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课改区2010届高三上学期第四次检测(数学理)



2010 届高三上学期数学理科测试(4)
[新课标人教版 命题范围 三角函数与三角恒等变换 新课标人教版] 新课标人教版 第一章、第三章) (必修 4 第一章、第三章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名.考号.考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题 和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

4 1 ,则 tan(α + π ) 的值是 3 4 1 A.-7 B. C.7 7 3 2.已知 cos(π + x ) = , x ∈ (π ,2π ) ,则 sin x = 5 3 4 3 A. B. C. 5 5 5
1.已知 tan α = 3.下列命题中真命题是 A. y = sin 4 x cos 4 x 的最小正周期是 π ; B.终边在 y 轴上的角的集合是 {x x =

( D.



1 7
( )

D.

4 5
( )

kπ , k ∈ Z} ; 2

C.在同一坐标系中, y = sin x 的图象和 y = x 的图象有三个公共点; D. y = sin( x

π
2

) 在 [0, π ] 上是减函数.
( )

4.函数 y = sin 2 x + sin x cos x 的最小正周期 T= A.2π 5.函数 y = 2 cos ( x +
2

B.π

C.

π
2

D.

π
3
( )

π
4

) 1 的一个单调递增区间是
B. (

4 4 4 sin θ + cos θ 的值为 6.已知 tan θ = ,则 3 sin θ cos θ

A. (

π 3π
2 , 2

)

π 3π
,

)

C. (

π π
2 2 ,

)

D. (

π π

, ) 4 4
( )

A.

1 3

B.

1 3

C.7

D. 7 ( D. )

7.已知 α 是第二象限角,且 sin α = A.

24 7

B.

24 7

3 ,则 tan 2α = 5 7 C. 24
2

7 24


8.设函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x 2 sin x + 1( x ∈ R ) ,则 f ( x ) 的最小正周期为 (
[来源:学科网]

A.2π

B. π

C.

π π
2

D.

π
3

9.将函数 y = cos 2 x 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,所得图象的函数解析式是 A. y = cos(2 x + C. y = cos(2 x +

6

个单位长度,再把所得图像向上平移 1 ( )

π π
6

) +1 ) +1

B. y = cos(2 x D. y = cos(2 x

π π
3 6

) +1 ) +1

3

π 3π π π 10.令 a = tan θ ,b = sin θ ,c = cos θ ,若在集合 θ < θ < , θ ≠ 0 , , 中,给 θ 取 4 4 4 2
一个值, a, b, c 三数中最大的数是 b ,则 θ 的值所在范围是 ( )

π π A. ( , ) 4 2
11. 已知函数 f ( x ) =

B. (0,

π ) 2

C. (0 ,

3π ) 4

π 3π D. ( , ) 2 4


1 + cos 2 x 4 sin(

π

2
2

+ x)

x x 则常数 a 的值为 ( a sin cos(π ) 的最大值为 2, 2 2
C. ± 15
2

A. 15

B. 15

D. ± 10 ( D. )

12.已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ 2 cos θ = A.

4 3

B.

5 4

C.

3 4

4 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

[来源:学#科#网]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.把函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸 .

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得函数图象的解析式为

14. 若角 α 的始边为 x 轴非负半轴, 顶点是原点, P ( 4, 3) 为其终边上一点, cos 2α 的 点 则 值为 .

15.已知 f ( x ) = cos 为 .

3x 3x x x π cos sin sin 2 sin x cos x ,当 x ∈ , π 时 f (x) 的零点 2 2 2 2 2

16. 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ), ( A > 0, ω > 0, < 示,则函数 f ( x ) 的解析式为 .

π
2

, x ∈ R ) 的图象的一部分如下图所

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图, A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆 O 与 x

3 4 轴正半轴的交点 ,点 A 的坐标为 ( , ) ,三角形 5 5 AOB 为直角三角形. (1)求 sin ∠COA , cos ∠COA 的值; (2)求 cos ∠COB 的值.
[来源 学 科 网 来源:学 科,网 来源 学,科 网] 来源 学 科 网

[来源:学_科_网]

y
B O

3 4 A( , ) 5 5 C

x

18. (本小 题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 sin(π x ) cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 π , π 上的最大值和最小值. 6 2

19. (本小题满分 12 分)

[来源:Z.xx.k.Com]

已知函数 f ( x) = 2 sin x cos x 2 cos 2 x + 1 , (1)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (2)若 f (θ ) =

3 π ,求 cos 2 2θ 的值. 5 4

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = 3 cos2x+sin x cos x- (1)求 f (x ) 的最小正周期; (2)求 f (x ) 的单调递增区间. 3 2 ;

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) =

2 sin x cos x +

2 cos 2 x . 2

(1)在给出的直角坐标系中画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像; (2)根据画出的图象写出函数 y = f (x ) 在 [0, π ] 上的单调区间和最值.

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=cos(2x+

π
3

)+sin 2 x.

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为 ABC 的三个内角,若 cosB=

1 C 1 ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 3 4

[来源:学科网]

参考答案
一、选择题

4 1 +1 tan α + tan π 1 1 3 4 = 1.B;解析: tan(α + π ) = = . 1 4 4 7 1 tan α tan π 1 ( ) × 1 4 3 3 3 3 2.B;解析:∵ cos(π + x) = ,∴ cos x = ,即 cos x = ;又 x ∈ (π , 2π ) , 5 5 5 4 2 ∴ sin x = 1 cos x = ; 5
3.A;解析:

y = sin 4 x cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 2 x cos 2 x) = sin 2 x cos 2 x = cos 2 x ,故
最小正周期为 T = π . 4.B;解析: y = sin x + sin x cos x =
2

1 cos 2 x 1 + sin 2 x 2 2

=

1 1 2 π 1 (sin 2 x cos 2 x) + = sin(2 x ) + , 2 2 2 4 2

∴最小正周期 T=π. 5.B;解析:∵ y = 2 cos ( x +
2

π

) 1 = cos 2( x + ) = cos(2 x + ) = sin 2 x , 4 4 2

π

π

∴找原函数的单调递增区间,就是找 y = sin 2 x 的单调递减区间; 而 y = sin 2 x 在区间 (

π 3π
4 , 4

) 上是减函数,

∴选 B.

4 +1 sin θ + cos θ tan θ + 1 3 6.C;解析: = = =7. sin θ cos θ tan θ 1 4 1 3 3 4 7.B;解析:由 α 是第二象限角且 sin α = 得 cos α = ; 5 5 24 7 2 2 ∴ sin 2α = 2 sin α cos α = , cos 2α = cos α sin α = ; 25 25 sin 2α 24 ∴ tan 2α = = . cos 2α 7
8.B;解析:∵ f ( x ) =

3 sin 2 x + cos 2 xf =x)sin(2 x + x ) ,∴T = π . ( 2 = 2sin(2 + ), 6

π

9 . C ; 解 析 : 将 函 数 y = cos 2 x 的 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 移

π

y = cos 2( x + ) 的图像,即 y = cos(2 x + ) 的图像;再向上平移 1 个单位长度得 6 3

π

π

6

个单位长度得函数

y = cos(2 x + ) + 1 得图像; 3
10. 解析: D; 由已知得 a = tan θ 、 = sin θ 、 = cos θ 中最大的是 b = sin θ ; b c 即

π

sin θ > tan θ , sin θ > cos θ ,

π 3π π π π 3π 又 θ ∈ θ < θ < , θ ≠ 0 , , ;∴ θ ∈ , . 4 4 4 2 2 4

2 cos 2 x x x 1 a 11.C;解析: f ( x) = + a sin cos = cos x + sin x 4 cos x 2 2 2 2 1 a2 1 = + sin(φ + x), (其中 tan φ = ) ; 4 4 a


1 a2 + = 2, 4 4
2

∴ a = ± 15 ;

12.D;解析: sin

θ + sin θ cos θ 2 cos 2 θ =

sin 2 θ + sin θ cos θ 2 cos 2 θ sin 2 θ + cos 2 θ

= 二、填空题

tan 2 θ + tan θ 2 4 + 2 2 4 = = . 4 +1 5 tan 2 θ + 1

[来源:Z|xx|k.Com]

13.y = cos x ; 解析: 把函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

个单位长度, y = sin(2 x + 得

π
2

),

即 y = cos 2 x 的图象,把 y = cos 2 x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变) ,得到 y = cos x 的图象; 14.

7 y ;解析:由三角函数的定义知 sin α = = 25 r
2 2

3 ( 4) + 3
2
[来源:Z.xx.k.Com][来源:学科网 ZXXK]

2

=

3 4 , cos α = ; 5 5

∴ cos 2α = cos α sin α = 15. x =

5π π ;解析: f ( x ) = cos 2 x sin 2 x = 2 cos( 2 x + ) ,令 f ( x ) = 0 , 8 4

16 9 7 = . 25 25 25

得 2 cos(

π

π + 2 x) =0,又Q x ∈ , π , 4 2 3π , 2
∴x=



5π π 9π ≤ + 2x ≤ , 4 4 4

5π 5π ,即函数 f (x ) 的零点是 x = . 4 8 8 π π 2π π = 8 ,∴ ω = , 16. f ( x ) = 2 sin( x + ) ;解析:由图像知 A = 2. T = 8 ,Q T = 4 4 ω 4 ∴ + 2x =

π

∴ f ( x ) = 2sin(

π
4

x +) ; 又图象经过点 (-1, , ∴ 2 sin( 0) x+ ) 4 4

π
4

+) = 0 , < ∵

π
2



| |<

π
2

∴ =

π
4

,

∴ f ( x) = 2sin(

π

π

三、解答题

3 4 3 4 17.解:(1) ∵ A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 x = , y = , r = 1 ; 分) (3 5 5 5 5 x 3 y 4 ∴ sin ∠COA = = , cos ∠COA = = . (…………6 分) r 5 r 5
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(2) ∵三角形 AOB 为直角三角形, ∴ ∠AOB = 90 , 4 3 又由(1)知 sin ∠COA = , cos ∠COA = ; 5 5
0

∴ cos ∠COB = cos(∠COA + 90 ) = sin ∠COA =
o

4 . (…………12 分) 5

18.解: (1)∵ f ( x ) = 2sin (π x ) cos x = 2sin x cos x = sin 2 x , (…………4 分) ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (2)由 (…………6 分)

π
6

≤x≤

π
2



π
3

≤ 2 x ≤ π ,∴

3 ≤ sin 2 x ≤ 1 , (…………9 分) 2

∴ f ( x ) 在区间

3 π π . (……12 分) , 上的最大值为 1,最小值为 2 6 2
2

19.解: (1) f ( x ) = sin 2 x (2 cos x 1) = sin 2 x cos 2 x = ∴当 2 x

2 sin(2 x ) , (…4 分) 4

π

π π 3 = 2kπ + ,即 x = kπ + π ( k ∈ Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ; 4 2 8
(…………6 分)

(2)由 f (θ ) = sin 2θ cos 2θ ,及 f (θ ) = 两边平方得 1 sin 4θ = ∴ cos 2

3 3 得: sin 2θ cos 2θ = , 5 5
(…………10 分)

9 16 ,即 sin 4θ = ; 25 25

16 π π 2θ = cos 4θ = sin 4θ = . 25 4 2
3 2 =

(…………12 分)

20 .解:(1) f (x) = 3 cos2x+sin x cos x- (…………4 分) ∴ f (x ) 的最小正周期 T = π ; (2) 由 2kπ

3 1 π 2 cos 2x + 2 sin 2x = sin(2x+ 3 ),

(…………6 分)

π π π 5π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + (k ∈ Z ) ,得 kπ ≤ x ≤ kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 2 12 12

∴ f (x ) 的单调递增区间为 [ kπ

5π π , kπ + ]( k ∈ Z ) . 12 12

(…………12 分)

21.解: (1) f ( x ) = 分)

2 2 π sin 2 x + cos 2 x = sin(2 x + ) ,列表: 2 2 4

(…………4

x
2x +

0

π π
8 2
1
[来源:Z,xx,k.Com]

π
4

π
4

3π 8

π
0

5π 8 3π 2
-1

7π 8

0

π

[来源:Zxxk.Com]

9π 4

sin(2 x + ) 4

π

2 2

2 2
(…………6 分) (…………9 分)

描点得图像(图像略) ;

函数的最大值是:1 ;函数的最小值是: 1 . 22.解: (1)f(x)=cos(2x+

π 5π π 5 (2)单调增区间: [0, ], [ , π ] ;单调减区间: [ , π ] ; 8 8 8 8

(…………12 分)

π
3

)+sin 2 x.= cos 2 x cos

π
3

sin 2 x sin

π
3

+

1 cos 2 x 1 3 = sin 2 x 2 2 2
(…………4 分)

∴函数 f(x )的最大值为

1+ 3 ,最小正周期 π . 2

(…………6 分)

(2)f(

C 1 3 2C 1 2C 3 )= sin =- ,∴ sin = , 3 2 2 3 4 3 2


(…………9 分)

∵C 为锐角, ∴sinA =cosB=

2C π π = ,∴ C = , 3 3 2

(…………12 分) (…………14 分)

1 . 3



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