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3.2 基本不等式与最值课件



3.2 基本不等式与最大(小)值

学习目标:
1、掌握用基本不等式求函数最值的方法 会灵活地创造基本不等式条件求最值 2、通过创设基本不等式条件的过程,进一步 加深对基本不等式的理解,增强应用的灵 活性

重难点:
灵活地会创造基本不等式求最值

一、复习回顾
a+b 1.基本不等式

2 ≥ ab成立的条件是 a,b 均为 非负 数, 其中等号成立的条件是 a=b .

a2+b2 ≥ 2.用不等号连接 2

?a+b? ? ?2 ≥ ? 2 ? ? ?

ab.

二、问题引入:

某农场主想围成一个10 000 平方米的矩形牧场,怎样设 计才能使所用篱笆最省呢?

? 1.利用基本不等式求最值

设x,y为正实数. ? (1)若x+y=s(和为定值), s2 则当 x=y 时,积xy取得最大值 4 . ? (2)若xy=p(积为定值), x=y 时,和x+y取得最小值 2 p 则当 .
即:积定和最小

即:和定 积最大

? 2.利用基本不等式求积的最大值或和的 最小值,需满足的条件 ? (1)x,y必须是 正数 . ? (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否 为 定值 ;求和x+y的最小值时,应 看积xy是否为 定值. (3)等号成立的条件是否满足.

综上,解决问题时要注意 : “一正、二定、三相等”.

【题型1.不具备“正数”】
1 y ? ( x ? 1) ? 例1、若x<1,求 x ? 1 的最大值。

变式:求 f ( x) ? 2 ? log a x ?

9 的最大值。a ? 1,0 ? x ? 1? ? log a x

? 解: a ? 1,0 ? x ? 1 ? log a x ? 0,?? log a x ? 0 9 ?? log a x ? ?2 9 ?6 (当且仅当 log a x ? ?3 时取等号) ? log a x

9 ? log a x ? ? ?6 log a x ? f ( x) ? ?4
即f(x)的最大值是-4。

解题反思:把握条件, 从检验是否正数开始。

【题型2.不具备“定值”】
1 例2.若 0 ? x ? 2,求 y ? x ?1 ? 2 x ? 的最大值。 1 ( x ? ?1) 的最小值。 变式:求 y ? x ? x ?1 1 解: ? 0 ? x ? ,?1 ? 2 x ? 0 2 2 1 1 ? 2 x ? ?1 ? 2 x ? ? 1 因为 y ? ? 2 x(1 ? 2 x) ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 8

1 1 所以y的最大值是 。当且仅当2x=1-2x时,即x= 4 8
取等号

解题反思:根据需要配凑“和”或“积”为 定值。

【题型3.不具备“相等”的条件】

1 例3.若x ? 2 时,求 y ? x ? 的 x 最小值。
变式:求函数 y ? 2 x ?2 值。
x ?3
2

的最小

解题反思:要注意不能忽略取等号的条件。

【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】

例4、已知x,y为正实数,且x+2y=1, (1)求 xy 的最大值,及取得最大值时 的x,y的值;
1 1 (2)求 ? 的最小值。 x y

1 解:(1) 1 ? x ? 2 y ? 2 2 xy ,? xy ? ? 8 1 ? ?x ? 2 ?x ? 2 y ? 1 当且仅当 ? 即 ? ( x ? 2y ?1 1 时, xy ) max ? ? ?y ? 8 ? 4 ? 1 1 1 1 x 2y (2) ? ? ( ? )( x ? 2 y ) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 x y x y y x

? x 2y ? ? x 当且仅当 ? y ,即 ?x ? 2 y ? 1 ? ?1 1? ? 3? 2 2 ?x? y? ? ?min

?x ? 2 ?1 ? ? 2? 2 ?y ? 2 ?

时,

变式1:已知x,y为正实数,若 x ? y ? 4 ,则 9 1 4 ] ? ? m 恒成立的实数m取值范围是 ( ??, 4 。 x y

1 4 1?1 4? 1? 4x y ? ? ? 解: ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? ? 5 ? x y 4? x y ? 4? y x? 1 9 ? 5? 2 4 ? 4 4 4 ? x? y ?4 ? ?x ? 3 ? 当且仅当 ? 4 x y 即 ? 时,取等号 ? ? ? y x ?y ? 8 ? ? 3 ? 9 ?m ? 4

?

?

课堂小结
一、本节课复习了基本不等式的应用,要注意基本不 等式的三个条件: (一)不具备“正值”条件时,需将其转化为正值; (二)不具备“定值”条件时,需将其构造成定值条

件;(构造:积为定值或和为定值)
(三)不具备“相等”条件时,需进行适当变形或利

用函数单调性求值域;同时要灵活运用“1”的代换。

二、应用基本不等式的常用技巧 获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键.常用的 方法有: (1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中. ?x+5??x+2? x2+7x+10 如 f(x)= = x+1 x+1 ?x+1?2+5?x+1?+4 = x+1 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.

(2)常值代换 这种方法常用于 ①“已知 ax+by=m(a、b、x、y 均为正数), 1 1 求x+y的最小值.” a b ②“已知x+ y=1(a、b、x、y 均为正数), 求 x+y 的最小值”两类题型.

(3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时,可“利用基本不 等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”.如“已 知 a,b 为正数,a+b=ab-3,求 ab 的取值范围”.可构 造出不等式 2 ab≤a+b=ab-3,即( ab)2-2 ab-3≥0.

1.下列各函数中,最小值为 2 的是( 1 A. y=x+ x C.y= x2+3

)
? π? x∈?0, ? 2? ?

1 B. y=sin x+ sin x

x2+2 解析: A 中当 x<0 时,y<0,故 2 不是最小值;

4 D.y=x+ -3(x>1) x-1

B

? π? 中,∵x∈?0,2?,∴sin ? ?
2

x≠1,∴y 取不到 2;

1 C 中函数可化为 y= x +2+ 2 , x +2 ∵ x2+2≠1,∴y≠2;

4 D 中 y=x-1+ -2≥2 4-2=2,当且仅当 x-1= x-1 4 ,即 x=3 时取等号,故 2 为其最小值. x-1

? 答案: D

2. 已知 0<a<1, a(1-a)取最大值时 a 的值为( 则 1 A.3 1 C.4
解析:

)

1 B.2 2 D.3
?a+1-a? ? ?2 1 ∵0<a<1,∴a(1-a)≤? ? =4, 2 ? ?

1 当且仅当 a=1-a,即 a=2时取等号.

? 答案: B

? 3.设a、b∈R,且a+b=2,则3a+3b的最小 值是________.
解析: 3a+3b≥2 3a·b=2· 3a+b=2 32=6. 3

? 答案: 6

当且仅当 3a=3b,即 a=b=1 时取等号.

4. x, 设 y
解析:

?1 4 ? 为正数, 则(x+y)?x+y ?的最小值为________. ? ?

y 4x 原式=1+x+ y +4≥5+2

y 4x x· =9,当且仅 y

y 4x 当x= y ,即 y2=4x2 时取等号.

? 答案: 9

1 5.已知 0<x<3,求函数 y=x(1-3x)的最大值.

1 解析: ∵0<x<3,∴1-3x>0, 1 ∴y=x(1-3x)=3· 3x(1-3x) 1?3x+?1-3x??2 1 ? ≤3? ? ? =12. 2 ? ? 1 当且仅当 3x=1-3x 即 x=6时,等号成立. 1 1 ∴当 x= 时,函数取最大值 . 6 12



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