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直线方程的两点式和一般式



高中数学必修2 第二章 解释几何初步

复习引入
?

在直线上任取两个不同点P1(x1,y1), P2(x2,y2),则直线斜率k是: y

y2 ? y1 k? x2 ? x1



( x1 ? x2 )
0

P1(x1,y1)



P2(x2,y2)

x

? 过点P(x0,y0),斜率为k的直线方 程是:

y-y0=k(x-x0)

(点斜式)

提出问题:
? 如图所示,如果已知直线L上两点A(x1,y1), B(x2,y2),(其中x1≠x2) y (1)求直线L的斜率k.


y2 ? y1 k? x2 ? x1
(2)求直线L的方程.
(由点斜式方程得):

A(x1,y1)



B(x2,y2)

0

x

y2 ? y1 ( x ? x1 ) y-y0=k(x-x0) y ? y1 ? x2 ? x1

可化为

y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

平面几何:两点确定一条直线; 解释几何:两点的坐标确定一条 直线方程.

x1 ? x2

这两点的坐标分别是 (x1,y1)和(x2,y2)

这个方程称为直线方程的两点式

例题分析 例5 求经过两点P(a,0),Q(0,b) 的直线方程 (其中ab≠0).
分析:已知直线上两点的坐标,可以运用直线方程两点式求解.
解:∵直线L经过点P(a,0),Q(0,b) y ? y1 x ? x1 ∴由直线方程两点式 ? y2 ? y1 x2 ? x1 得

整理得

y?0 x?a ? b?0 0?a x y ? ?1 a b

通常称它为直线方程的截距式. 其中a为直线在x轴上的截距, b为直线在y轴上的截距.

y 轴 上 的 截 距 b

y


Q(0,b)

P(a,0)

0



x

由截距式可得到过 P点和Q点的 直线方程

x轴上的截距a

x y ? ?1 a b

引入重点
?
? ? ?

前面学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法,看下 面问题:
问:说出过点 P(2,1),斜率为2的直线的方程,并观 察方程属于哪一类,为什么? 答:由点斜式得,直线方程是 y-1=2(x-2) , 整理得:2x-y-3=0

?
?

属于二元一次方程,
因为未知数有两个,它们的最高次数为一次.

再看一个问题: 问:求出过点P( 2,-1),Q(3,1) , 的直线的方程,并观察方程属于哪一类, 为什么? y ? (?1) x ? 2 ? 答:由直线方程两点式得: 1 ? (?1) 3 ? 2 整理得:2x-y-5=0 也属于二元一次方程, 因为未知数有两个,它们的最高次数 为一次.

启发:你想到了什么? 谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.

【问题1】


“任意直线的方程都是二元一次方程吗?

在平面直角坐标系中,直线可以分为两类.
直线与x轴垂直( k不存在)
y

直线与x轴不垂直( k存在)
y

0



x

对于过点P(x0,y0)的直线方程

0



x

P(x0,y0)

P(x0,y0)

由点斜式,得:y-y0=k(x-x0) 可化为:kx-y-kx0+y0=0

由图像,得:x=x0 可化为: x+0 y-x0=0


两者都是关于x,y的二元一次方程.
任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示.

【问题2】
“任意形如Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 的二元一次方程都表示一条直线吗?”
Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)

B≠0时, y ? ?

A C x? B B
A 就是直线的斜率 B

B=0时,则A≠0, x ? ?

C A

?

表示一条不垂直x轴的直线

表示一条垂直x轴的直线

关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.

例题分析
例6 如图所示,已知直线经过点A(4,-3),斜率 2 ? 为 3 ,求直线的点斜式方程,并化为一般式方程.
分析:由点斜式 y-y0=k(x-x0)得到直线方程,
y

再化为一般式Ax+By+C=0的形式.

1

0

1

x



解:由已知点斜式方程为 2 y ? 3 ? ? ( x ? 4) 3 化为一般式方程为 2x+3y+1=0.

A(4,-3)

例7 已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2), C(0,1).求这个三角形三边各自所在直线的方程. 分析:已知两点的坐标,可以直接运用两点式求直线的方程.

解: 如图 ∵直线AB过A(-3,0), B(2,-2)两点, ∴由两点式
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

y
C(0,1) A (-3,0) 1



0
B (2,-2)

x

y?0 x ? (?3) ? ? 2 ? 0 2 ? (?3)
整理得 2x+5y+6=0. 这就是直线AB的方程;

∵直线AC过A(-3,0),C(0,1)两点,

y ? 0 x ? ( ? 3 ) ∴由两点式得 ? 1 ? 0 0 ? (?3)
整理得 x-3y+3=0. 这就是直线AC的方程;

又∵直线BC过B(2,-2),C(0,1)两点,

y ? ( ? 2 ) x ? 2 ∴由两点式得 ? 1 ? (?2) 0 ? 2
整理得 3x+2y-2=0. 这就是直线BC的方程.

例8 已知直线L的方程为 求直线L的倾斜角.
斜率k= ?
A B

x ? 3y ? 4 ? 0

分析:由直线方程一般式(Ax+By+C=0)可知直线

,再由斜率求出对应的倾斜角.

A 1 3 解:直线L的斜率 k ? ? ?? ? B 3 ? 3
设直线L的倾斜角为 ? ,则 (00≤

由于k>0,所以00<

3 tan ? ? 3

? <180 )
0 0

故直线L的倾斜角

? =30

? <900,

练习
1、求经过点(-4,5),且斜率为-2的直线方程,并 化为一般式.

2x+y+3=0
2、已知A(2,2),B(2,5)在直线L上,求L的方程

.

x=2 (这里不能用两点式,可用图像法求直线方程.)
3,-5),倾斜角等于直线 3x ? 1倾斜角的一半的直线方程,并化为一般式.

3、求过点(

y?

3 x? y?6 ? 0 3

小结
1、直线方程的两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

2、直线方程的一般式:

x1 ? x2

关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)表示的是一条直线
作业:P73 练习2 第1、2、4、5、7、9题



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