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2.2.2对数函数及其性质运算



y

x
o

学 习 目标:
(1)对数函数的定义 (2)对数函数的图象和性质 (3)比较两个对数值的大小

复习指数函数的图象和性质
y ? a ( a ? 0且 a ? 1)
x

的图象和性质:

a>1
6 5<

br />
0<a<1
6 5 4

4

3

图 象 性 质

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.定义域: ( ?? , ?? ) 2.值域:( 0 , ?? ) 3.过点 ( 0 ,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

对数函数: 一般地,我们把函数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0 ,+∞). 注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义 ,注意辨别.如: y ? 2 log
2

x

y ? log

x
5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a 1

5



对数函数图像的作法:
作对数图像的三个步骤: 一、列表(根据给定的自变量分别计算 出应变量的值) 二、描点(根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点) 三、连线(将所描的点用平滑的曲线连 接起来)

探索研究:在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

?1 ? y

? log

2

x

?2 ? y
①列表, ②描点,

? log

1 2

x

作图步骤:

③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

x y=log2x

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y 2
1
1 1 4 2

0 -1
-2

1

2 3

4

x

列 表 描 点 连 线

x
y ? log
y ? log
2
1 2


x …
x

1/4 1/2
-2 -1 1 0

1
0

2 4
1 -1 2

… …

… 2

-2 …

y 2 1
1 1 4 2

0 -1
-2

1

2 3

4

x

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

y

探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

函数性质

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上、向下无限延伸 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探索发现:认真观察 函数 y ? lo g 1 x
2

y 2 1 0 -1 -2
1 1 4 2

1 2 3

4

x

的图象填写下表
图象特征

函数性质

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y ? log

3

x 和 y ? log

1 3

x 的图象。

y 2

y ? log

2

x

y ? log
1 1 4 2

3

x

1

0 -1
-2

1

2 3

4

x
y ? log
y ? log
1 3
1 2

x
x

函数图象的应用
y ? log
a

x

y ? log

b

x

y ? log

c

x

的图象如图所示,那么a, b, c的大小关系是

对数函数的图象与性质:
函数
底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y 1

0<a<1
o

图象 定义域 值域 定点 值分布

o

1

x

x

(0,+∞)

(0,+∞)

R (1,0)
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0

R (1,0)
当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

在( 0 , + ∞ )上是减函数 单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 趋势 底数越大,图象越靠近x轴 底数越小,图象越靠近x 轴

讲解范例 例1.求下列函数的定义域: (1)y = log a x 2
解:由 x
2

? 0,得 x ? 0 .
y ? log
a

所以函数

x 的定义域是

2

?x | x

? 0 ?.

(2) y = log a ( 4-x )

定义域:(-∞, 4 )

(3) y = log a ( 9-x 2 ) 定义域: (-3, 3 ) (4) y = log x ( 4-x ) 定义域:( 0 , 1 )∪( 1 , 4 )
?4 ? x ? 0 ? 由? x ? 0 ? ? x ? 1 ? ?x ? 4 ? ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 或 1 ? x ? 4 . ?x ? 1 ?

(5) 求函数

y ?

log

0 .5

(4x ? 3)

的定义域.

解:要使函数有意义,必有
4x-3>0, 4x>3, 即 4x-3≤1.

log0.5(4x-3)≥0.
3 4

解得

? x ? 1.
3 4

所以所求函数的定义域为{x|

? x ? 1

}.

例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a>0,a≠1 ).
解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2> 1, 所 以 它 在 (0,+∞) 上 是 增 函 数 . 因 为 3.4<8.5, ⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 于是log23.4<log28.5; 且1.8<2.7,所以log 0.31.8>log 0.32.7.

⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a>0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1 哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:①当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1<log a5.9; ②当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1>log a5.9.
注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

总结:比较两个对数值的大小,常用方法 : (1)当底数相同,真数不同时,用函数的 单调性来比较; (2)当底数不同而真数相同时,常借助图 象比较,也可用换底公式转化为同底数的 对数后比较;

(3)当底数与真数都不同时,需寻求中间 值比较.

练习1:

比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 < log108 log0.54 < ⑶ log0.10.5 > log0.10.6 ⑷ log1.51.6 > log1.51.4

练习2:

已知下列不等式,比较正数m,n 的大小:
(1) log 3 m < log 3 n

(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0<a<1)

(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n

例2.比较下列各组中两个值的大小: (4) log 67 , log 7 6 ; (5) log 3π , log 2 0.8 .
分析 : (1) log aa=1 (2) log a1=0

(1)解:∵ log67>log66=1, (2)解:∵ log3π>log31=0, 注:比较两个对数的大小时,可 log20.8<log21=0, log76<log77=1, 在两个对数中间插入一个已知 ∴ log3π> ∴ 数(如1或0等),间接比较这两个 log20.8. log67>log76; 对数的大小.

(6)log750

>

log67

>

log54

>

log40.5

学点五

求单调区间

求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=
log
1 2

(x ? 6)



(2)f(x)= log

2

( ? x ? 1)

( 3 ) f ( x ) ? log

1
2

x

【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基 本函数后解决.

练习:
已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性.

学点六 求变量范围 已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切 x∈R,f(x)有意义;若f(x)值域为R,则f(x)能取到 一切实数值.

1.如何确定对数函数的单调区间? (1)图象法:此类方法的关键是图象变换.

(2)形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法 首先求满足f(x)>0的x的范围,即求函数的定义域. 假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区 间I2上单调递减,则
①当a>1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相同 ,即在I1上单调递增,在I2上单调递减. ②当0<a<1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间 不同,原函数在I1上单调递减,在I2上单调递增.

1.在指数函数与对数函数中,对底数的要求是 一致的,均是a>0,且a≠1.但指数函数的定义 域是R,对数函数的定义域是(0,+∞).对数函数 的图象在y轴的右侧,真数大于零,这一切必须 熟记.

2.反函数
(1)在写指数函数或对数函数的反函数时,注 意函数的定义域且底数必须相同; (2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内 单调性相同;

(3)对数函数与指数函数互为反函数,因此,对 数函数图象画法有两种:一是描点法,二是利用 指数函数与对数函数互为函数的关系作图; (4)互为反函数的两个函数的定义域与值域发生 互换,即原函数的定义域是反函数的值域,原函 数的值域是反函数的定义域;

(5)互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对 称.

2.如何学好对数函数?
对数函数与指数函数的学习要对比着进行,如它们的定 义域和值域互换,它们的单调性与底数a的关系完全一致 ,指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等, 这样有助于理解和把握这两个函数.

3.如何理解反函数?
学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间 的相互转化,掌握反函数的图象关于直线y=x对称,在 解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数形结 合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则,注 意分类讨论.

1.对数函数定义: y = log a x ( a>0 且 a ≠1 ). 2.对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y 1

0<a<1

图象 定义域 值域 定点 值分布

o

1

x

o

x

(0,+∞) R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

趋 势 底数越大,图象越靠近 x 轴
单调性

底数越小,图象越靠近 x 轴
在( 0 , + ∞ )上是减函数



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