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贵州省黔东南州凯里一中2015届高考数学模拟试卷(理科)



贵州省黔东南州凯里一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=x ﹣2},集合 B={x|y=x ﹣1},则有() A.A=B B.A∩B=φ C.A∪B=A D.A∩B=A 2. (5 分)已知 a 是实数,

A.1 B . ﹣1 是纯虚数,则 a 等于() C. D.
2 2

3. (5 分)下列命题正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,使得 x ﹣4<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣4>0” 2 2 B. 命题“若 x≠1,则 x ≠1”的否命题是“x=1,则 x =1” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D.命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题 4. (5 分)如图所示的程序框图,若两次输入的 x 值分别是 3π 和 的 b 值分别是() ,则两次运行程序输出

A.1,

B.0,

C.﹣π,﹣

D.3π,﹣

5. (5 分)设 m、n 是不同的直线,α、β 是不同的平面,有以下四个命题: (1)若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β;

(2)若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β; (3)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; (4)若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α. 其中,真命题的个数为() A.1 B. 2

C. 3
2

D.4

6. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n,则 an=() 2 A.2n +1 B.2n+2 C.2n+1 D.2n+3 7. (5 分)设 a= A.12 B. 4 dx,则 a=() C.﹣12 D.﹣4

8. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最大值是()

A.

B. 2

C.

D.2

9. (5 分)若双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 至多有一个交点,

2

2

则双曲线离心率的取值范围是() A.(1,2] B.[2,+∞)

C.(1,

]

D.[

,+∞)

10. (5 分)设 a,b,c 均为正数,且 a,b,c 大小顺序为() A.a<c<b B.b<c<a





.则

C.c<b<a

D.a<b<c

11. (5 分)从 6 人中选 4 人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览,要求每个 地点有一人游览,每人只游览一个地点,且在这 6 人中甲、乙不去西江苗寨游览,则不同的 选择方案共有() A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 12. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关 ﹣2|x| 于 x 的方程 f(x)=2 在[﹣5,5]上根的个数是() A.4 个 B. 6 个 C. 8 个 D.10 个
2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 =(sinx,1) ,向量 =(2,﹣1) , (x∈(0,2π]) ,若 ⊥ ,则 x 为.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

+x+1 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是.

15. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

16. (5 分)对于 n∈N 的命题,下面四个判断: 2 n ①若 f(n)=1+2+2 +…+2 ,则 f(1)=1; 2 n﹣1 ②若 f(n)=1+2+2 +…+2 ,则 f(1)=1+2; ③若 ④若 其中正确命题的序号为. ,则 f(1)= ,则 ; ;

+

三.解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如下表: x y … … 0 0 1 0 ﹣1 0 … …

(Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若在△ ABC 中,AC=2,BC=3, ,求△ ABC 的面积.

18. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:B1C⊥平面 AED1; (Ⅱ)求二面角 A﹣D1E﹣C 的大小.

19. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中 抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样本容量为 n) 进行统计. 按 照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出 样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设 ξ 表示所抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的 学生个数,求 ξ 的分布列及其数学期望.

20. (12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,短轴的一个端点 B

到 F 的距离等于焦距. (Ⅰ)求椭圆 C 方程; (Ⅱ) 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M, N, 是否存在直线 l, 使得△ BFM 与△ BFN 的面积之比为 1?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)证明:f(x)是 R 上的奇函数; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e ﹣m﹣1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.
﹣x

x

﹣x

四、选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C, ∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED;

(Ⅱ)若 AC=AP,求

的值.

五、 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 23.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平

面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

六、选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= + .

(1)求 f(x)≥f(4)的解集; (2)设函数 g(x)=k(x﹣3) ,k∈R,若 f(x)>g(x)对任意的 x∈R 都成立,求 k 的取值 范围.

贵州省黔东南州凯里一中 2015 届高考数学模拟试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 2 2 1. (5 分)已知集合 A={y|y=x ﹣2},集合 B={x|y=x ﹣1},则有() A.A=B B.A∩B=φ C.A∪B=A D.A∩B=A 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 2 2 分析: 由题意化简 A={y|y=x ﹣2}=[﹣2,+∞) ,B={x|y=x ﹣1}=R,从而求 A∩B=A.

解答: 解:A={y|y=x ﹣2}=[﹣2,+∞) , 2 B={x|y=x ﹣1}=R, 故 A∩B=A. 故选 D. 点评: 本题考查了集合的化简与集合的运算,属于基础题. 2. (5 分)已知 a 是实数, A.1 B . ﹣1 是纯虚数,则 a 等于() C. D.

2

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵ ∴ , 0,解得 a=1, 是纯虚数,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 3. (5 分)下列命题正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,使得 x ﹣4<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣4>0” 2 2 B. 命题“若 x≠1,则 x ≠1”的否命题是“x=1,则 x =1” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D.命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题 考点: 四种命题;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式中的“<”否定之后应变为“≥”,否命题的定义,空间四边形四边可以相等, 以及余弦函数的诱导公式或图象即可判断每个选项的正误,并找出正确选项. 解答: 解:A.命题“?x∈R,使得 x ﹣4<0”的否定应为“?x∈R,均有 x ﹣4≥0”; B.根据否命题的定义知该选项正确; C.存在四边相等的四边形不一定为正方形,可以为空间四边形,所以该命题为真命题; D.若 cosx=cosy 得不到 x=y,x=2π﹣y 也可以,所以该命题为假命题,∴它的逆否命题为假 命题. 故选 B. 点评: 考查小于号“<”否定后变成大于等于号“≥”,特称命题的否定为全称命题,否命题的 定义,空间四边形的概念,以及余弦函数的图象及诱导公式.
2 2

4. (5 分)如图所示的程序框图,若两次输入的 x 值分别是 3π 和 的 b 值分别是()

,则两次运行程序输出

A.1,

B.0,

C.﹣π,﹣

D.3π,﹣

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算 b 的值. 解答: 解:x=3π 时,b= x=﹣ 时,b=sinx=﹣ . =3π;

故选:D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于 基本知识的考查. 5. (5 分)设 m、n 是不同的直线,α、β 是不同的平面,有以下四个命题: (1)若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; (2)若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β; (3)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; (4)若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α. 其中,真命题的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 专题: 分析: 解答: 空间中直线与平面之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解: (1)若 α⊥β,m∥α,则 m 与 β 相交、平行或 m?β,故(1)错误;

(2)若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β 或 m?β,故(2)错误; (3)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,故(3)错误; (4)若 n⊥α,n⊥β,则由平面与平面平行的判定定理得 β∥α,故(4)正确. 故选:A. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 6. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n,则 an=() 2 A.2n +1 B.2n+2 C.2n+1 D.2n+3 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用
2 2

求解.

解答: 解:∵Sn=n +2n, ∴a1=S1=1+2=3, 2 2 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +2n)﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)]=2n+1, n=1 时上式成立, ∴an=2n+1. 故选:C. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要注意公式 的合理运用.

7. (5 分)设 a= A.12 B. 4

dx,则 a=() C.﹣12 D.﹣4

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数的积分公式即可得到结论. 解答: 解:a= dx=(x ﹣x )|
3 2

=(8﹣4)﹣(1﹣1)=4,

故选:B 点评: 本题主要考查函数积分的计算,根据函数的积分公式是解决本题的关键.

8. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最大值是()

A.

B. 2

C.

D.2

考点: 简单线性规划.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到 结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 与圆 x +y =4 在第一象限相切时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 圆心 O 到直线 2x+y﹣z=0 的距离 d= 即|z|=2 , ∴z=2 或 z=﹣2 故选:B. ,
2 2

,即目标函数 z=2x+y 的最大值为 2



点评: 本题主要考查线性规划以及直线和圆的位置关系的应用,利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

9. (5 分)若双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 至多有一个交点,

2

2

则双曲线离心率的取值范围是() A.(1,2] B.[2,+∞)

C.(1,

]

D.[

,+∞)

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线 x ﹣
2

=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 至多有一个交点,?圆

2

2

心(0,2)到渐近线的距离≥半径 r.解出即可. 2 2 解答: 解:圆 x +(y﹣2) =1 的圆心(0,2) ,半径 r=1. ∵双曲线 x ﹣
2

=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 至多有一个交点,

2

2


2 2

≥1,化为 b ≤3.

2

∴e =1+b ≤4, ∵e>1, ∴1<e≤2, ∴该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]. 故选:A. 点评: 熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位 置关系、点到直线的距离公式是解题的关键.

10. (5 分)设 a,b,c 均为正数,且 a,b,c 大小顺序为() A.a<c<b B.b<c<a





.则

C.c<b<a

D.a<b<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a>0,∴ = ,∴ .

∵b>0,∴

,∴

,∴



∵c>0,∴0<

,∴1<c<2.

综上可知:a<b<c. 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题. 11. (5 分)从 6 人中选 4 人分别到省内黄果树、小七孔、西江苗寨、梵净山游览,要求每个 地点有一人游览,每人只游览一个地点,且在这 6 人中甲、乙不去西江苗寨游览,则不同的 选择方案共有() A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 根据题意,使用间接法,首先计算从 6 人中选 4 人分别到四个城市游览的情况数目, 再分析计算其包含的甲、乙两人去西江苗寨游览的情况数目,进而由事件间的关系,计算可得 答案. 4 解答: 解: 根据题意, 由排列公式可得, 首先从 6 人中选 4 人分别到四个地方游览, 有 A6 =360 种不同的情况,

其中包含甲到西江苗寨游览的有 A5 =60 种,乙到西江苗寨游览的有 A5 =60 种, 故这 6 人中甲、乙两人不去西江苗寨游览,则不同的选择方案共有 360﹣60﹣60=240 种; 故选 B. 点评: 本题考查排列的应用,注意间接法比直接分析更为简便,要使用间接法. 12. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关 ﹣2|x| 于 x 的方程 f(x)=2 在[﹣5,5]上根的个数是() A.4 个 B. 6 个 C. 8 个 D.10 个 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,根据 f(x+1)=f(x﹣1) ,得到函数 f(x)的周期为 2,然后,在同一坐标系 中画出在[﹣5,5]上,函数 y=f(x)和 y=)=2 解答: 解:∵f(x+1)=f(x﹣1) , ∴f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)的周期为 2, 在[﹣5,5]上,函数 y=f(x)和 y=)=2
﹣2|x| ﹣2|x|

3

3

2

简图,根据图象,容易得到结果.

的简图:

根据图象,知关于 x 的方程 f(x)=)=2 在[﹣5,5]上根的个数是 10. 故选 D. 点评: 本题重点考查了偶函数的性质、周期函数的概念、函数的基本性质图象等知识,属 于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 =(sinx,1) ,向量 =(2,﹣1) , (x∈(0,2π]) ,若 ⊥ ,则 x 为 或 .

﹣2|x|

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: 运用向量垂直,则数量积为 0,再由特殊角的三角函数值,即可得到. 解答: 解:由于向量 =(sinx,1) ,向量 =(2,﹣1) , (x∈(0,2π]) , 若 ⊥ ,则 =0,

即 2sinx﹣1=0,即 sinx= , 由于 x∈(0,2π], 则 x= 或 . 或 .

故答案为:

点评: 本题考查平面向量的数量积的性质:向量垂直的条件,考查三角函数的求值,考查 运算能力,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣1)∪(1,+∞) .

+x+1 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,令导数为 0,由题意可得,判别式大于 0,解不等式即可得到. 解答: 解:函数 f(x)= +x+1 的导数 f′(x)=x +2ax+1
2

由于函数 f(x)有两个极值点, 则方程 f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 2 即有△ =4a ﹣4>0,解得,a>1 或 a<﹣1. 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 点评: 本题考查导数的运用:求极值,考查二次方程实根的分布,考查运算能力,属于基 础题.

15. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体是两个相同的三棱锥的组合体,且三棱锥的底面是直角边长 为 1 的等腰直角三角形,棱锥的高为,把数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体是两个相同的三棱锥的组合体,其直观图如图:

且三棱锥的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形,棱锥的高为 1; ∴几何体的体积 V=2× × ×1×1= . 故答案为: . 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解答此类问题的关键. 16. (5 分)对于 n∈N 的命题,下面四个判断: 2 n ①若 f(n)=1+2+2 +…+2 ,则 f(1)=1; 2 n﹣1 ②若 f(n)=1+2+2 +…+2 ,则 f(1)=1+2; ③若 ④若 其中正确命题的序号为③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 规律型. 分析: 根据数学归纳法的定义分别进行判断即可. 2 n 1 解答: 解:①∵f(n)=1+2+2 +…+2 ,∴f(1)=1+2 =1+2=3,∴①错误. 2 n﹣1 ②∵f(n)=1+2+2 +…+2 ,∴f(1)=1,∴②错误. ③∵ ④∵ ∴ ,∴f(1)= , = ,∴④正确. ,∴③正确. ,则 f(1)= ,则 ; ;
+

故答案为:③④. 点评: 本题主要考查与数列有关的命题的真假判断,利用数学归纳的定义是解决本题的关 键.

三.解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如下表: x y … … 0 0 1 0 ﹣1 0 … …

(Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若在△ ABC 中,AC=2,BC=3, ,求△ ABC 的面积.

考点: 三角函数的周期性及其求法;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;正弦定理. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)先求出函数的周期,求出 ω,根据特殊点求出 φ,可得函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)由 ,确定 A 的值,利用正弦定理求出 sinB,再求△ ABC 的面积.

解答: 解: (Ⅰ)由题中表格给出的信息可知, 函数 f(x)的周期为 所以 注意到 由 0<φ<π,所以 所以函数的解析式为 (Ⅱ)∵ 当 ,∴ 或 , (或者 f(x)=cos2x) . ,也即 , ,

时,在△ ABC 中,由正弦定理得,

∴ ∵BC>AC,∴ ∴ ∴ 同理可求得,当 时, ,∴

, , , ; )



点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,正弦定 理,考查计算能力,是基础题. 18. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:B1C⊥平面 AED1; (Ⅱ)求二面角 A﹣D1E﹣C 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)首先建立空间直角坐标系,求出相应的点的坐标,利用向量的数量积,求出 平面的法向量,进一步利用向量共线求出结果. (Ⅱ)先求出平面的法向量,利用法向量的夹角求出结果. 解答: 证明: ( I)如图,因为 ABCD﹣A1B1C1D1 为长方形,以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴 的正半轴,DC 为 y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系, 由题知,A(1,0,0) ,E(1,1,0) ,D1(0,0,1) ,C(0,2,0) ,B1(1,2,1) ;所以 ; 设平面 AED1 的一个法向量为 , , ;



,则

,令 x=1,求得

; ∵ ,

所以,B1C⊥平面 AED1 成立. 解: ( II) 设二面角 A﹣D1E﹣C 的平面角为 θ∈[0,π], 由( I) 平面 AED1 的一个法向量为 同理:设 由于 E(1,1,0) ,C(0,2,0) ,D1(0,0,1) , ;

可求平面 D1EC 的一个法向量为:

∴ 所以



所以,所求二面角 A﹣D1E﹣C 的平面角为:

点评: 本题考查的知识要点:线面垂直的判定定理,法向量的应用,二面角的应用,属于 基础题型. 19. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中 抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样本容量为 n) 进行统计. 按 照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出 样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设 ξ 表示所抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的 学生个数,求 ξ 的分布列及其数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: (Ⅰ)根据茎叶图可得[50,60) ,总共有 8 人,结合频率分布直方图,可求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分数在[90,100)有 2 人,共 7 人.抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的学生个数 ξ 的可能取值为 1,2,3,求出相应的概率,即可求 ξ 的分布列及其数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,x=0.1﹣

0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030. (3 分) (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分数在[90,100)有 2 人,共 7 人. 抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的学生个数 ξ 的可能取值为 1,2,3,则 , 所以,ξ 的分布列为 ξ 1 P 所以, . (12 分) , .

2

3

点评: 本题考查茎叶图、频率分布直方图,考查随机了的分布列及其数学期望,考查学生 的识图能力,考查学生的计算能力,属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,短轴的一个端点 B

到 F 的距离等于焦距. (Ⅰ)求椭圆 C 方程; (Ⅱ) 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M, N, 是否存在直线 l, 使得△ BFM 与△ BFN 的面积之比为 1?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;分类讨论;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由题意可得 c=1,a=2c,再由 a,b,c 的关系,即可得到椭圆方程; (II)①当直线 l 的斜率不存在时,②当直线 l 的斜率存在时,设为 k,此时直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 联立直线方程和椭圆方程,消去 y,得到 x 的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,解方程, 即可得到 k.
2 2

解答: 解: (I) 由题意知

,解得 a =4,b =3,

所求椭圆 C 的方程为



(II)①当直线 l 的斜率不存在时,此时直线 l 的方程为 x=1,



,解得









,而

,F(1,0) ,

易知△ BFM 与△ BFN 的面积之比为 1;所以,直线 x=1 满足题意. ②当直线 l 的斜率存在时,设为 k,此时直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 ,消去 x 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

所以

,△ BFM 与△ BFN 的面积之比为 1,则 F 为 MN 的中点.

所以
2

,即



化简得 8k +3=0,此方程无解. 综上,直线 l:x=1,使得△ BFM 与△ BFN 的面积之比为 1 成立. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,消去未知数,运用韦 达定理和中点坐标公式,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题和易错题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)证明:f(x)是 R 上的奇函数; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e ﹣m﹣1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 本题(Ⅰ)利用函数奇偶性的定义,证明 f(﹣x)=﹣f(x) ,判断函数是奇函数,得 到本题结论; (Ⅱ)先对不等式 mf(x)≤e ﹣m﹣1 进行参变量分离,得到 ,然后利用导函数研究 题结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(﹣x)=e ﹣e =﹣(e ﹣e )=﹣f(x) . ∴f(x)是 R 上的奇函数. (Ⅱ)∵x>0, x ∴e >1, x 2 x 故(e ) +e ﹣1>0; ﹣x ﹣x ﹣x x 由 mf(x)≤e ﹣m﹣1 得 m(e ﹣e )≤e ﹣m﹣1,
﹣x ﹣x ﹣x

x

﹣x

的最小值,得到本

x

x

﹣x

即 m(e ﹣e +1)≤e ﹣1 x 2 x x 化简得 m[(e ) +e ﹣1]≤1﹣e , 即 恒成立,

x

﹣x

﹣x

即求 令 t=e ,由 x>0,得 t>1,得: ;
x

的最小值即可.

(t>1) , 令 g′(t)=0,解得 t=2; 令 g′(t)>0,解得 t>2; 令 g′(t)<0,解得 1<t<2; ∴g(x)的单调递减区间为(1,2) , g(x)的单调递增区间为(2,+∞) , ∴以 g(x)的最小值为 ;

综上,所求实数 m 的取值范围为



点评: 本题考查了函数奇偶性的定义和恒成立问题,本题难度适中,属于中档题. 四、选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C, ∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值.

考点: 弦切角;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: (Ⅰ)根据弦切角定理,得到∠BAP=∠C,结合 PE 平分∠APC,可得 ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED;

(Ⅱ) 根据 AC=AP 得到∠APC=∠C, 结合 (I) 中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP, 再在△ APC 中根据直径 BC 得到∠PAC=90°+∠BAP,利用三角形内角和定理可得 .利用直角三角形中正切的定义,得到 过内角相等证明出△ APC∽△BPA,从而 解答: 解: (Ⅰ)∵PA 是切线,AB 是弦, ∴∠BAP=∠C. 又∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED.…(5 分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)知∠BAP=∠C, ∵∠APC=∠BPA, ∵AC=AP, ∴∠APC=∠C ∴∠APC=∠C=∠BAP. 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°. ∵BC 是圆 O 的直径, ∴∠BAC=90°. ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°. ∴ 在 Rt△ ABC 中, ∴ . ,即 . , . ,最后通

∵在△ APC 与△ BPA 中 ∠BAP=∠C,∠APB=∠CPA, ∴△APC∽△BPA. ∴ ∴ . . …(10 分)

点评: 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似 三角形的性质等知识点,属于中档题.找到题中角的等量关系,计算出 Rt△ ABC 是含有 30 度的直角三角形,是解决本题的关键所在.

五、 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 23.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平

面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 即可把 即 ρ sin θ=4ρcosθ,化为直角坐标方程;
2 2

消去参数 t,即可得出直线的普通方程; (II)把直线方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式即可得出. 解答: 解: ( I) 由 得 ρ sin θ=4ρcosθ,∴y =4x;
2 2 2



(t 为参数) ,消去参数 t,得 x+y﹣1=0;
2

曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x;直线 l 的普通方程 x+y﹣1=0; ( II) 设直线 l 交曲线 C 于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 ,消去 y 得,x ﹣6x+1=0,
2

∴x1+x2=6,x1x2=1; , ∴直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长为 8. 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线方程与抛 物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 六、选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= + .

(1)求 f(x)≥f(4)的解集; (2)设函数 g(x)=k(x﹣3) ,k∈R,若 f(x)>g(x)对任意的 x∈R 都成立,求 k 的取值 范围. 考点: 其他不等式的解法.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)函数 f(x)=|x﹣3|+|x+4|,不等式 f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9.可得 ① ,或② ,或③ .分别求得①、②、

③的解集,再取并集,即得所求. (2)由题意可得,f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方,作函数 y=f(x)和 y=g(x)的图 象如图,由 KPB=2,A(﹣4,7) ,可得 KPA=﹣1,数形结合求得实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ﹣3|+|x+4|, ∴f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9. ∴① ,或② ,或③ . + = + =|x

得不等式①:x≤﹣5; 解②可得 x 无解; 解③求得:x≥4. 所以 f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥4}. (2)f(x)>g(x)对任意的 x∈R 都成立,即 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方,

∵f(x)=|x﹣3|+|x+4|=



由于函数 g(x)=k(x﹣3)的图象为恒过定点 P(3,0) ,且斜率 k 变化的一条直线, 作函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,其中,KPB=2,A(﹣4,7) , ∴KPA=﹣1. 由图可知,要使得 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方, ∴实数 k 的取值范围为(﹣1,2].

点评: 本题主要考查对由绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论、 数形结合的数学思想,属于中档题.



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