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数列求和的基本方法和技巧(学生版)



数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ?

a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2

n ? n ? 1? 2
2

4、 4、 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 5、 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
3 3 3 3

1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

1 2 2 n ? n ? 1? 4

[例 1] 已知 x ? 解:

1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. 2

[例 2]求 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 99 ? 100 的和。
2 2 2 2 2 2 2 2

解:

练习:1.已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? n?n ? 1? ,求前 n 项和 S n

第 1 页

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于 求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

解:

[例 4] 求数列 解:

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练习:1.求:Sn=1+5x+9x +······+(4n-3)x 2. 求数列

2

n-1

1 3 5 2n ? 1 , , ,?, n ,? 的前 n 项的和。 2 4 8 2

第 2 页

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列, 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89 ? 的值 解:

练习: 1. 已知 lg(xy)=a,

S ? lg x n ? lg( x n?1 y) ? lg( x n?2 y 2 ) ? ? ? lg( x 2 y n?2 ) ? lg( xy n?1 ) ? lg y n ,求 S.
2.设 f ? x ? ?

4x ? 1 ? ,求 S ? f ? ?? x 4 ?2 ? 1999 ?

? 2 ? ? 1998 ? f? ? ?? f ? ? 的值 ? 1999 ? ? 1999 ?

第 3 页

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可 分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 解:

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? (3n ? 2) ,… a a a

[例 7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:

练习:1.求数列 1 、 2 、 3 、 4

1 2

1 4

1 8

1 、 ? 的前 n 项的和。 16

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每 项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项 分解(裂项)如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? (2) ? ? cos n cos(n ? 1)

第 4 页

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4)

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

( 2n) 2 1 1 1 (5) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
(6)

1 a? b

?

1 ( a ? b) a?b

(7) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)

(8) an ? Sn ? S n ?1 [例 8] 求和: (1).

? n ? 2?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1? 1 1 1 1 ? ? ??? ?3n ? 1??3n ? 1? 2 ? 5 5 ? 8 8 ? 11 1 1 1 1 ? ? ??? ?2n ? 1??2n ? 3? 1? 5 3 ? 7 5 ? 9

(2).

(3).

第 5 页

[例 9] 求数列 解:

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

练习:1.求

1 1 1 1 ? ? ? 的和。 3 15 35 63

2. Sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? ,求 S n 。 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n ? n ? 1?? n ? 2 ?

3.求和 S ?

1 1 1 1 ? ? ??? ?3n ? 2??3n ? 1? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 11
2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列 {bn} ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1

4. 在数列 {an} 中, an ? 的前 n 项的和.

第 6 页

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在 求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 10] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:

[例 11] 在各项均为正数的等比数列中,若

a5 a6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值.
解:

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数 列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 12] 求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ??
n个1

解:

第 7 页

[例 13] .求数列

1 1 1 , , ?, ,? 的前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ??n ? 1?

练习: 1.求 5,55,555,…,的前 n 项和。 2. 求 1,1 ?

1 1 1 1 1 1 ,1 ? ? ,?,1 ? ? ? ? ? n?1 ,? 的前 n 项和 2 2 4 2 4 2

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