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2.1.1 指数与指数幂的运算



问题 : 当生物体死亡后 ,它机体内原有的碳 14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原 来的一半 , 这个时间称为“半衰期” . 根据此规 律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间 的关系,这个关系式应该怎样表示呢 我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多

少?
1, 2
( 1 )2 , 2 ( 1 ) 3 ,? . 2

(2) 当生物体死亡了 6000 年 ,10000 年 ,100000 年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
(1) 2
6000 5730

,

(1) 2

10000 5730

,

(1) 2

100000 5730

,? .

(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P ? (1) 2
t 5730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年 后,体内碳14的含量P的值.

(4)那么这些数 ( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 的意义究竟 2 2 2

6000

10000

30000

是什么呢 ?它和我们初中所学的指数有什么区
别?

这里的指数是分数的形式.
指数可以取分数吗 ? 除了分数还可以取 其它的数吗 ? 我们对于数的认识规律是怎样 的? 自然数→整数→分数(有理数)→实数.

(5) 指数能否取分数 ( 有理数 ) 、无理数呢 ? 如 果能,那么在脱离开上面这个具体问题以后,
) 关系式 P ? ( 1 2
t 5730

就会成为我们后面将要相继

研究的一类基本初等函数 —“ 指数函数”的 一个具体模型. 为了能更好地研究指数函数 , 我们有必 要认识一下指数概念的扩充和完善过程 , 这 就是下面三节课将要研究的内容: 从今天开始,我们学习指数与指数幂的运 算.

回顾初中知识,根式是如何定义的?有 那些规定? ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.

24=16 (-2)4=16 25=32

2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法,可得n次方根的定义.

2n = a
xn =a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.

1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root), 其中n>1,且n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1,且 n∈N*),那么这个数叫做 a 的n次方根.

24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32

16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.

27=128

2是128的7次方根.

【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.

23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32

8的3次方根是2.

3 记作: 8 ? 2.

3 ?8 ? ?2. -8的3次方根是-2. 记作: 5 -32的5次方根是-2.记作: ?32 ? ?2.
7 128 ? 2. 128的7次方根是2. 记作:

27=128
奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.

a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.

n

72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64

49的2次方根是7,-7.
记作: ? 49 ? ?7

81的4次方根是3,-3.

记作: ? 81 ? ?3
4

64的6次方根是2,-2.
6

记作: ? 64 ? ?2.

想一想: 哪个数的平方为负数?哪个数的偶次
方为负数? 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 ? n a 表示(n为偶数)

(1) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质: 正数的偶次方根有两个且是相反数, 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零.
如果x n ? a, 那么
? n ? ? a , n ? 2k ? 1, k ? N , x?? ? n ? a , a ? 0, n ? 2 k , k ? N . ? ?

根指数

n

a

被开方数

根式

-8 9 ( ?8) ? ____. ( 9) ? ____,
2 3 3

由xn = a 可知,x叫做a的n次方根.

(n a) n ? a
当n是奇数时, n a 对任意a?R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 ? n a (a ≥ 0)

(? a ) ? a
n n

(1)

5

2 ? 2,
5

3

(? 2) ? ?2.
3

结论:an开奇次方根,则有 n a n ? a.

(2) 32 ? 3, (?3)2 ? ?3, (?3)2 ? 3.

(3) 2 ? 2, (?2) ? ?2, (? 2) ? 2.
4 4 4 4 4 4

结论:an开偶次方根,则有

n

an ?| a | .

式子 n a n 对任意a ? R都有意义.

公式1.

? a?
n

n

? a.

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n

a ? a.
n

适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.

公式3.

n

a ?| a | .
n

适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.

注意:对于

n

a

的理解:

(1)??n ? R,且n>1.
n ? ?n为奇数,a的n次方根有一个,为 a (2)??a为正数: ? n n 为偶数, a 的 n 次方根有两个,为 ? a ? ? ? ? n为奇数,a的n次方根有一个,为 n a ???????a为负数: ? ? ? n为偶数,a的n次方根不存在.

(3)?? n 0 ? 0 (4)???a ? R, 式子 n a n 都有意义: ?n为奇数, ? ??????????????? ?n为偶数, ?
n

an ? a ? a???,????a ? 0 a ? a ?? ? ? a,????a ? 0
n

n

例1.求下列各式的值

( 1) (?8) ;
3 3

(2)

(?10)2 ;

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解 : ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b?

【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①

④ ).



5 5

4 5

16 ? ?2
5
5

② ( ?3) ? ?3
( ?3) ? ?3
10

④ ( ?3) ? ?3

4

( ?3) ? 3
4

【2】求下列各式的值.

⑴ ?32;
5

⑵ (? 3);
4

⑶ ( 2 ? 3);
2

⑷ 5? 2 6.
5

解: ⑴ 5 ?32 ?
4

5

(?2) ? ?2;
2 2 2

⑵ (? 3 )? [ (? 3) ] ? 9 ? 9;
(3) ( 2 ? 3 ) ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2;
2

(4) 5 ? 2 6 ? ( 2 ? 3 ) ? 3 ? 2.
2

例2.填空: (1)在 6 ( ?2)2 n , 5 a 4 , 3 ? a 4 , 4 ( ?3)2 n?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4

2 n ?1

(2) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的 1 a ≥ 取值范围是______. 3
2

(3)已知a, b, c为三角形的三边,则

2b ? 2c (a ? b ? c) ? b ? a ? c ? ________.
2

1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 为 ? n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.

3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) n a n ? a;

(3) a ?| a | .
n n

4.若xn=a , x怎样用a表示?
?n a, n为奇数, ? ? ? n a , n为偶数, a ? 0, x?? a ? 0, ? 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ?

例1.求值:

5? 2 6 ? 7? 4 3 ? 6? 4 2.

解:原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ? 2? 2 ? 2 2.

一、复习准备
? 1.复习上节课的内容 ? 2.练习 ? ①计算 3 (?8)3 ? 4 (3 ? 2) 4 ? 3 (2 ? 3)3
②若

a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围
( x ? a)2 ? ( b ? x )2 ? b ? , a
3 2
4

③已知

则b __ a

④已知 x ? a ? b ,求

x2 ? 2a3 x ? 的值 a6

二、讲授新课
? 1.复习初中时的整数指数幂,运算性质

a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1 (a ? 0) ,0 无意义
n 0 0

a

?n

1 ? n a
n

(a ? 0)
m? n

a ?a ? a
m

; (a ) ? a
m n

mn

(a ) ? a , (ab) ? a b
n m mn n

n n

? 什么叫实数? ? 有理数,无理数统称实数.

? 2.观察以下式子,并总结出规律:a>0
5
2 5 2 5 ? ( a ) ?a ?a a

10

10 5

a8 ? ( a 4 ) 2 ? a 4 ? a
12 4

8 2

4

a ? (a ) ? a ? a
12 4 3 4 3

5

a ? (a ) ? a ? a
10
5

2 5

2

10 5

?小结:当根式的被开方数的指数能被 根指数整除时,根式可以写成分数作 为指数的形式,(分数指数幂形式)

思考
? 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否 也可以写成分数指数幂的形式 ?如:
4 5

5 ?????????????????? 7
3 3 7 n

5 m *

a ?????????????????? x ( x ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)

即:a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1)
n m *

m n

二、分数指数
? 规定: 1、正数的正分数指数幂的意义为:
a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
m n

2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即:a
? m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

3、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义

? 说明:
1、IF a<0, 有什么结果呢?! 是否有意义,由m,n的具体值而定。 2、根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数 幂只是根式的一种新的写法,而不是
a
n m

? a ? a ??? a (a ? 0)

1 m

1 m

1 m

3、由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因 此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质,可以推广到有理数指数幂。

性质:(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用)

(a ? 0, r , s ? Q) a a ?a r s rs (a ? 0, r , s ? Q) (a ) ? a r r r (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r s

r ?s

例1、求值

8

2 3

;

25
3

?0.5

;

? 0.5 ?

?5

? 16 ? ; ? ? ? 81 ?

?

3 4

例2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

?1? a ? a 2 3 2 ? 2? a ? a ? 3?
a a
3

例3、计算下列各式(式中字母都是正数)
1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? ?1???? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ? ?? ? ? ?

? ? ? 2 ???? m n ? ? ?
1 4 3 ? 8

8

例4、计算下列各式

(1)( 25- 125) ?
3

4

25

(2)

a a

2

3

a

2

( a ? 0)

例5、化简求值(底数>0)
(1)?????? a
3 4

a a

3

????????????????????????(2m2 n ) ? (?m n ?3 )6

?

3 5 10

1 2

(3)?????3 3 ? 3 3 6 3??????????????????( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 ? 27m ? (5)????? 6 ? 6 ? ? 125n ?
3 4

讨论 : ? 5 2 的结果? ? 课本 P53

三、无理数指数幂
? 无理数指数幂 a (a ? 0,?是无理数) 是一个 确定的实数. ? 无理数指数幂的运算性质? ? 实数指数幂的运算性质?
?

性质:
(a ? 0, r , s ? R) a a ?a r s rs (a ? 0, r , s ? R) (a ) ? a r r r (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r s r ?s

例1 计算

(1) a
1 2

3

9 2

a

?3

?

3 3

a

?7 3

a

13

a ?b ? a ?b (2) 1 1 1 1 2 ? 2 2 ? 2 a b a b ?2 ?2 2 2 (3)(a ? 2 ? a ) ? (a ? a )

1 2

1 2

1 2

例2 化简

(1)??? 2 x (2)???( x (3)???
?1

?

2

? 3y?
0

3

??

利用 公式
2x
? 1 2 2

? 3y?
1 2

3

?

? x ? x )( x ?

?x ) ? x?x
1 3 1 3

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

x ?1 x ?1
1 3

x ?1

例3 已知a ? a

1 2

?

1 2

? 3,求下列各式的值:
?1 ?2 3 ? 2 1 ? 2

(1)????a ? a
2 3 2

(2)???a ? a (3)???

整体代 换思想

a ?a a ?a
1 2

3 4、化简 (

6

a ) ?(
9 4
8

6 3

a )
4

9

4 的结果是(

C)

A.a

16

B. a

C. a

D. a

2

5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2

(| x | ?1)

?

1 2 6、

x 有意义,则 的取值范围是

( 7、若10x=2,10y=3,则 10

( - ? , 1 ) ? ( 1 , +? )

3x ? y 2

2 6 ? 3 。

)

8、 ,下列各式总能成立的是(B a, b ? R
A .( a ?
6 6 6



2 2 8 2 2 8 ? ? ? ? ? b) a b B. ( a b ) a b

C.

4

a4 ?
?

4
1 32

b 4 ? a ? b D. 10 ( a ? b ) 10 ? a ? b
)(1 ? 2
? 1 16

9、化简 (1 ? 2

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 的结果 ( A)
?

?

1 8

?

1 4

?

1 2

1 A. (1 ? 2 2
C.1 ? 2
? 1 32

?

1 32

)

?1

B.(1 ? 2

1 32

)
?

?1

1 D.1 (1 ? 2 2

1 32

)



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