 C : 若 AB ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线交于 A, B 两点, a 2 b2

1 ,则双曲线 C 的离心率 e ? 8



2 n ) 展开式中, x ?3 项的系数为______. 0 x2 15、已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 2,侧面积为 2 15 ,则其外接球的体积为_____
14、设 n=

?

?

2

6sinxdx,则二项式 ( x ?

16、直线 l 与函数 y ? sin x ( x ? [0, ?] )的图象相切于点 A,且 l∥OP,O 为坐标原点,P 为图象的极值 ??? ? ??? ? 点,l 与 x 轴交于点 B,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,则 BA ? BC = . 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2b cos C ? c ? 2a (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 ,BD ? , 求 ?ABC 的面积。 7 2

18、某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 11 12 17 P a 0.4 b
·2·

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格根据销售 情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格调整的概率分别 为 p(0< p <1)和 1?p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次)与 X2 的关系如下表所示: 0 1 2 X(次) 4.12 11.76 20.40 X2(万元) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 X2 的分布列; (Ⅲ)若 E(X1)< E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围.

19、 如图, 已知四棱锥 S-ABCD 是底面边长为 2 3 的菱形, 且 ?BAD ? (1)求该四棱锥体积的取值范围; (2)当点 S 在底面 ABCD 上的射影为三角形 ABD 的 重心 G 时,求直线 SA 与平面 SCD 夹角的余弦值。

?
3

S C , 若 ?A

?

?
2

, SB=SD

G

20、设椭圆 E:

x2 y 2 21 1 x y ,O ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? 2 a b 7 2 a b

为坐标原点 (1)求椭圆 E 的方程 (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 E 分别交于 A、B 两点,求点 O 到直线 AB 的距离。 21、已知函数 f ( x) ? a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 ?1 ? a ? 2(ln 2 ?1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 ; 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= CE,求∠ACB 的大小.

1 2 x ? x(a ? 0) . 2

·3·

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0), ( ),圆 C 的参数方程 (θ 为参数).

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ?a . (1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若方程 f ( x) ? x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

2016 届高三年级第七次月考数学试题(理科)答题卡
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分)

18、 (12 分)

·4·

19、 (12 分)

G

20、 (12 分)

·5·

21、 (12 分)

·6·

选做题 22□ 23□

24□(10 分)

22 题图

2016 届高三年级第七次数学月考试题(理科)答案
CDBBC 13、 2 CCDAD 14、-160 DA 15、

32? 3

16、

?2
4

?1

17、17.(1) 2b cos C ? c ? 2a ,由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,

? A ? B ? C ? ? ?sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C

2 sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C ) sin C ? 2 cos B sin C
因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos

B?

1 ? ,因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? . 2 3
2

2 ? 129 ? b ?b? 2 ? c ? ? 2 c ? cos A (2)法一:在三角形 ABD 中,由余弦定理得 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

·7·

所以

c b 129 b2 1 4 3 ? ? c 2 ? ? bc , 在三角形 ABC 中, 由正弦定理得 , 由已知得 sin A ? sin C sin B 4 4 7 7
5 5 3 ,所以 c ? b 7 14

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

由(1) , (2)解得 ?

?b ? 7 1 所以 S? ABC ? bc sin A ? 10 3 2 ?c ? 5

?a ? 0.4 ? b ? 1, 解得: a = 0.5, b = 0.1 . ?11a ? 12 ? 0.4 ? 17b ? 12. ( Ⅱ ) X2 的 可 能 取 值 为 4.12,11.76, 20.40 P ? X 2 ? 4.12? ? (1? p) ?1? (1? p)? ? p(1? p) ,
18、解: (Ⅰ)由题意得: ?

P ? X 2 ? 11.76? ? p ?1 ? (1 ? p)? ? (1 ? p)(1 ? p) ? p2 ? (1 ? p)2 , P ? X 2 ? 20.40? ? p(1 ? p) .
所以 X2 的分布列为: X2 P (Ⅲ)由(Ⅱ)可得: E ? X 4.12 p (1?p)
2

11. 76 20.40 2 p +(1?p) p (1?p) ……………………………………9 分
2

2 2 ? ? 4.12 p(1 ? p) ? 11.76 ? ? p ? (1 ? p ) ? ? ? 20.40 p (1 ? p )

? ? p2 ? p ? 11.76

. 因为 E(X1)< E(X2),所以 12 < - p + p + 11.76 .所以 0.4 < p < 0.6 .

2

当选择投资 B 项目时, p 的取值范围是

?0.4,0.6? .
1 1 3 AC= ? 2 3 ? ? 2 =3 时 , 2 2 2

19、 (1)解: (1)连结 AC、BD 相交于 E,? 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD,E 为 BD 中点, SB=SD, ? BD ? SE ,BD ? AC ? BD ? 面 SAC 又 ? ?ASC ?

?
2

,? 点 S 在 AC 为 直 径 的 圆 上 运 动 , 当 SE=

1 S 菱形 ABCD ?3= 6 3 ? Vs ? A B C ? D(0, 6 3 ] 3 3 2 2 GC ,求 SG=2 2 ?2 3 ? ? 2 R t? S A C (2)AG= 中,由射影定理:知 SG ? AG? 2 3 ,GE=1,以 AC 为 x 轴,BD 为 y 轴,E 为原点建立直角坐标,如图,? S(1,0,2 2 ) ? D (0, 3,0), A(3,0,0), C(? 3,0,0) ,设平面 SDC 法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ) ,SA 与平方 SDC 夹角 ? , ? ??? ? z 求 n ? (1, ? 3, ? 2), AS ? (?2,0, 2 2) , ??? ? ? 2 n ?|? 求 sin ? ?| cos ? AS ? 2 Vs ? ABC D max ?

?cos? ? 1 ? (

2 2 2 ) ? 2 2
G x
·8·

E y

20.(Ⅰ)所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。 (4 分) 4 3

x2 y 2 (Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) 直线 AB 的方程为 y=kx+m 与椭圆 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3 8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 x1 ? x2 ? ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ∵OA⊥OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ? (1 ? k ) ? ? m2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2
2

若过 A,B 两点斜率不存在时,检验满足。

21、 (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 (a, ??) . f '( x) ?

x ? 0 或 x ? a +1 . 当 ?1 ? a ? 0 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表: 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a + 1) ,单调递减区间是 ( a, 0) 和 (a ? 1,??)

a ? x 2 ? (a ? 1) x ? x ?1 ? . x?a x?a

令 f '( x) ? 0 ,

? x2 ? 0 . 所以,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1,??) x ?1 当 a ? ?1 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表: 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a + 1, 0) ,单调递减区间是 (a, a + 1) 和. (0,??) (Ⅱ) 证明:当 ?1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 时, 由(Ⅰ)知, f ( x ) 的极小值为 f (0) ,极大值为 f (a ? 1) .
当 a = - 1 时, f '( x) ? 因 为 f ( 0? ) a

l?na( ? , )

, 且 f ( x) 在 1 1 0 f (a ? 1) ? ? (a ? 1) 2 ? ( a ? 1) ? (1 ? a 2 ) ? 0 2 2

(a + 1, + ? ) 上是减函数,所以 f ( x ) 至多有一个零点. 1 1 又因为 f (a ? 2) ? a ln 2 ? a 2 ? a ? ? a[a ? 2(ln 2 ? 1)] ? 0 ,所以 函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 , 2 2 且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 .
22.解:(Ⅰ)连接 AE,由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB, 在 RT△ ABC 中,由已知可得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连接 OE,则∠OBE=∠OEB,又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 ,BE= ,

·9·

由射影定理可得 AE2=CE?BE,∴x2= 解方程可得 x= ∴∠ACB=60°

,即 x4+x2﹣12=0,

23.解:(Ⅰ)M,N 的极坐标分别为(2,0),( 所以 M、N 的直角坐标分别为:M(2,0),N(0, 直线 OP 的平面直角坐标方程 y= ;

), ),P 为线段 MN 的中点(1, ),

(Ⅱ)圆 C 的参数方程
2

(θ 为参数).它的直角坐标方程为: (x﹣2)2+(y+



=4, ),半径为 2, ),

圆的圆心坐标为(2,﹣

直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),(

方程为 y=﹣

(x﹣2)=﹣

(x﹣2),即

x+3y﹣2

=0.

圆心到直线的距离为: 所以,直线 l 与圆 C 相交.

=

= <2,

x ? ?1 ??1, ? 24. (Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ?1, x?0 ?

1 ∴综上, f ( x) ? 0 的解集为 [? , ? ?) 5 分 2 (Ⅱ)设 u ( x) ? | x ? 1| ? | x | , y ? u( x) 的图象和 y ? x 的图象如右图: 易知 y ? u( x) 的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y ? x 的图象始终有 3 个交点,从 而 ?1 ? a ? 0 . 10 分

·10·



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