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2015-2016学年江苏省苏州中学高三(上)期初数学试卷



2015-2016 学年江苏省苏州中学高三(上)期初数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.(★★★★)若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是 -1 .

2.(★★★★)已知集合 A={x|x>1},B={x|x -2x<0},则 A∪B=

2

{x|x>

0}



3.(★★★★)命题“若实数 a 满足 a≤2,则 a <4”的否命题是 之一) .

2



命题(填“真”、“假”

4.(★★★★)在如图所示的算法流程图中,若输入 m=4,n=3,则输出的 a=

12



5.(★★★★)把一个体积为 27cm 的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成体积为 1cm 的 27 个小正方体,现从中任取一块,则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 .

3

3

6 . (★★★★) 在约束条件

下,则

的最小值是



7.(★★★★)设 α,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从 “①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为 正确的一个命题: ①③④? ②(或②③④? ①) (用代号表示) .

8.(★★★)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是双曲线 △ ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上,则 的值是 .

的左、右焦点,

9.(★★)已知点 A(0,2)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,线段 FA 交抛物 线与点 B,过 B 做 l 的垂线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p= .

2

10.(★★★)若函数

,则函数 y=f(f(x) )的值域是



11.(★★★★)在直三棱柱中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC 1=2,若用平行于三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则长方体表面积的 最小 值为 24 .

12.(★★)已知椭圆

,A、B 是其左右顶点,动点 M 满足 MB⊥AB,连接 AM 交椭圆

与点 P,在 x 轴上有异于点 A、B 的定点 Q,以 MP 为直径的圆经过直线 BP、MQ 的交点,则点 Q 的坐标为 (0,0) .

13.(★★)在三角形 ABC 中,过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交边 AB,AC 与 M、N 两点,设 则 4x+y 的最小值是 .

14.(★★)设 m∈N,若函数 {0,3,14,30} .

存在整数零点,则 m 的取值集合为

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(★★★)如图,平面 PAC⊥平面 ABC,点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、

AC 的中点,点 G 是线段 CO 的中点,AB=BC=AC=4,PA=PC=2

.求证:

(1)PA⊥平面 EBO; (2)FG∥平面 EBO.

16.(★★★)已知函数 (1)设 (2)在△ ABC 中,AB=1, ,且 ,求 θ 的值;



,且△ ABC 的面积为

,求 sinA+sinB 的值.

17.(★★★)在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 E:

的左、

右顶点分别为 A 1、A 2,上、下顶点分别为 B 1、B 2.设直线 A 1B 1 的倾斜角的正弦值为 圆 C 与以线段 OA 2 为直径的圆关于直线 A 1B 1 对称.



(1)求椭圆 E 的离心率; (2)判断直线 A 1B 1 与圆 C 的位置关系,并说明理由; (3)若圆 C 的面积为 π,求圆 C 的方程.

18.(★★★)心理学家研究某位学生的学

习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为 1,则 x 天后的存留量

;若在 t(t

>4)天时进行第一次复习,则此时存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计) , 其后存留量 y 2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为 ,存留量随

时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称 此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若 a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点”;

(2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求 a 的取值范围. 19.(★★★)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差 d 不等于 0,设 a 1,a 3,a k 是公比 为 q 的等比数列{b n}的前三项, (1)若 k=7,a 1=2; (i)求数列{a nb n}的前 n 项和 T n; (ii)将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列{c n},设其前 n 项和 为 S n,求
*

的值

(2)若存在 m>k,m∈N 使得 a 1,a 3,a k,a m 成等比数列,求证 k 为奇数.

20.(★★)已知函数

,其中 a 是实数.设 A(x 1,f(x

1

) ) ,B(x 2,f(x 2) )为该函数图象上的两点,且 x 1<x 2.

(Ⅰ)指出函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x 2<0,证明:x 2-x 1≥1; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 三、选做题.在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 20 分,共 20 分.解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲

21.(★★)如图,过圆 O 外一点 M 作圆的切线,切点为 A,过 A 作 AP⊥OM

于 P. (1)求证:OM?OP=OA ; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K.求证:∠OKM=90o. B.选修 4­-2:矩阵与变换 22.(★★★)已知矩阵 M= (1)求矩阵 M; (2)求曲线 5x +8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线方程. C.选修 4-4:坐标系与参数方程 23.(★★★)在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程为 (α 为
2 2 2

有特征值 λ 1=4 及对应的一个特征向量



参数) .以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程

为 ρcos(θ-

)=2

(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. D.选修 4-5:不等式选讲 24.(★★)不等式选讲 设 x,y,z 为正数,证明:2(x +y +z )≥x (y+z)+y (x+z)+z (x+y) . 四.【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
3 3 3 2 2 2

25.(★★★)如图,已知三棱柱 ABC-A 1B 1C

1

的侧面与底面垂直,

AA 1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N、P 分别是 CC 1、BC、A 1B 1 的中点. (1)求证:PN⊥AM; (2)若直线 MB 与平面 PMN 所成的角为 θ,求 sinθ 的值. 26.(★★)一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ; (2)求恰好得到 n(n∈N )分的概率.
*



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