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高中数列方法解题与技巧



高中数列方法与解题技巧
一、数列求通项的 10 种方法

二、数列求和的 7 种方法

三、6 道四川高考数列大题及详解

数列求通项的 10 种方法
一、公式法
例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式.

方法:等式两边同时除以

2 n ?1

,构造成等差数列,利用等差数列公式求解。

形式: n 项系数与后面所加项底数相同

a

二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.

an ?1 ? an ? 2n ? 1
方法:

........................ a2? a1 ? 2 ? 1 ? 1

将上述各式累加,中间式子首尾项相抵可求得 a n

形式: an ?1

? an ? f ? n ? ;

要求 a n ?1 、 a n 的系数均为 1,对于 a n 不为 1 时,需

除以系数化为 1。
例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式.

方法:同例 2 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式. 方法:等式的两边同除以 3, ,将 a n 系数化为 1,再用累加法。 三、累乘法
例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式.。

an ?1 ? 2 ? n ? 1? 5n an
方法: .......................... 将上述各式累乘,消除中间各项,可求得 a n

a2 ? 2 ?1 ? 1? 51 a1
形式: an ?1
例6

? f ? n ? ? an ; an ?1是a n

的关于 n 的倍数关系。 求 {an } 的通项公 ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

式. 方法:本题与例 5 不同之处是想要通过错位相减法,求出 an ?1与an 的递推关系,然 后才能用累成法求。 四、待定系数法(X,Y,Z 法)
例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 方法:构造数列 n ?1 形式: n ?1

a

? x ? 5n ?1 ? 2 ? an ? x ? 5n ? , 反解x 。

a

? kan ? f ? n ?

例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式.

方法:构造数列 an ?1

? x ? 2n ?1 ? y ? 3 ? an ? x ? 2n ? y ?
0

,本题中递推关系

中含常数 4,对于常数项,可看成是 n

。对于不同形式的 n 要设不同的参数。

例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式.
方法:同例 8,但它的参数要设 3 个。

五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式.

方法:等式两边同取对数得到 lga n ?1 系数法或者累加法求之。 形式: an?1 六、迭代法 例 11

? lg 2 ? n lg3 ? 5lg an

,然后可利用待定

? f ? n ? an x

,其中对与 a n 的高次方特别有效。

3( n ?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {a } 的通项公式. 已知数列 {a } 满足 an ?1 ? an
n n

n

方法:按照数列对应函数关系,由 a1 逐层加上去,直到推到 a n 为止。 形式: an ?1

? f ? an ?
8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

七、数学归纳法
例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

方法:演算 a n 的前 4 项,猜测、发现项数 n 与项值之间的关系,然后证明猜测的正确 性。 形式:对于形式比较繁复,无从下手时,可以考虑用数归法去大胆猜测。 八、换元法
例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式. 16

方法:令 bn 而去掉

? 1 ? 24an

,可将数列 a n 递推关系转化为数列 bn 的递推关系。从

,实现有理化或者整式化。

形式: an ?1

?f

? ?

?1? an 或者an ?1 ? f ? ? ? an ?
21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式. 4an ? 1

九、不动点法
例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

方法:求函数 x

21x ? 24 ,两个自变量与对应函数相等时的值,解得 4x ? 1 a ?3 a ?3 x1 ? 2, x2 ? 3 。即存在 k 使得 n ?1 ?k n ,由此可构成新的等比数 an ?1 ? 2 an ? 2 ? f ? x? ?
f1 ? an ? f 2 ? an ?

列 形式: an ?1

?

,且对应函数有两个不同的解。

例 15 已知数列 {an } 满足 an?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 2an ? 3

方法:本题对应函数的解相等,为 1,所以不能用不动点法,只能才用数归法做。 十、阶差法(逐项相减法) 例 16
1 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? (an ? 1)(an ? 2) ,且 6

a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式.
方法:由 an 形式: sn

? sn ? sn ?1

推出 an与an ?1 的递推关系,然后再求数列 a n 的通项。

? f ? an ?

练习 已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ?

1 ( a n ? 1) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 2

数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容, 又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中 都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一, 除了等差数列和等比数列有求和 公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛 试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式: S n ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

[例 1] 已知 log3 x ?

?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数 列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①

2 4 6 2n [例 4] 求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反 序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

[例 6] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为 几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,
1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂

项)如:
(1) an ? f (n ? 1) ? f (n)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ? (5) an ? (6) an ?

(4) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9]

求数列

[例 10] n 项的和. [例 11]

在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?

六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数 列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.

[例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.

[例 14] 值 .

在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的 通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15]

求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

[例 16] 已知数列{an}: an ?

? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

四川高考理科数学试题 2008 年--2013 年数列解答题

(2008 年四川高考理科 20 题) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, ?an ? n ? 2n ?1? 是等比数列; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

(2009 年四川高考理科 20 题) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记
bn ? 4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都 有 Tn ?
3 ; 2

(III) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。 已知正实数 ? 满足: 对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立, 求 ? 的最小值。

(2010 年四川高考理科 20 题)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N*都 有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

(2011 年四川高考理科 20 题)设 d 为非零实数,
an ? 1 1 2 2 (Cn d ? 2Cn d ? n
n ?1 n ?1 n n ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ](n ? N * )

(1)写出 a1 , a2 , a3 并判断 {an } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn ? ndan (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(2012 年四川高考理科 20 题)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立.
(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 大值.
{lg 10a1 } an 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最

(2013 年四川高考理科 16 题)在等差数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a 4 为 a 2 和 a9 的等比 中项,求数列 ?an ?的首项,公差及前 n 项和。

四川高考理科数学试题(数列)答案
(2008 年四川高考理科 20 题) 解:由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn , ban?1 ? 2n?1 ? ? b ?1? Sn?1 两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2n ? ?b ?1? an?1 ,即 an?1 ? ban ? 2n ①

(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ?1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ?1? ? 2n ? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ? 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2n ?1? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。 (Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2n?1 当 b ? 2 时,由由①得
an ?1 ? 1 1 b 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?

因此 an?1 ?

1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? bn?1 ? n?2 ? ? ? 2 ? b ?
4. (2009 年四川高考理科 20 题) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?
1 4

1 又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1,? an?1 ? an ? 5an?1 ,即an?1 ? ? an 4 1 1 ?数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 4 ? (? ) n 1 4 ……………………..3 分 ? an ? (? ) n ? bn ? 1 4 1 ? (? ) n 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4)n ? 1

? cn ? b2 n ? b2 n?1 ?

5 5 25 ?16n ? ? 42 n ? 1 42 n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

25 ?16n 25 ?16n 25 13 4 ? ? n , 又 b1 ? 3, b2 ? ,? c1 ? = n 2 n n 2 3 3 (16 ) ? 3 ?16 ? 4) (16 ) 16
3 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16

当 n ? 1时,T1 ?

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?
5 (?4)n ? 1

一方面,已知 Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1 ? 4n ? 5 ? (?
1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2 k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [ ? 1 ?( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2 k ?1 )] > 4n ? 1 4 ? 1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1
1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立

?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?

1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有
b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ? 5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 ( ?4) 2 k ? 1 ? 8 ? ?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4

1 5? 1k6? 4 0 ? 8? k ?8 (16 ? 1)(16k ? 4)

?当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ,?对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n 综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分 5. (2010 年四川高考理科 21 题) 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6

再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20……………2 分 (2)当 n∈N *时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8,于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8w_w w. k#s5_u.c o*m 即 bn+1-bn=8,所以{bn}是公差为 8 的等差数列……5 分

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得 an= 那么 an+1-an=
a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2

a2 n ?1 ? a2 n ?1 8n ? 2 -2n+1w_w w. k#s5_u.= -2n+1=2n 2 2

于是 cn=2nqn-1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn-1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. 上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m =2·

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1 ? qn -2nqn=2· 1? q 1? q nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 综上所述,Sn= (q ? 1)2

所以 Sn=2·

?n(n ? 1) (q ? 1) ? …………………………12 分 ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 2 ( q ? 1) ? (q ? 1) 2 ?

6. (2011 年四川高考理科 20 题)
a1 ? d

解析: (1) a2 ? d ( d ? 1)
a3 ? d ( d ? 1) 2
0 1 2 2 3 an ? Cn d ? Cn d ? Cn d ? n ?1 n ? Cn d ? d (1 ? d ) n ?1

an ?1 ? d (1 ? d ) n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以 {an } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d )n ?1

(2) Sn ? d 2 (1 ? d )0 ? 2d 2 (1 ? d )1 ? 3d 2 (1 ? d ) 2 ?
? d 2 [(1 ? d )0 ? 2(1 ? d )1 ? 3(1 ? d )2 ?

? nd 2 (1 ? d ) n ?1

? n(1 ? d ) n ?1 ](1)

(1? d )Sn ? d 2[(1? d )1 ? 2(1? d )2 ? 3(1? d )3 ?

? n(1? d )n ](2)

1? (1 ? (1 ? d )n ) (2) ? (1) ? dSn ? ?d 2 [ ? d 2 n(1 ? d )n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d )n 1 ? (1 ? d )
?Sn ? 1? (dn ?1)(1? d )n
7.(2013 年四川高考理科 21 题)取 n=1,得 a 2 a 1 ? s 2 ? s1 ? 2a1 ? a 2 , 取 n=2,得 a 2 2 ? 2a1 ? 2a 2 , 又②-①,得 a 2 (a 2 ? a1 ) ? a 2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0, (2)若 a2 ? 0,易知a 2 ? a1 ? 1 , ④ ② ③ ①

由①④得: a1 ? 2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? 2; …………………5 分 (2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ? 2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2; 当 n ? 2时,有(2 ? 2)a n ? s 2 ? s n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 所以,an= 2a n ?1 (n ? 2) 所以 a n ? a1 ( 2 ) n ?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n ?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n ?1 ? lg n ?1 an 2 2

1 所以,数列{bn}是以 ? lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2

则 b1>b2>b3>…>b7= lg

10 ? lg 1 ? 0 8

1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8= lg ? lg 1 ? 0 2 128 2

所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 …………………………12 分 2 2

8. (2013 年四川高考理科 21 题) 解:设等差数列 ?an ?的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,

2 由已知得 2a1 ? 2d ? 8,(a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 8d )

解得 a1 ? 4, d ? 0 或 a1 ? 1, d ? 3 所以数列 ?an ?的通项公式为 an ? 4 或 an ? 3n ? 2
3n 2 ? n Sn ? 2 所以数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 4n 或



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