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斐波那契数列



为求得斐波那契数列的一般表达式, 可以借助线性代数的方法。 高中的初等数学知识也能求 出。

高中的初等数学知识解法
已知
? a1 = 1 ? a2 = 1 ? an = an ? 1 + an ? 2

1 首先构建等比数列
设 an + αan ? 1 = β(an ? 1 + αan ? 2) 化简得

an = (β ? α)an ? 1 + αβan ? 2 比较系数可得:

不妨设 β > 0α > 0 解得:

所以有 an + αan ? 1 = β(an ? 1 + αan ? 2) 即{an + αan ? 1}为等比数列。

2 求出数列{an + αan ? 1}
有以上可得:

变形得:



3 求数列{bn}进而得到{an}



解得

故数列 bn + λ 为等比数列





故有

又有



可得

得出 an 表达式

线性代数解法
1 首先构建一个矩阵方程
设 Jn 为第 n 个月新出生的兔子数量,An 为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间,兔子数目之间的关系。而要求的是,An+1 的表达式。

2 求矩阵的特征值: λ
行列式:-λ*(1-λ)-1*1=λ? -λ-1

当行列式的值为 0,解得 λ1=

或 λ2=

3 特征向量 将两个特征值代入

求特征向量



=

=

4 分解首向量
第一个月的情况是兔子一对,新生 0 对。

将它分解为用特征向量表示。

(4) 5 用数学归纳法证明 从

= 可得

(5 ) 6 化简矩阵方程 将(4) 代入 (5)

根据 3

7 求 A 的表达式
现在在 6 的基础上,可以很快求出 An+1 的表达式,将两个特征值代入 6 中

(7)

(7)即为 An+1 的表达式

近似值

用计算机求解
可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题,一种已知数列中的某一项,求序数。第二种 是已知序数,求该项的值。 可通过递归的算法解决此两个问题。

和黄金分割的关系
开普勒发现两个斐波那契数的比会趋近黄金分割:

斐波那契数亦可以用连分数来表示:

而黄金分割数亦可以用无限连分数表示:

和自然的关系

许多的生物构成都和斐波那契数列有正相关。 例如人体从肚脐至头顶之距离和从肚脐至脚底

之距趋近于

向日葵的种子螺旋排列 99%是



恒等式
证明以下的恒等式有很多方法。 以下会用组合论述来证明。 Fn 可以表示成用多个 1 和多个 2 相加令其和等于<mat 不失一般性,我们假设 n ≥ 1。Fn + 1 是计算了将 1 和 2 加到 n 的方法 的数目。若第一个被加数是 1,有 Fn 种方法来完成对 n-1 的计算;若第一个被加数是 2,有 F(n-1)来完成对 n-2 的计算。因此,共有 Fn + Fn - 1 种方法来计算 n 的值。
? F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn + 2 - 1

计算用多个 1 和多个 2 相加令其和等于 n+1 的方法的数目, 同时最后一个加数是 2 的情况。 如前所述,当 n ≥ 0,有 Fn + 2 种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用 2,就即 1 + 1 + ... + 1 (n+1 项),于是我们从 Fn + 2 减去 1。 1.若第 1 个被加数是 2,有 Fn 个方法来计算加至 n-1 的方法的数目; 2.若第 2 个被加数是 2、第 1 个被加数是 1,有 Fn - 1 个方法来计算加至 n ? 2 的方法 的数目。 3.重复以上动作。 4.若第 n + 1 个被加数为 2,它之前的被加数均为 1,就有 F(0)个方法来计算加至 0 的数目。 若该数式包含 2 为被加数,2 的首次出现位置必然在第 1 和 n+1 的被加数之间。2 在不同位 置的情况都考虑到后,得出 Fn + Fn - 1 + ... + F0 为要求的数目。
? F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn + 2 - Fn + 3 + 2 ? F1 + F3 + F5 + ... + F2n - 1 = F2n ? F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n + 1 - 1 ? ?

相关的数列

斐波那契数列是卢卡斯数列的特殊情况。或是斐波那契 n 步数列步数为 2 的情形。

和卢卡斯数列的关系 反斐波那契数列
反斐波那契数列的递归公式如下: Gn + 2 = Gn ? Gn + 1 如果它以 1,-1,之后的数是:1,-1,2,-3,5,-8, ... 即是 F_{2n+1} = G_{2n+1},F_{2n} = - G_{2n}。

反斐波那契数列两项之间的比会趋近



巴都万数列
斐波那契数列可以用一个接一个的正方形来表现, 巴都万数列则是用一个接一个的等边三角 形来表现,它有 Pn = Pn ? 2 + Pn ? 3 的关系。

应用
1970 年,Yuri Matiyasevich 指出了偶角标的斐波那契函数 y = F2 x 正是满足 Julia Robison 假设的丢番图函数,因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。



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