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黑龙江省海林林业局第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文



高二上学期期末考试数学试题(文)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标为( A. (1,0) B. ( ) C. ( 0, )

1 ,0) 2

1 8

D. ( 0,

1 ) 16

2、某学校共有老、中、青教职工 215 人,其中青年教职工 80 人,中年教职工人数是老年教职工人数的 2 倍。为了解教职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 16 人,则该 样本中的老年教职工人数为( ) A.6 B.8 C.9 D.12 3、命题“ ?x ? R ,都有 log2 x ? 0 成立”的否定为 A. ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立 C. ?x ? R ,都有 log2 x ? 0 成立 ( ) B. ?x0 ? R ,使 log2 x ? 0 成立 D. ?x ? R ,都有 log2 x ? 0 成立

4、阅读程序框图 2,若输出的 S 的值等于 22,那么在程序框图中的 判断框内应填写的条件是( ) A.i ? 5 B.i ? 6 C.i ? 6 D.i ? 7 5.某学校举办校园演讲大赛,下图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图, 要求去掉一个最高分和一个最低分后,求出所剩数据的平均数和方差为( )

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,4

D.85,1.6

6.国家物价部门在 2015 年 11 月 11 日那天,对某商品在网上五大购物平台 的一天销售量及其价格进行调 查,5 大购物平台的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下 表所示: 价格 x 销售量 y 9 9.5 10 10.5 11 11 10 8 6 5 由散点图可知,销售 量 y 与价 格 x 之间有明显的线性相关关系,已知其线性回归直 线方程是: ) y ? ?3.2 x ? a ,则 a =( A.24 B.35.6 C.40 D.40.5

5 y2 ? 1 共同焦点,它们的离心率之和为 ,则此椭圆方程为( 7、已知椭圆与双曲线 x 2 3
2



A.

x2 y2 ? ?1 4 8

B.

x2 y2 ? ?1 12 16

C.

x2 y2 ? ?1 8 4

D.

x2 y2 ? ? 1。 16 12

8、某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测(单位: 据此估计这批产品的中位数为( ) A. 20 C.22.75 B. 22.5 D.25

),下图是检测结果的频率分布直方图,

9. 一位同学家里 订了一份报纸, 送报人每天都在在早上 5: 20~ 6: 40 之间将报纸送达, 该同 学的爸爸需要早上 6:00~7:00

1

之间出发去上班,则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是(

)

3 A. 9

B.

5 6

7 C. 18

1 D. 2

10、已知P是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一个动点,则点P到直 线 l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 和 l 2 : x ? 2 ? 0 的距离 之和的最小值是( A.1 B.2 11、下图是函数 ① ③ 是函数 在 ) C.3 的导函数 的极小值点; 处切线的斜率小于零; ) B.①② C.②③ D.③④ D.4 的图象,给出下列命题: ② ④ 是函数 在区间 的极小值点; 上单调增。

则正确命题的序号是( A. ①④

12、若点 O (0, 0) 和点 F ( 3,0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和 右焦点, A 为右顶点,点 M 为双 a2
)

曲线右支上的任意一点,则 OM ? AM 的取值范围为 ( A. ?? 1,??? B. (0,??) C. ?? 2,???

D. ?0,???

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.16、有下列四个命题: ①命题“面积相等的三角形全等”的否命题命题“; ②若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ③命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题;
2 ④命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题.

其中是真命题的是 14 、 已 知 函 数 _____________.

(填上你认为正确的命题的序号). 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 是 , 则

15、分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字 之和为偶数的概率是____________ 16 、已知 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 M 在椭圆 C 上,线段 MF2 与圆 a2 b2
.

x 2 ? y 2 ? b 2 相切于点 E ,且点 E 为线段 MF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 10 分)已知命题 p : x ? 8x ? 20 ? 0, q : x ? 2x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ,
2 2 2

2

若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

18、 (本小题满分 12 分)2015 年“国庆节”期间,高速公路车辆较多,交警部门通过路面监控装置抽样调 查某一山区路段汽车行驶速度,采用的方法是:按到达监控点先后顺序,每隔 50 辆抽取一辆,总共抽取 120 辆,分别记下其行车速度,将行车速度(km/h)分成七段[60,65) ,[65,70) ,[70,75) ,[75,80) , [80,85) ,[85,90) ,[90,95)后得到如图所示的频率分布直方图,据图解答下列问题: (Ⅰ)求 a 的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法? (Ⅱ)求这 120 辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到 0.1) ;
频率 组距

a
0.050 0.045 0.015 0.010

60

65 70 75 80 85

90

95 车速(km/h)

19、(本小题满分 12 分)某位同学在 2015 年 5 月进行社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的 某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了 5 月 1 日至 5 月 5 日的白天平均气温 (°C)与 该奶茶店的这种饮料销量 y(杯),得到如下数据: 日 期 5月1日 9 23 5月2日 10 25 5月3日 12 30 5月4日 11 26 5月5日 8 21

平均气温 (°C) 销量 y(杯)

(1)若从这五组数据中随机抽出 2 组,求抽出的 2 组数据不是相邻 2 天数据的概率; (2)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 .

(参考公式:

20、 (本小题满分 12 分)如图,已知直线 l 与抛物线 y =2px 相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x y A
3

2

轴相交于点 M(1,0)线段 AB 中点坐标(2,1) (1)求抛物线方程; (2)求△AOB 的面积

21. (本题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , 过点 F 1且 2 a b 2

垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点(0,2)是否存在直线 l 与椭圆交于不同的A,B两点.使 OA ? OB (O 为坐标原点) .若 存在求直线方程,若不存在说明理由.

22、(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (1)若 a ? 0 ,试判断 f(x)在定义域内的单调性; (2)若

a ?1 x

f ?x? ? x 2 ? 1 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

4

高二上学期期末考试 数学试题(文)答案 一.选择题 1、C 2、C 3、A 4、C 5、D 二、填空题 13、①② 14、4 15、 6、C 7 、D 8、B 9、B 10、D 11、A 12、D

1 3

16、

5 3

三、解答题 17.解:由 x ? 8x ? 20 ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 10 ,
2

??????2 分

即命题 p 对应的集合为 A ? {x x ? ?2 或 x ? 10} , 由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ? [ x ? (1 ? m)] ? [ x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) ? x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m(m ? 0) 即命题 q 对应的集合为 B ? {x x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m, m ? 0}, ??????5 分 因为 p 是 q 的必要不充分条件,知 B 是 A 的真子集. ??????7 分

?m ? 0 ? 故有 ?1 ? m ? ?2 ,解得 m ? 9 . ?1 ? m ? 10 ?

即实数 m 的取值范围是 ?9,??? ??10 分

18、解: (I)由图知: (a+0.05+0.045+0.015+0.015+0.010+0.010)×5=1,∴a=0.055,该抽样方法是系 统抽样; ??????4 分 (II)∵前三个小矩形的面积和为 0.010×5+0.015×5+0.045×5=0.35,第四个小矩形的面积为 0.055× 5=0.275,∴中位数在第四组,设中位数为 75+x,则 0.35+0.055x=0.5? x≈2.7, ∴数据的中位数为 77.7; ??????8 分 平均数: 62.5 × 0.01 × 5+67.5 × 0.015 × 5+72.5 × 0.045 × 5+77.5 × 0.055 × 5+82.5 × 0.050 × 5+87.5 × 0.015×5+92.5×0.01×5=77.625 ??????12 分 19、1)解:设“选取的 2 组数据不是相邻 2 天数据”为事件 . ?????1

分 所有基 本事件(m,n) (其中 m,n 为 5 月份的日期数)有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 10 种. ??????3 分 事件 包括的基本事 件有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,5) ,共 6 种. ??????6 分

P(A)=3/5

(2)解:由数据,求得



???9 分

5

, ∴ y 关于 x 的线性回归方程为
2



??????12 分

20、解: (1)y1 = 2p x1 ① y22= 2p x2, ①两式相减:y12- y22= 2p x1- 2px2 得 (y1+y2 ) k AB =2P 代入解得 p=1 ∴抛物线方程 y = 2x 得
2

??????2 分

??????5 分 ??????6 分

(2)直线 AB 方程 x = y + 1,代入抛物线方程 y 2 ? 2 x 得

y2 ? 2y ? 2 ? 0

① ??????8 分

y1、y2 是此方程的两根,y1+y2 = 2 ,y1y2 =-2,
于是 S△AOB =

1 1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 3 , | OM | |y1-y2| = 2 2
??????12 分

∴△AOB 的面积值 3 。 21. (本题满分 12 分)

e?
解: (Ⅰ)由已知得

c 2 2b 2 ? 2 ? a 2 , a 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1

??????3 分

x2 ? y2 ? 1 2 所以椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)⑵设直线 l 的方程为:y=kx+2, A?x1 , y1 ?

??????4 分

B?x2 , y2 ? ,联立

? x2 ? ? y2 ? 1 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ,消去y得: ?2 ? y ? kx ? 2 ?

?

?

??????6 分

? ?? ? 0 ? ? 8k 3 ? ? k2 ? 则 ? x1 ? x 2 ? 2 2 1 ? 2k ? 6 ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2k 2 ?
? OA ? OB, ? OA ? OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 , k 2 ? 5,

??????8 分

k ?? 5

?l的方程为y ? ? 5x ? 2

??????12 分

6

22 、 (1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),且.
'

f ' ?x ? ?

1 a x?a ? 2 ? 2 x x x

??????3 分 ??????5 分

∵ a ? 0 ,∴ f ?x? ? 0 ,故 f ?x ? 在(0,+∞)上是单调递增函数.
2 (2)∵ f ?x? ? x ? 1 ,∴

ln x ?

a ?1 ? x2 ?1 3 x .又 x ? 0 ,∴ a ? x ln x ? x

??????7 分

令 g ?x? ? x ln x ? x 3 , h?x? ? g ' ?x? ? 1 ? ln x ? 3x 2

h ' ?x ? ?

1 1 ? 6x ? 6x ? x x

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ??????9 分 ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g (1)=-1,∴ 当 a≥-1 时, f ?x? ? x 2 ? 1 在(1,+∞ )上恒成立. 那 a 的取值范围是[-1,+∞). ??????12 分

7



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