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江苏省扬州市高邮中学2015届高三上学期10月月考数学(理)试卷



2014-2015 学年江苏省扬州市高邮中学高三(上)月考数学试卷 (理科) (10 月份)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸上. 1.设集合 A={2,3,4},B={2,4,6},若 x∈A 且 x? B,则 x 等于 . 2.在复平面上,复数 z=(﹣2+i)i 的对应的点所在象限是第 象限.

/>3.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P: “x∈A”是 Q: “x∈B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 . 4.已知命题 p:|x﹣2|≥2;命题 q:x∈Z.如果“p 且 q”与“? q”同时为假命题,则满 足条件的 x 的集合为 . 5.曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为 . 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(1)=1,则 f(3) ﹣f(4)= . 7.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含边 界) ,则 的最大值为 .

8.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 +

x

y

的最小值是



9.由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的 轨迹方程为 .

2

2

10.过双曲线

的右焦点 F 和虚轴端点 B 作一条直线,若右顶

点 A 到直线 FB 的距离等于

,则双曲线的离心率 e=



11.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象经过 A(﹣ 则ω的最小值为 .

,﹣2) 、B(

,2)两点,

12.如图,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值是 .

13.若函数 f(x)=min{﹣x+2,log2x},其中 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,则不 等式 f(x)<﹣2 的解集为 .
+

14.定义“正对数” :ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b ③若 a>0,b>0,则
+ + + + b +

,现有四个命题:

b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有: . (写出所有真命题的编号)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 16.已知二次函数 f(x)=ax +bx,f(x+1)为偶函数,函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设集合 A={x|f(x)>0},B={x||x﹣1|<m},若集合 B 是集合 A 的子集,求实数 m 的取值范围.
2

=



17.如图,在半径为 、圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y, (1)按下列要求写出函数的关系式: ①设 PN=x,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠POB=θ,将 y 表示成θ的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值.

18.已知圆 C 经过点 A(1,3) 、B(2,2) ,并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值.

19.已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短轴长为 2,动点 M(2,t) (t>0)在椭圆的准线 上. (Ⅰ)求椭圆的标准方程: (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.
2

20.已知函数 f(x)=2alnx﹣x+ (a∈R,且 a≠0) ;g(x)=﹣x ﹣x+2 (Ⅰ)若 f(x)是在定义域上有极值,求实数 a 的取值范围;

b(b∈R)

(Ⅱ)当 a= 时,若对? x1∈[1,e],总? x2∈[1,e],使得 f(x1)<g(x2) ,求实数 b 的取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) (Ⅲ)对? n∈N,且 n≥2,证明:ln(n! ) <(n﹣1) (n+2)
4

四、附加题 21.已知矩阵 M= ,其中 a∈R,若点 P(1,7)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(15,9) .

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量α.

22.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,P 为 A1B 上的点, ⊥AB. (1)求λ的值; (2)求异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值.

,且 PC

23.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有 二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列和期望 Eξ.

24.已知数列{xn}中,



(Ⅰ)当 p=2 时,用数学归纳法证明 (Ⅱ)是否存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn.

2014-2015 学年江苏省扬州市高邮中学高三 (上) 月考数 学试卷(理科) (10 月份)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸上. 1.设集合 A={2,3,4},B={2,4,6},若 x∈A 且 x? B,则 x 等于 3 . 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 利用 x 与集合 A 和集合 B 的关系确定 x. 解答: 解:∵x∈{2,3,4},∴x=2 或 x=3 或 x=4. ∵x? {2,4,6},∴x≠2 且 x≠4 且 x≠6, ∴x=3. 故答案为:3. 点评: 本题主要考查了元素和集合之间的关系. 2.在复平面上,复数 z=(﹣2+i)i 的对应的点所在象限是第 三 象限. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 高考数学专题. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,求出对应点的坐标,则答案可求. 解答: 解:z=(﹣2+i)i=﹣1﹣2i, ∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2) ,为第三象限的点. 故答案为:三. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P: “x∈A”是 Q: “x∈B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 a>4 . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;元素与集合关系的判断;对数函数的定义 域. 专题: 计算题. 分析: 先利用对数函数的性质求出集合 A,再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之 间的大小关系即可. 解答: 解:∵A={x|x<4}, ∵P: “x∈A”是 Q: “x∈B”的充分不必要条件, ∴集合 A 是集合 B 的子集, 由图易得 a>4. 故答案为:a>4.

点评: 本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断, 以及对数函数的定义域,属于基础题. 4.已知命题 p:|x﹣2|≥2;命题 q:x∈Z.如果“p 且 q”与“? q”同时为假命题,则满 足条件的 x 的集合为 {1,2,3} . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件先求出命题 P:x≥4 或 x≤0.由“p 且 q”与“? q”同时为假命题知 0 <x<4,x∈Z.由此能得到满足条件的 x 的集合. 解答: 解:由命题 p:|x﹣2|≥2,得到命题 P:x﹣2≥2 或 x﹣2≤﹣2,即命题 P:x≥4 或 x≤0; ∵? q 为假命题,∴命题 q:x∈Z 为真翕题. 再由“p 且 q”为假命题,知命题 P:x≥4 或 x≤0 是假命题. 故 0<x<4,x∈Z. ∴满足条件的 x 的集合为{1,2,3}. 故答案为:{1,2,3}. 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活 运用. 5.曲线 y= ﹣2 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先求出函数 y 的导数,函数 y 在点(3,2)处的导数值就是曲线 y=