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梅涅劳斯定理


梅涅劳斯(Menelaus)定理
如果一条直线与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线交于 D、E、F 点, BD CE AF 证明: ? ? ? 1 。 (逆定理也成立) DC EA FB

例 1 如图,过三角形 ABC 的三个顶点 A、B、C 做它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、BA 的延长线交于 P、Q、R,求证:P、Q、R 三点共线。

例 2 设四边形 ABCD 外切于一圆,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的切点,若直线 HE 与 GF 相交于 M 点,则直线 BD 必通过点 M。

例 3 圆 O1 与圆 O2 和三角形的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切 点,直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA ? BC

例 4 以三角形 ABC 的底边 BC 为直径做半圆,分别于边 AB、AC 交于 D、E, 分别过点 D,E 做 BC 的垂线,垂足分别为 F、G,线段 DG 和 EF 交于点 M, 求证:AM ? BC。

练习: 1、证明三角形三条高线交于一点

2、P 是三角形 ABC 内的一点,直线 AC、BP 交于 Q,AB,CP 交于 R。已知 AR=RB=CP,CQ=PQ,Q 求 ?BRC .

3、在 ABC 中,∠C=90°,AD 和 BE 是它的两条内角平分线,设 L、M、N 分别为 AD、AB、BE 的中点,X=LM∩BE,Y=MN∩AD,Z=NL∩DE.求证:X、Y、Z 三点 共线.(2000 年江苏省数学冬令营)
Z A

X

H E

L F D

M N G B

C

Y


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