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2014-2015学年北师大版数学【选修2-3】:第3章《统计案例》综合测试(含答案)



第三章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个( - - (1)回归直线过样本点的中心( x , y ); ^ ^ ^ (2)线性回归方程对应的直线y=bx+a

至少经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn)中的一个点; (3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越宽,其模型拟合的精度越高; (4)在回归分析中,R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好. A.1 C.3 [答案] B [解析] 由回归分析的概念知①④正确,②③错误. 2.变量 y 对 x 的回归方程的意义是( A.表示 y 与 x 之间的函数关系 B.表示 y 与 x 之间的线性关系 C.反映 y 与 x 之间的真实关系 D.反映 y 与 x 之间的真实关系达到最大限度的吻合 [答案] D [解析] 用回归方程预测变量 y 对 x 的不确定关系,反映的不是真实关系,而是真实关 系达到最大限度的吻合. 3.在列联表中,两个比值( a c A. 与 a+b c+d a c C. 与 a+b b+c [答案] A [解析] 强.故选 A. 4.若回归直线方程中的回归系数 b=0 时,则相关系数 r 的值为( ) a c 与 相差越大,说明 ad 与 bc 相差越大,两个分类变量之间的关系越 a+b c+d )相差越大,两个分类变量之间的关系越强.( a c B. 与 c+d a+b a c D. 与 b+d a+c ) ) B.2 D.4 )

A.1 C.0 [答案] C [解析] 若 b=0,则 ?xiyi-n x
i=1 n

B.-1 D.无法确定

y =0,∴r=0.

5.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50 )

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是( A.99% C.90% [答案] B B.95% D.无充分依据

50×?18×15-8×9?2 [解析] 由表中数据得 χ2= ≈5.059>3.841, 所以约有 95%的把握认 26×24×27×23 为两变量之间有关系. 6.(2014· 淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量,得到如下数据: x y -1 -0.9 -2 -2 -3 -3.1 -4 -3.9 ) ^ B.y=x ^ D.y=x+1 -5 -5.1 5 5 4 4.1 3 2.9 2 2.1 1 0.9

则两变量之间的线性回归方程为( ^ A.y=0.5x-1 ^ C.y=2x+0.3 [答案] B - [解析] 因为 x =0,

- -0.9-2-3.1-3.9-5.1+5+4.1+2.9+2.1+0.9 y= =0,根据回归直线方程必经过样 10 - - 本中心点( x , y )可知,回归直线方程过点(0,0),所以选 B. 7.(2014· 枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量 x 与 y 相对 ^ 应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的线性回归方程为y=2x+ - 45,则 y =( A.135 C.67 ) B.90 D.63

[答案] D - 1 - - [解析] ∵ x = (1+5+7+13+19)=9, y =2 x +45, 5 - ∴ y =2×9+45=63,故选 D. 8.为了表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度,我们表示它常用( A. ? (yi-y′i)
i=1 n

)

B. ? (y′i-yi)
i=1

n

C. ? (yi-y′i)2
i=1

n

2 D. ? (y2 i -y′i ) i=1

n

[答案] C [解析] 离差的平方和最小的时候,点均匀分布在直线两侧. 9.下表是甲、乙两个班级进行数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后的 2×2 列联表: 不及格 甲班 乙班 合计 则 χ2 的值为( A.0.559 C.0.443 [答案] A 90?12×36-9×33?2 [解析] χ2= ≈0.559. 45×45×21×69 10.给出下列四个命题,其中真命题是( ) ) B.0.456 D.0.4 12 9 21 及格 33 36 69 合计 45 45 90

π π A.?x∈R,cosx=sin(x+ )+sin(x+ )一定不成立 3 6 B.今年初某医疗研究所为了检验“达菲(药物)”对甲型 H1N1 流感病毒是否有抑制作 用, 把墨西哥的患者数据库中的 500 名使用达菲的人与另外 500 名未用达菲的人一段时间内 患甲型 H1N1 流感的疗效记录作比较,提出假设 H0:“达菲不能起到抑制甲型 H1N1 流感 病毒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 χ2≈3.918,经查对临界值表知 P(χ2≥3.841)≈0.05, 说明达菲抑制甲型 H1N1 流感病毒的有效率为 95% C.|a· b|=|a||b|是|λa+μb|=|λ||a|+|μ||b|成立的充要条件 D.如图的茎叶图是某班学生一次测验时的成绩;可断定:男生成绩比较集中,整体水 平稍高的女生

[答案] C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.有下列关系:(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;(2)曲线上的点与该点的 坐标之间的关系;(3)苹果的产量与气候之间的关系;(4)森林中的同一种树木,其断面直径 与高度之间的关系;(5)学生与他(她)的学号之间的关系,其中有相关关系的是______. [答案] (3)(4) 12.如果 χ2 的值为 8.654,可以认为“A 与 B 无关”的可信度是____________. [答案] 1% [解析] ∵8.654>6.635, ∴我们认为 A 与 B 有关的把握为 99%,故“A 与 B 无关”的可信度为 1%. 13.根据下表计算 χ2=________. 发病情况 手术情况 移植手术 未移植手术 [答案] 1.779 392×?39×167-157×29?2 [解析] χ2= ≈1.779. 196×196×68×324 14.已知在某种实践运动中获得一组数据: i xi yi 1 12 5.4 2 17 / 3 21 9.3 4 28 13.5 又发病 39 29 未发病 157 167

其中不慎将数据 y2 丢失,但知道这四组数据符合线性关系:y=0.5x+a,则 y2 与 a 的近 似值为________. [答案] 8,-0.7 28.2+y2 [解析] 由题意,得 x =19.5, y = . 4

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?xi- x ?
4

4

代入
2 i=1

=0.5 中,得 y2≈8.

所以 y =9.05,a= y -b x ≈9.05-0.5×19.5=-0.7. 15. 某种产品的业务费支出 x(单位: 万元)与销售额 y(单位: 万元)之间有如下对应数据: x/万元 y/万元 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

则变量 y 与 x 的线性相关系数 r≈________. [答案] 0.92 [解析] 列表如下: i 1 2 3 4 5 ∑ xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 x2 i 4 16 25 36 64 145 y2 i 900 1600 3600 2500 4900 13500 xiyi 60 160 300 300 560 1380 1380-5×5×50 145-5×52× 13500-5×502

由表中数据计算得 x = 5 , y = 50 ,则相关系数 r = ≈0.92.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.男性更容易患色盲吗?某机构随机调查了 1000 人,调查结果如下表(单位:人): 性别 患色盲情况 正常 色盲 试问:男性是否更有可能患色盲? [解析] 人): 性别 患色盲情况 正常 色盲 总计 男 442 38 480 女 514 6 520 总计 956 44 1000 问题是判断患色盲是否与性别有关,由题目所给数据得到如下列联表 (单位: 男 442 38 女 514 6

1000×?442×6-514×38?2 由公式计算得 χ2= ≈27.139. 956×44×480×520 由于 27.139>6.635,所以有 99%以上的把握认为患色盲与性别有关.

17. 下表是随机抽取的 8 对母女的身高数据,试根据这些数据求出女儿身高 y 对母亲身 高 x 的线性回归方程,并预测母亲身高为 165cm 时女儿的身高. 母亲身高 x/cm 女儿身高 y/cm 154 155 157 156 158 159 159 162 160 161 161 164 162 165 163 166

[解析] 散点图如图所示.

由图可知两个变量呈现出近似的线性关系, 可以建立女儿身高 y 对母亲身高 x 的线性回 归方程.将数据列成下表. i 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ xi 154 157 158 159 160 161 162 163 1274 yi 155 156 159 162 161 164 165 166 1288 x2 i 23716 24649 24964 25281 25600 25921 26244 26569 202944 xiyi 23870 24492 25122 25758 25760 26404 26730 27058 205194

由此可得 x =159.25, y =161,进而可求得 b≈1.345,a= y -b x ≈-53.191,故 y 对 x 的线性回归方程为 y=-53.191+1.345x. 当母亲身高为 165cm 时,女儿身高的估计值为 -53.191+1.345×165=168.734≈169(cm). 18.(2013· 云南玉溪一中高三月考)为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得 到如下丢失数据的列联表: 患病 没服用药 服用药 总计 20 x M 未患病 30 y N 总计 50 50 100

设从没服用药的动物中任取 2 只,未患病数为 ξ;从服用药物的动物中任取 2 只,未患 38 病数为 η,工作人员曾计算过 P(ξ=0)= P(η=0). 9

(1)求出列联表中数据 x,y,M,N 的值; (2)求 ξ 与 η 的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义; (3)能够以 99%的把握认为药物有效吗? 参考公式:K2= n?ad-bc?2 . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

①当 K2≥3.841 时有 95%的把握认为 ξ、η 有关联; ②当 K2≥6.635 时有 99%的把握认为 ξ、η 有关联. [分析] (1)从已知 P(ξ=0)= 38 P(η=0)出发,结合 2×2 列联表可求. 9

(2)求出 ξ、η 的分布列,再利用期望定义式求 E(ξ)和 E(η)即可. (3)利用公式算出 K2,结合参考数据可以判断. C2 C2 20 x [解析] (1)∵P(ξ=0)= 2 ,P(η=0)= 2 , C50 C50 ∴ C2 38 C2 20 x 2 = × 2 ,∴x=10. C50 9 C50

∴y=40,∴M=30,N=70. (2)ξ 取值为 0,1,2.
1 C2 38 C1 20 20C30 120 P(ξ=0)= 2 = ,P(ξ=1)= 2 = , C50 245 C50 245

C2 87 30 P(ξ=2)= 2 = . C50 245 ξ P 294 ∴E(ξ)= . 245 C2 9 10 P(η=0)= 2 = . C50 245
1 C1 80 10C40 P(η=1)= 2 = . C50 245

0 38 245

1 120 245

2 87 245

C2 156 40 P(η=2)= 2 = . C50 245 η P 392 ∴E(η)= . 245 ∴E(ξ)<E(η),即说明药物有效. 100×?800-300?2 (3)∵K2= ≈4.76. 30×70×50×50 0 9 245 1 80 245 2 156 245

∵4.76<6.635, ∴不能够有 99%的把握认为药物有效. 19.某商场经营一批进价为 30 元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下关系: x y 35 56 40 41 45 28 50 11

(1)画出散点图,并判断 y 与 x 是否具有线性相关关系; (2)求日销售量 y 对销售单价 x 的线性回归方程; (3)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据(2)写出 P 关于 x 的函数关系式,并预测当 销售单位价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润. [分析] 两个变量呈现近似的线性关系,可通过公式计算出其线性回归方程,并根据方 程求出其预测值. [解析] (1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两 个变量线性相关.

1 (2)∵ x = ×(35+40+45+50)=42.5, 4 1 y = ×(56+41+28+11)=34, 4

i=1

?xiyi=35×56+40×41+45×28+50×11=5 410,
4

4

i=1

2 2 2 2 ?x2 i =35 +40 +45 +50 =7 350,

i=1

?xiyi-4 x ·y ?x2 i -4 x
4 2

4

∴b=

5 410-4×42.5×34 = 7 350-4×42.52

i=1

370 =- =-2.96. 125 ∴a= y -b x =34-(-2.96)×42.5=159.8.

∴y=-2.96x+159.8. (3)依题意有 P=(-2.96x+159.8)(x-30) =-2.96x2+248.6x-4 794, 248.6 ∴当 x= ≈42 时,P 有最大值,约为 426, 2×2.96 即预测销售单价为 42 元时,能获得最大日销售利润. [点评] 该类题属于线性回归线问题, 解答本类题目的关键是首先通过散点图(或相关性 检验求相关系数 r)来分析两变量间的关系是否相关, 然后再利用求回归方程的公式求解回归 方程,在此基础上,借助回归方程对实际问题进行分析. 20. 为考察高中生是否喜欢数学课程与性别之间的关系, 在某城市的某校高中生中随机 抽取 300 名学生,得到如下列联表: 性别与喜欢数学课程列联表 喜欢数学课程 男 女 合计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 合计 122 178 300

由表中数据计算得 χ2=4.514.高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系?为什 么? [解析] 可以有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. 作出这种判断的依 据是独立性检验的基本思想,具体过程如下: 分别用 a,b,c,d 表示样本中喜欢数学课的男生人数,不喜欢数学课的男生人数,喜 欢数学课的女生人数,不喜欢数学课的女生人数.如果性别与是否喜欢数学课有关系,则男 a c 生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的人数比例 应该相差很多,即 a+b c+d | ad-bc a c - |=| |应很大.将上式等号右边的式子乘以常数 a+b c+d ?a+b??c+d? ?a+c??b+d? ,然后平方得 χ2= n?ad-bc?2 ,其中 n=a+b+c+ ?a+b??c+d??a+c??b+d?

?a+b+c+d??a+b??c+d?

d.因此 χ2 越大,“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大. 另一方面, 假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”为事件 A, 由于事件 A={χ2>3.841} 的概率为 P(χ2>3.841)≈0.05, 因此事件 A 是一个小概率事件.而由样本数据计算得 χ2=4.514,这表明小概率事件 A 发生.根据假设检验的基本原理,我们应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立,并 且这种判断出错的可能性约为 5%.所以, 约有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关 系”.

21.(2014· 安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情 况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观众 日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育 迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. n?ad-bc?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635 体育迷 合计

[解析] (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”为 25 人,从而完 成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?ad-bc?2 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 100×?30×10-45×15?2 100 = ≈3.030. 33 75×25×45×55

因为 3.030>2.706,所以我们有 90 名的把握认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的集合 为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2)} 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中, 至少有 1 人是女性”这一事件, 则 A={(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10



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