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2.2.2对数函数及其性质运算



y

x
o

学 习 目标:
(1)对数函数的定义 (2)对数函数的图象和性质 (3)比较两个对数值的大小

复习指数函数的图象和性质
y ? a ( a ? 0且 a ? 1)
x

的图象和性质:

a>1
6 5<

br />
0<a<1
6 5 4

4

3

图 象 性 质

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.定义域: ( ?? , ?? ) 2.值域:( 0 , ?? ) 3.过点 ( 0 ,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

对数函数: 一般地,我们把函数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0 ,+∞). 注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义 ,注意辨别.如: y ? 2 log
2

x

y ? log

x
5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a 1

5



对数函数图像的作法:
作对数图像的三个步骤: 一、列表(根据给定的自变量分别计算 出应变量的值) 二、描点(根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点) 三、连线(将所描的点用平滑的曲线连 接起来)

探索研究:在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

?1 ? y

? log

2

x

?2 ? y
①列表, ②描点,

? log

1 2

x

作图步骤:

③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

x y=log2x

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y 2
1
1 1 4 2

0 -1
-2

1

2 3

4

x

列 表 描 点 连 线

x
y ? log
y ? log
2
1 2


x …
x

1/4 1/2
-2 -1 1 0

1
0

2 4
1 -1 2

… …

… 2

-2 …

y 2 1
1 1 4 2

0 -1
-2

1

2 3

4

x

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

y

探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

函数性质

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上、向下无限延伸 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探索发现:认真观察 函数 y ? lo g 1 x
2

y 2 1 0 -1 -2
1 1 4 2

1 2 3

4

x

的图象填写下表
图象特征

函数性质

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y ? log

3

x 和 y ? log

1 3

x 的图象。

y 2

y ? log

2

x

y ? log
1 1 4 2

3

x

1

0 -1
-2

1

2 3

4

x
y ? log
y ? log
1 3
1 2

x
x

函数图象的应用
y ? log
a

x

y ? log

b

x

y ? log

c

x

的图象如图所示,那么a, b, c的大小关系是

对数函数的图象与性质:
函数
底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y 1

0<a<1
o

图象 定义域 值域 定点 值分布

o

1

x

x

(0,+∞)

(0,+∞)

R (1,0)
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0

R (1,0)
当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

在( 0 , + ∞ )上是减函数 单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 趋势 底数越大,图象越靠近x轴 底数越小,图象越靠近x 轴

讲解范例 例1.求下列函数的定义域: (1)y = log a x 2
解:由 x
2

? 0,得 x ? 0 .
y ? log
a

所以函数

x 的定义域是

2

?x | x

? 0 ?.

(2) y = log a ( 4-x )

定义域:(-∞, 4 )

(3) y = log a ( 9-x 2 ) 定义域: (-3, 3 ) (4) y = log x ( 4-x ) 定义域:( 0 , 1 )∪( 1 , 4 )
?4 ? x ? 0 ? 由? x ? 0 ? ? x ? 1 ? ?x ? 4 ? ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 或 1 ? x ? 4 . ?x ? 1 ?

(5) 求函数

y ?

log

0 .5

(4x ? 3)

的定义域.

解:要使函数有意义,必有
4x-3>0, 4x>3, 即 4x-3≤1.

log0.5(4x-3)≥0.
3 4

解得

? x ? 1.
3 4

所以所求函数的定义域为{x|

? x ? 1

}.

例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a>0,a≠1 ).
解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2> 1, 所 以 它 在 (0,+∞) 上 是 增 函 数 . 因 为 3.4<8.5, ⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 于是log23.4<log28.5; 且1.8<2.7,所以log 0.31.8>log 0.32.7.

⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a>0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1 哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:①当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1<log a5.9; ②当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1>log a5.9.
注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

总结:比较两个对数值的大小,常用方法 : (1)当底数相同,真数不同时,用函数的 单调性来比较; (2)当底数不同而真数相同时,常借助图 象比较,也可用换底公式转化为同底数的 对数后比较;

(3)当底数与真数都不同时,需寻求中间 值比较.

练习1:

比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 < log108 log0.54 < ⑶ log0.10.5 > log0.10.6 ⑷ log1.51.6 > log1.51.4

练习2:

已知下列不等式,比较正数m,n 的大小:
(1) log 3 m < log 3 n

(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0<a<1)

(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n

例2.比较下列各组中两个值的大小: (4) log 67 , log 7 6 ; (5) log 3π , log 2 0.8 .
分析 : (1) log aa=1 (2) log a1=0

(1)解:∵ log67>log66=1, (2)解:∵ log3π>log31=0, 注:比