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江苏省扬州市高邮中学2015届高三上学期10月月考数学(理)试卷



2014-2015 学年江苏省扬州市高邮中学高三(上)月考数学试卷 (理科) (10 月份)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸上. 1.设集合 A={2,3,4},B={2,4,6},若 x∈A 且 x? B,则 x 等于 . 2.在复平面上,复数 z=(﹣2+i)i 的对应的点所在象限是第 象限.

/>3.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P: “x∈A”是 Q: “x∈B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 . 4.已知命题 p:|x﹣2|≥2;命题 q:x∈Z.如果“p 且 q”与“? q”同时为假命题,则满 足条件的 x 的集合为 . 5.曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为 . 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(1)=1,则 f(3) ﹣f(4)= . 7.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含边 界) ,则 的最大值为 .

8.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 +

x

y

的最小值是



9.由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的 轨迹方程为 .

2

2

10.过双曲线

的右焦点 F 和虚轴端点 B 作一条直线,若右顶

点 A 到直线 FB 的距离等于

,则双曲线的离心率 e=



11.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象经过 A(﹣ 则ω的最小值为 .

,﹣2) 、B(

,2)两点,

12.如图,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值是 .

13.若函数 f(x)=min{﹣x+2,log2x},其中 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,则不 等式 f(x)<﹣2 的解集为 .
+

14.定义“正对数” :ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b ③若 a>0,b>0,则
+ + + + b +

,现有四个命题:

b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有: . (写出所有真命题的编号)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 16.已知二次函数 f(x)=ax +bx,f(x+1)为偶函数,函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设集合 A={x|f(x)>0},B={x||x﹣1|<m},若集合 B 是集合 A 的子集,求实数 m 的取值范围.
2

=



17.如图,在半径为 、圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y, (1)按下列要求写出函数的关系式: ①设 PN=x,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠POB=θ,将 y 表示成θ的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值.

18.已知圆 C 经过点 A(1,3) 、B(2,2) ,并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值.

19.已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短轴长为 2,动点 M(2,t) (t>0)在椭圆的准线 上. (Ⅰ)求椭圆的标准方程: (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.
2

20.已知函数 f(x)=2alnx﹣x+ (a∈R,且 a≠0) ;g(x)=﹣x ﹣x+2 (Ⅰ)若 f(x)是在定义域上有极值,求实数 a 的取值范围;

b(b∈R)

(Ⅱ)当 a= 时,若对? x1∈[1,e],总? x2∈[1,e],使得 f(x1)<g(x2) ,求实数 b 的取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) (Ⅲ)对? n∈N,且 n≥2,证明:ln(n! ) <(n﹣1) (n+2)
4

四、附加题 21.已知矩阵 M= ,其中 a∈R,若点 P(1,7)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(15,9) .

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量α.

22.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,P 为 A1B 上的点, ⊥AB. (1)求λ的值; (2)求异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值.

,且 PC

23.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有 二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列和期望 Eξ.

24.已知数列{xn}中,



(Ⅰ)当 p=2 时,用数学归纳法证明 (Ⅱ)是否存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn.

2014-2015 学年江苏省扬州市高邮中学高三 (上) 月考数 学试卷(理科) (10 月份)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸上. 1.设集合 A={2,3,4},B={2,4,6},若 x∈A 且 x? B,则 x 等于 3 . 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 利用 x 与集合 A 和集合 B 的关系确定 x. 解答: 解:∵x∈{2,3,4},∴x=2 或 x=3 或 x=4. ∵x? {2,4,6},∴x≠2 且 x≠4 且 x≠6, ∴x=3. 故答案为:3. 点评: 本题主要考查了元素和集合之间的关系. 2.在复平面上,复数 z=(﹣2+i)i 的对应的点所在象限是第 三 象限. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 高考数学专题. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,求出对应点的坐标,则答案可求. 解答: 解:z=(﹣2+i)i=﹣1﹣2i, ∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2) ,为第三象限的点. 故答案为:三. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P: “x∈A”是 Q: “x∈B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 a>4 . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;元素与集合关系的判断;对数函数的定义 域. 专题: 计算题. 分析: 先利用对数函数的性质求出集合 A,再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之 间的大小关系即可. 解答: 解:∵A={x|x<4}, ∵P: “x∈A”是 Q: “x∈B”的充分不必要条件, ∴集合 A 是集合 B 的子集, 由图易得 a>4. 故答案为:a>4.

点评: 本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断, 以及对数函数的定义域,属于基础题. 4.已知命题 p:|x﹣2|≥2;命题 q:x∈Z.如果“p 且 q”与“? q”同时为假命题,则满 足条件的 x 的集合为 {1,2,3} . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件先求出命题 P:x≥4 或 x≤0.由“p 且 q”与“? q”同时为假命题知 0 <x<4,x∈Z.由此能得到满足条件的 x 的集合. 解答: 解:由命题 p:|x﹣2|≥2,得到命题 P:x﹣2≥2 或 x﹣2≤﹣2,即命题 P:x≥4 或 x≤0; ∵? q 为假命题,∴命题 q:x∈Z 为真翕题. 再由“p 且 q”为假命题,知命题 P:x≥4 或 x≤0 是假命题. 故 0<x<4,x∈Z. ∴满足条件的 x 的集合为{1,2,3}. 故答案为:{1,2,3}. 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活 运用. 5.曲线 y= ﹣2 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先求出函数 y 的导数,函数 y 在点(3,2)处的导数值就是曲线 y= 2)处的切线斜率,再利用两直线垂直,斜率之积等于﹣1 求出 a 的值. 解答: 解:函数 y= =1+ 的导数为 y′= , 在点(3, 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为

∴曲线 y=

在点(3,2)处的切线斜率为﹣ ,

由﹣ ×(﹣a)=﹣1 得,a=﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系,以及两直线垂直 的性质.

6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(1)=1,则 f(3) ﹣f(4)= ﹣1 . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根号函数的奇函数得 f(0)=0,然后再根据 f(x+2)=﹣f(x)和 f(1)=1,求 f (3)即可. 解答: 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0, 又 f(x+2)=﹣f(x) ,f(1)=1, 故 f(3)=f(1+2)=﹣f(1)=﹣1, f(4)=f(2+2)=﹣f(2)=﹣f(0+2)=f(0)=0, ∴f(3)﹣f(4)=﹣1 点评: 本题主要考查函数的奇函数的性质 f(0)=0 和函数的新定义,属于基础题. 7.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含边 界) ,则 的最大值为 9 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,求出其它各点的坐标, 然后利用点的坐标表示出 问题求解即可. 解答: 解:如图, ,把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值

以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,由于菱形 ABCD 的边 长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,故点 A(0,0) ,则 B(2,0) ,C(3, ) ,D(1, ) , M(2, ) . 设 N(x,y) ,N 为菱形内(包括边界)一动点,对应的平面区域即为菱形 ABCD 及其内部区 域. 因为 令 z=2x+ ,则 , =(x,y) ,则 , =2x+ y,

由图象可得当目标函数 z=2x+ y 过点 C(3, )时,z=2x+ y 取得最大值, 此时 =9. 故答案为 9. 点评: 本题主要考查向量在几何中的应用,以及数形结合思想的应用和转化思想的应用, 是对基础知识和基本思想的考查,属于中档题.
x y

8.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 +

的最小值是

4 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由对数的运算性质,lg2 +lg8 =lg2 +lg2 =(x+3y)lg2,结合题意可得,x+3y=1; 再利用 1 的代换结合基本不等式求解即可. 解答: 解:lg2 +lg8 =lg2 +lg2 =(x+3y)lg2, x y 又由 lg2 +lg8 =lg2, 则 x+3y=1, 进而由基本不等式的性质可得, =(x+3y) ( )=2+ ≥2+2=4,
x y x 3y x y x 3y

当且仅当 x=3y 时取等号, 故答案为:4. 点评: 本题考查基本不等式的性质与对数的运算, 注意基本不等式常见的变形形式与运用, 如本题中,1 的代换. 9.由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的 2 2 轨迹方程为 x +y =4 . 考点: 轨迹方程;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设点 P 的坐标为(x,y) ,则可得|PO|,根据∠APB=60°可得∠AP0=30°,判断出 |PO|=2|OB|,把|PO|代入整理后即可得到答案. 解答: 解:设点 P 的坐标为(x,y) ,则|PO|= ∵∠APB=60° ∴∠AP0=30°
2 2

∴|PO|=2|OB|=2 ∴
2 2

=2

即 x +y =4 2 2 故答案为:x +y =4 点评: 本题主要考查了求轨迹方程的问题.属基础题.

10.过双曲线

的右焦点 F 和虚轴端点 B 作一条直线,若右顶

点 A 到直线 FB 的距离等于

,则双曲线的离心率 e= 2



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据三角形面积公式求得 a,b 和 c 的关系式,进而根据 a= 的关系式,进而求得 e. 解答: 解:∵S△ABF= × ∴
2 2

求得 a 和 c

×|FB|= b? |AF|,

=(c﹣a)b
2

∴b +c =7(c﹣a) , 2 整理得 5e ﹣14e+8=0,解得 e=2 故答案为:2 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是找到 a 和 c 的关系,进而求得双 曲线的离心率.

11.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象经过 A(﹣ 则ω的最小值为 .

,﹣2) 、B(

,2)两点,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知得到半个周期的最大值为 ,结合周期公式可得ω的最小值. ,﹣2) 、B( ,

解答: 解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象经过 A(﹣ 2)两点, ∴ 则 ,ω . ,

∴ω的最小值为 故答案为: .



点评: 本题考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,关键是对题意的理解, 是基础题. 12.如图,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值是 ﹣ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由向量的加法,可得 =﹣2(|
2

,将其代入

中,变形可得

|﹣ ) ﹣ ,由二次函数的性质,计算可得答案. ,

解答: 解:根据题意,O 为圆心,即 O 是 AB 的中点,则 则

≥﹣ , 即 故答案为﹣ . 点评: 本题考查数量积的运算,关键是根据 O 是 AB 的中点,得到 的最小值转化为一元二次函数的最小值问题. ,将求 的最小值是﹣ ;

13.若函数 f(x)=min{﹣x+2,log2x},其中 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,则不 等式 f(x)<﹣2 的解集为 .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;数形结合.

分析: 先根据“min{p,q}表示 p,q 两者中的较小的一个”求得函数 f(x) ,再按分段函 数的图象解得用满足 f(x)<﹣2 时 x 的集合. 解答: 解:根据 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者, 得到函数 f(x)=min{﹣x+2,log2x}的图象,如图所示:

当 x= 或 4 时,y=﹣2,由图象可知: f(x)<﹣2 的解集为 故答案为: 点评: 本题考查了其他不等式的解法,是一道新定义题,首先要根据新定义求得函数图象, 再应用函数图象解决相关问题,这类问题的解决,正确转化是关键.
+



14.定义“正对数” :ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b ③若 a>0,b>0,则
+ + + + b +

,现有四个命题:

b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有: ①③④ . (写出所有真命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 对于①,由“正对数”的定义分别对 a,b 从 0<a<1,b>0;a≥1,b>0 两种情况 进行推理; 对于②,通过举反例说明错误;对于③④,分别从四种情况,即当 0<a<1,b>0 时;当 a ≥1,0<b<1 时;当 0<a<1,b≥1 时;当 a≥1,b≥1 时进行推理. 解答: 解:对于①,当 0<a<1,b>0 时,有 0<a <1,从而 ln (a )=0,bln a=b×0=0, + b + ∴ln (a )=bln a; b + b b + 当 a≥1,b>0 时,有 a >1,从而 ln (a )=lna =blna,bln a=blna, + b + ∴ln (a )=bln a; + b + ∴当 a>0,b>0 时,ln (a )=bln a,命题①正确;
b + b +

对于②, 当 a=
+ +

时, 满足 a>0, b>0, 而 ln(ab) =ln =0, ln a+ln b=ln +ln 2=ln2,
+

+

+

+

+

+

+

∴ln (ab)≠ln a+ln b,命题②错误; + + 对于③,由“正对数”的定义知,ln x≥0 且 ln x≥lnx. 当 0<a<1,0<b<1 时,ln a﹣ln b=0﹣0=0,而 ln ∴ 当 a≥1,0<b<1 时,有 ﹣lnb, ∵lnb<0, ∴ 当 0<a<1,b≥1 时,有 0< ∴
+ + + + +

≥0,

b. ,ln a﹣ln b=ln a﹣0=ln a,而 ln
+ + + + +

=ln

=lna

b. ,ln a﹣ln b=0﹣ln b=﹣ln b,而 ln b. ,则 b,命题③正确; ,
+ + + + + +

=0,

当 a≥1,b≥1 时,ln a﹣ln b=lna﹣lnb=ln ∴当 a>0,b>0 时,

b.

对于④,由“正对数”的定义知,当 x1≤x2 时,有
+

当 0<a<1,0<b<1 时,有 0<a+b<2,从而 ln (a+b)<ln 2=ln2, + + ln a+ln b+ln2=0+0+ln2=ln2, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + 当 a≥1,0<b<1 时,有 a+b>1,从而 ln (a+b)=ln(a+b)<ln(a+a)=ln2a, + + ln a+ln b+ln2=lna+0+ln2=ln2a, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + 当 0<a<1,b≥1 时,有 a+b>1,从而 ln (a+b)=ln(a+b)<ln(a+b)=ln2b, + + ln a+ln b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b, + + + ∴ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. + + + 当 a≥1,b≥1 时,ln (a+b)=ln(a+b) ,ln a+ln b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab) , ∵2ab﹣(a+b)=ab﹣a+ab﹣b=a(b﹣1)+b(a﹣1)≥0, ∴2ab≥a+b,从而 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2. 命题④正确. ∴正确的命题是①③④. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了新定义,解答的关键是对“正对数”定 义的理解与应用,考查了学生的运算能力和逻辑推理能力,是压轴题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
+ + +

15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围.

=



考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理把原等式转化为关于 A 的等式,求得 tanA 的值,进而求得 A. (Ⅱ) 先根据三角形三边的关系求得 b+c 的一个范围, 进而利用余弦定理求得 b+c 的关系式, 利用基本不等式求得 b+c 的范围,最后取交集即可. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理知 ∴sinA= cosA,即 tanA= ∵0<A<π, ∴A= . , = = ,

(Ⅱ)由已知:b>0,c>0,b+c>a=6, 由余弦定理得 36=b +c ﹣2bccos 且仅当 b=c 时取等号) , ∴(b+c) ≤4×36,又 b+c>6, ∴6<b+c≤12, 即 b+c 的取值范围是(6,12]. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.结合了基本不等式知识的考查,综合 性较强. 16.已知二次函数 f(x)=ax +bx,f(x+1)为偶函数,函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设集合 A={x|f(x)>0},B={x||x﹣1|<m},若集合 B 是集合 A 的子集,求实数 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出 f(x+1)的解析式,再根据 f(x+1)为偶函数,列出相应的等式,再 结合函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切,导数即斜率,切点在曲线上; (2)先解出集合 A,讨论参数 m 的取值,分别验证是否符合集合 B 是集合 A 的子集. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x+1)=a(x+1) +b(x+1)=ax +(2a+b)x+(a+b)为偶函数, 2 ∴2a+b=0? b=﹣2a…(2 分)f(x)=ax ﹣2axf'(x)=2ax﹣2a
2 2 2 2 2 2

=(b+c) ﹣3bc≥(b+c) ﹣ (b+c) = (b+c) , (当

2

2

2

2

设 f(x)与 y=x 相切于 P(x0,x0) ,则



.…(6 分)

(运用判别式处理同样给分) (Ⅱ)A={x|f(x)>0}={x|0<x<2}B={x||x﹣1|<m} ∵B? A∴①当 m≤0 时,有 B=? ,满足 B? A…(10 分)

②当 m>0 时,B={x|1﹣m<x<1+m}要使 B? A,则

综合①②,要使 B? A,实数 m 的取值范围为(﹣∞,1].…(14 分) 点评: 本题主要考查偶函数的性质,导数与切线,集合间的关系,属于中档题. 17.如图,在半径为 、圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y, (1)按下列要求写出函数的关系式: ①设 PN=x,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠POB=θ,将 y 表示成θ的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;弧长公式;两角和与差的正弦函数. 专题: 综合题. 分析: ( 1)①通过求出矩形的边长,求出面积的表达式; ②利用三角函数的关系,求出矩形的邻边,求出面积的表达式; (2)利用(1)②的表达式,化为一个角的一个三角函数的形式,根据θ的范围确定矩形面 积的最大值. 解答: 解: (1)①因为 ON= 所以 y=x( ②因为 PN= sinθ,ON= ) ,OM= ,所以 MN= , (2 分)

x∈(0, ) . (4 分) ,OM= (6 分) , ,

所以 MN=ON﹣OM= 所以 y= sinθ 即 y=3sinθcosθ﹣
2

sin θ,θ∈(0, sin θ=
2

) (8 分) )﹣ , (12 分)

(2)选择 y=3sinθcosθ﹣

sin(2θ+

∵θ∈(0, 所以

)∴ . (14 分)

(13 分)

点评: 本题是中档题,考查函数解析式的求法,三角函数的最值的确定,三角函数公式的 灵活运应,考查计算能力,课本题目的延伸.如果选择①需要应用导数求解,麻烦,不是命 题者的本意. 18.已知圆 C 经过点 A(1,3) 、B(2,2) ,并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若 ? =12,求 k 的值.

考点: 圆的标准方程;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设圆 C 的标准方程为 (x﹣a) +(y﹣b) =r .由圆 C 被直线平分可得 3a﹣2b=0, 结合点 A、B 在圆上建立关于 a、b、r 的方程组,解出 a、b、r 的值即可得到圆 C 的方程; (2) (I)由题意,得直线 l 方程为 kx﹣y+1=0,根据直线 l 与圆 C 有两个不同的交点,利 用点到直线的距离建立关于 k 的不等式,解之即可得到实数 k 的取值范围; (II)直线 l 方程与圆 C 方程联解消去 y,得(1+k )x ﹣(4+4k)x+7=0.设 M(x1,y1) 、 N (x2, y2) , 利用根与系数的关系、 直线 l 方程和向量数量积的坐标运算公式, 化简 得到关于 k 的方程,解之即可得到 k 的值. 解答: 解: (1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ∵圆 C 被直线 m:3x﹣2y=0 平分,∴圆心 C(a,b)在直线 m 上,可得 3a﹣2b=0…①, 又∵点 A(1,3) 、B(2,2)在圆上,∴ 将①②联解,得 a=2,b=3,r=1. ∴圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣3) =1; (2)过点 D(0,1)且斜率为 k 的直线 l 方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0, (I)∵直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N, ∴点 C(2,3)到直线 l 的距离小于半径 r, 即 ,解之得 <k< ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

=12

…②,

(II)由

消去 y,得(1+k )x ﹣(4+4k)x+7=0.

2

2

设直线 l 与圆 C 有两个不同的交点坐标分别为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 可得 x1+x2= ,x1x2= ,

∴y1y2=(kx1+1) (kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1=

2

+

+1,



?

=

+(

+

+1)=12,解之得 k=1.

点评: 本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运 算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识,属于中档题. 19.已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短轴长为 2,动点 M(2,t) (t>0)在椭圆的准线 上. (Ⅰ)求椭圆的标准方程: (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)把 M 的横坐标代入准线方程得到一个关系式,然后由短半轴 b 和 c 表示出 a, 代入关系式得到关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,进而得到 a 的值,由 a 和 b 的值 写出椭圆的标准方程即可; (2)设出以 OM 为直径的圆的方程,变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径,由以 OM 为 直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长, 过圆心作弦的垂线, 根据垂径定理得到垂足为中 点,由弦的一半,半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形,利用点到直线的距 离公式表示出圆心到 3x﹣4y﹣5=0 的距离 d,根据勾股定理列出关于 t 的方程,求出方程的 解即可得到 t 的值,即可确定出所求圆的方程; (3)设出点 N 的坐标,表示出 , , , ,由 ⊥ ,得到两向量的数量积为 0, ⊥ ,同理根据平面向量的数

利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式,又

量积的运算法则得到另一个关系式,把前面得到的关系式代入即可求出线段 ON 的长,从而 得到线段 ON 的长为定值. 解答: 解: (Ⅰ)又由点 M 在准线上,得 =2 故 =2,∴c=1,从而 a=

所以椭圆方程为

+y =1;

2

(Ⅱ)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x﹣2)+y(y﹣t)=0 即(x﹣1) +
2

=

+1,

其圆心为(1, ) ,半径 r= 因为以 OM 为直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离 d= 所求圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =5 (Ⅲ)设 N(x0,y0) ,则 y0) , ∵ 又∵
2 2 2 2

= 所以

= ,解得 t=4

=(x0﹣1,y0) ,

=(2,t) ,

=(x0﹣2,y0﹣t) ,

=(x0,

,∴2(x0﹣1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2, ,∴x0(x0﹣2)+y0(y0﹣t)=0,

∴x0 +y0 =2x0+ty0=2, 所以| |= = 为定值.

点评: 此题综合考查了椭圆的简单性质,垂径定理及平面向量的数量积的运算法则.要求 学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为 0,以及椭圆中长半轴的平方等于 短半轴与半焦距的平方和.
2

20.已知函数 f(x)=2alnx﹣x+ (a∈R,且 a≠0) ;g(x)=﹣x ﹣x+2 (Ⅰ)若 f(x)是在定义域上有极值,求实数 a 的取值范围;

b(b∈R)

(Ⅱ)当 a= 时,若对? x1∈[1,e],总? x2∈[1,e],使得 f(x1)<g(x2) ,求实数 b 的取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) (Ⅲ)对? n∈N,且 n≥2,证明:ln(n! ) <(n﹣1) (n+2) 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先根据对数函数求出定义域,再求导,得到 x ﹣2ax+1=0 有两不等正根,继 而求出 a 的范围. (Ⅱ)等价于 fmax(x)<gmax(x) ,分别利用导数求出最值即可. (Ⅲ)先求导,得到故 f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,得到对? n∈N,且 n≥2, 总有 2lnm≤m﹣ <m,化简整理得到结论. 解答: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,要 f(x)在定义域内有极值, 则 f′(x)= ﹣1﹣ = =0,
2 4

∴x ﹣2ax+1=0 有两不等正根, ∴ 解得 a>1, 故实数 a 的取值范围(1,+∞) (Ⅱ)a= 时, ∴f(x)=2 lnx﹣x+ ,

2

∵对? x1∈[1,e],总? x2∈[1,e],使得 f(x1)<g(x2) , 则只需 fmax(x)<gmax(x) , 由 f′(x)= >0,

解得 ﹣1<x< +1, 得函数 f(x)在(1, +1)上递增,在( 处有最大值; ∴fmax(x)=f( +1)=2 又 g(x)在(1,e) , ln(

+1,e)上递减,所以函数 f(x)在 x=

+1

)﹣2;

故 gmax(x)=g(1)=2 b﹣2 ∴2 ln( )﹣2>2 b﹣2, ∴b>ln( +1) (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)=2lnx﹣x+ ,

f′(x)=

≤0 恒成立,

故 f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减, 故当 x≥1 时,f(x)=2lnx﹣x+ ≤f(1)=0 即 2lnx≤x﹣ , 所以对? n∈N,且 n≥2,总有 2lnm≤m﹣ <m, 故有 2(ln2+ln3+…+lnn)<1+2+3+…+n, ∴2ln(n!)<
4



∴ln(n! ) <(n﹣1) (n+2) 问题得以证明. 点评: 本题主要考查导数函数的单调性最值的关系,本题属于中档题. 四、附加题 21.已知矩阵 M= ,其中 a∈R,若点 P(1,7)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(15,9) .

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量α. 考点: 矩阵与向量乘法的意义;特征值与特征向量的计算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据矩阵的变换列出方程式 求出实数 a 的值. 求出 m 的矩阵后写出其特征多项 式,令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值,再根据特征值解出特征向量. 解答: 解: (1)由 = ,∴1+7a=15? a=2. (4 分)

(2)由(1)知 M=
2

,则矩阵 M 的特征多项式为

=(λ﹣1)

(λ﹣1)﹣4=λ ﹣2λ﹣3, 令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为﹣1 与 3. (6 分) 当λ=﹣1 时, ? x+y=0,

∴矩阵 M 的属于特征值﹣1 的一个特征向量为

; (8 分)

当λ=3 时,

? x=y,

∴矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为

. (10 分)

点评: 本题主要考查矩阵与向量的乘法,和矩阵特征值及特征向量的求法.要求综合能力, 计算能力,以及矩阵的很好理解. 22.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,P 为 A1B 上的点, ⊥AB. (1)求λ的值; (2)求异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值. ,且 PC

考点: 共线向量与共面向量;用空间向量求直线间的夹角、距离. 专题: 计算题.

分析: (1)设出正三棱柱的棱长,以底面上一边的中点为原点建立坐标系,写出要用的各 个点的坐标,得到向量的坐标,根据向量的垂直关系,要求的实数的值. (2)在两条异面直线上构造两个向量,根据两个向量的坐标,写出两个向量的夹角的余弦, 是一个负值,根据异面直线所成的角是不大于 90°的角,得到余弦值. 解答: 解: (1)设正三棱柱的棱长为 2,建立如图所示的直角坐标系, 则:A(0,﹣1,0) , ,C1(0,1,2) , ∴ ∵PC⊥AB, ∴ , , , , , , ,C(0,1,0) ,A1(0,﹣1,2) ,

(2)由(1)知:







∴异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值是



点评: 本题考查用空间向量解决立体几何中的夹角和距离的问题,是一个典型的题目,解 题的关键是要用的点的坐标比较多,写起来比较繁琐,注意不要出错. 23.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有 二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列和期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量及其分布列;等可能事件的概率;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题. 分析: (1)先求中奖的对立事件“没中奖”的概率,求“没中奖”的概率是古典概型.

(2)ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60,用古典概型分别求概率,列出分布列,再求 期望即可. 解答: 解:解法一: (Ⅰ)P=1﹣ =1﹣ = ,即该顾客中奖的概率为 .

(Ⅱ)ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60(元) . 且 P(ξ=0)= = ,P(ξ=10)= = ,

P(ξ=20)=

=

,P(ξ=50)=

=



P(ξ=60)= 故ξ有分布列: ξ 0 10 20 50 60 P

=

从而期望 Eξ=0× +10× +20×

+50×

+60×

=16.

解法二: (Ⅰ)P= = = ,

(Ⅱ)ξ的分布列求法同解法一 由于 10 张券总价值为 80 元,即每张的平均奖品价值为 8 元,从而抽 2 张的平均奖品价值 E ξ=2×8=16(元) . 点评: 本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望,及利用概率知识 解决问题的能力.

24.已知数列{xn}中,



(Ⅰ)当 p=2 时,用数学归纳法证明 (Ⅱ)是否存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn. 考点: 用数学归纳法证明不等式. 专题: 证明题. 分析: (Ⅰ)求出 p=2 时的表达式,利用数学归纳法的证明步骤,证明不等式, (1)验证 n=1 不等式成立; (2)假设 n=k 时成立,证明 n=k+1 时成立. (Ⅱ) (1)验证 n=1 不等式成立; (2)假设 n=k 时成立,证明 n=k+1 时成立.

解答: 证明:由 x1=1,

知,xn>0(n∈N ) ,

*

(Ⅰ)当 p=2 时, (1)当 n=1 时,x1=1< (2)假设当 n=k 时,

, ,命题成立. ,

则当 n=k+1 时, 即 n=k+1 时,命题成立. 根据(1) (2) , (n∈N ) . (4 分)
* *



(Ⅱ)用数学归纳法证明,xn+1>xn(n∈N ) . (1)当 n=1 时, >1=x1,命题成立.

(2)假设当 n=k 时,xk+1>xk, ∵xk>0,p>0, ∴ ,

则当 n=k+1 时, 即 n=k+1 时,命题成立.



根据(1) (2) ,xn+1>xn(n∈N ) . (8 分) 故不存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn. (10 分) 点评: 本题是中档题,考查数学归纳法的证明步骤,注意证明的过程两步骤缺一不可,注 意形式的一致性,考查计算能力.

*



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