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高中数学新体系难点11



难点 11:函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形 式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合 运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 设函数 f ? x ? 的定义域为 R , 对任意实数 x , y 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ?

? f ? y ? ,当 x ? 0 时 f ? x ? ? 0 且 f ?3? ? ?4 . (1)求证: f ? x ? 为奇函数;(2)在区间 ? ? 9, 9 ? 上,求 f ? x ? 的最值. ●案例探究 [例 1]设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对称,对任意
? 1? x1 , x 2 ? ? 0, ? ? 2? ?1? ?2?

,都有 f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,且 f ?1 ? ? a ? 0 .
?1? ?4?

(1)求 f ? ? , f ? ? ;
? ?

(2)证明 f ? x ? 是周期函数;

(3)记 a n ? f ? n ?

1 ? ? ,求 lim ? ln a n ? n? ? 2n ?

命题意图: 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等 知识,还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件
f

? x1 ? x 2 ? ?

f

? x1 ? ? f ? x 2 ? 找到问题的突破口.

错解分析:不会利用 f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 进行合理变形. 技巧与方法:由 f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 变形为
f

?x? ?

? x x? ? x? ? x? f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? 是解决问题的关键. ?2 2? ?2? ?2?

解:因为对 x1 , x 2 ? ? 0, ? ,都有 f ? x1 ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,所以 ? 2?

?

1?

f

?x? ?

? x x? ? x? f ? ? ?? f ? ??0 ?2 2? ?2?

,
2

x ? ? 0,1 ? 又因为

?1 1? ?1? ? 1 ? ? ? 1 ?? f ?1 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ?2 2? ?2? ? 2 ? ? ? 2 ??
2

?1? ?1 1? ?1? ? 1 ? ? ? 1 ?? f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ?? ?2? ?4 4? ?4? ? 4 ? ? ? 4 ??

又 f ?1 ? ? a ? 0

∴ f ? ? ? a2, f ? ? ? a4
?2? ?4?

?1?

1

?1?

1

(2)证明:依题意设 y ? f ? x ? 关于直线 x ? 1 对称,故 f ? x ? ? f ?1 ? 1 ? x ? ,即
f

?x? ?

f ?2 ? x?, x ? R

,又由 f ? x ? 是偶函数知 f ? ? x ? ? f ? x ? , x ? R

∴ f ? ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? R . 将上式中 ? x 以 x 代换得 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? , 这表明 f ? x ? 是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (3)解:由 ? 1 ? 知 f ? x ? ? 0, x ? ? 0,1? ∵ f ? ? ? f ?n?
?2? ? ?1? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? n ? 1? ?? f ? ?? f ? ? ? f ? ? n ? 1? ? ? ? ?? 2n ? 2n ? 2n ? ? 2n ? 2n ? ?
n 1

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ?? 2 ? f ? ?? f ? ???? ? f ? ?? ?f ? ?? ? a 2n ? 2n ? 2n ? ? ? 2n ?? ? ? ?

∴f?

? 1 ? 2n ?? a ? 2n ?

1

.

又∵ f ? x ? 的一个周期是 2 ∴ f ? 2n ?
? ? 1 ? ? 1 ? ?? f ? ? 2n ? ? 2n ?
1

,因此 a n ? a 2 n

? 1 ? ? lim ? ln a n ? ? lim ? ln a ? ? 0 n? ? n? ? ? 2n ?

[例 2] 乙两地相距 S 千米, 甲、 汽车从甲地匀速驶到乙地, 速度不得超过 ckm / h , 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成, 可变部分 与速度 v ? km / h ? 的平方成正比,比例系数为 b ,固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为 v ? km / h ? 的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综 合运用所学数学知识解决实际问题的能力. 知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法. 错解分析: 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制 条件. 技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价. 解法一: (1)依题意知, 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 为y ? a?
S v ? bv ?
2

S v

,全程运输成本

S

?S ? ? S ? ? bv ? v ? v ? ?S ? ? b v ? , v ? ? 0, c ? . ? v ?

∴所求函数及其定义域为 y ? S ? (2)依题意知 S , a , b , v 均为正数 ∴S ?
?a ?v ? ? bv ? ? 2S ? ab



当且仅当
y m in

a v

? bv

,即 v ?

a b

时,①式中等号成立.若

a b

?c

则当 v ?

a b

时,有


a b ? c ,则当 v ? ? 0, c ? 时,有



?? a a ? ? S ?S ? ?a ? S ? ? bv ? ? S ? ? bc ? ? S ?? ? ? ? ? bv ? bc ?? ? ? c ? v ? ? a ? b cv ? ? v ? ?c ? ?? v c ? ? vc

∵ c ? v ? 0 ,且 c ? bc 2 ,? a ? bcv ? a ? bc 2 ? 0 ∴S ?
?a ? ?a ? ? bv ? ? S ? ? bc ? ?v ? ?c ?

,当且仅当 v ? c 时等号成立,也即当 v ? c 时,有 y m in ;

综上可知,为使全程运输成本 y 最小,当

ab b

? c

时,行驶速度应为 v ?

ab b

,当

ab b

? c 时行驶速度应为 v ? c

.

解法二:(1)同解法一. (2)∵函数 y ? x ?
k x

?k

? 0 ? , x ? ? 0, ? ? ? ,当 x ? 0 ,

?

k

? 时, y 单调减小,

当 x ? ? k , ? ? ? 时 y 单调增加,当 x ?
a ? ? ? ? y ? Sb ? v ? b ? , v ? ? 0, c ? . v ? ? ? ?
a c ?c

k

时 y 取得最小值,而全程运输成本函数



∴当

时,则当 v ?

a b

时, y 最小,若

a b

?c

时,则当 v ? c 时, y 最小.

结论同上. ●锦囊妙计 在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用 相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决, 尤其是注意等价转化、 分类讨论、 数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因 此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其 要挖掘题目中的隐含条件. ●歼灭难点训练 一、选择题
x 1.函数 y ? x ? a 与 y ? lo g a 的图象可能是 ? ?

2.定义在区间 ? ? ? , ? ? ? 的奇函数 f ? x ? 为增函数, 偶函数 g ? x ? 在区间 ? 0, ? ? ? 的图 象与 f ? x ? 的图象重合,设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f ?b ? ? f ? ? a ? ? g ? a ? ? g ? ?b ? ③ f ? a ? ? f ? ?b ? ? g ?b ? ? g ? ?b ? 其中成立的是 ? ?
A . ①与④ B . ②与③ C . ①与③ D . ②与④

② f ?b ? ? f ? ? a ? ? g ? a ? ? g ? ?b ? ④ f ? a ? ? f ? ?b ? ? g ?b ? ? g ? ? a ?

二、填空题

3.若关于 x 的方程 22 x ? 2 xa ? a ? 1 ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围是_____. 三、解答题 4.设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1, x ? R . (1)讨论 f ? x ? 的奇偶性;(2)求 f ? x ? 的最小值. 5.设 f ? x ? ?
1 x ?1 ? lg 1? x 1? x

.
?1

(1)证明: f ? x ? 在其定义域上的单调性;(2)证明:方程 f (3)解不等式 f ? x ? x ? ? ? ? . 2 ?? 2 ? ?
? ? 1 ?? 1

? x ? ? 0 有惟一解;

6.定义在 ? ? 1,1 ? 上的函数 f ? x ? 满足①对任意 x , y ? ? ? 1,1 ? ,都有
f

?x? ?

f

? y? ?
?1? ?5?

? x? y ? f ? ? ;②当 x ? ? ? 1, 0 ? 时,有 f ? 1 ? xy ?

?x? ? 0 .

求证: f ? ? ? f ?

1 ? 1 ? ? ? ?1? ??? ? f ? 2 ? ? f ? ?. ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ?2?

7.某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理 池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元, 中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁 厚度忽略不计,且池无盖).

(1)写出总造价 y (元)与污水处理池长 x (米)的函数关系式,并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总 造价. 8.已知函数 f ? x ? 在 ? ? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? 上有定义, 且在 ? 0, ? ? ? 上是增函数,f ? 1 ? ? 0 , 又 g ? ? ? ? sin 2? ? m co s ? ? 2 m , ? ? ? 0, ? , ? 2? 设 M ? ? m g ? ? ? ? 0, m ? R ? , N ? ? m f ? g ? ? ? ? ? 0 ? ,求 M ? N . ? ?
?

? ?

2.学法指导:怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题:准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并 认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思 想的实质,强化应用意识. (一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础, 而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中 学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的 代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线. (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联 系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方 程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中, 动与静、 变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特 殊表现形式. 所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及 5 个方面:(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3) 数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本 语言和工具出现在试题中. (三)把握数形结合的特征和方法 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合, 有效地揭示了各类函 数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特 征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制 图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换. (四)认识函数思想的实质,强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建 立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应 用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.

参考答案
难点磁场 (1)证明:令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0 ? ? 0 令 y ? ? x ,得 f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ,即 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ∴ f ? x ? 是奇函数

(2)解: 1? 任取实数 x1 , x 2 ? ? ? 9, 9 ? 且 x1 ? x 2 ,这时,
x 2 ? x1 ? 0, f

? x1 ? ? f ? x 2 ? ?
f

f ? ? x1 ? x 2 ? ? x 2 ? ? f ? ?

? x2 ?

? f

? x1 ? x 2 ? ?

? x 2 ? ? f ? x1 ? ?

?f

? x 2 ? x1 ?

因为 x ? 0 时 f ? x ? ? 0 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ∴ f ? x ? ? ? ? 9, 9 ? 上是减函数 故 f ? x ? 的最大值为 f ? ? 9 ? ,最小值为 f ? 9 ? . 而 f ? 9 ? ? f ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 f ? 3 ? ? ? 1 2, f ? ? 9 ? ? ? f ? 9 ? ? 1 2 . ∴ f ? x ? ? ? ? 9, 9 ? 上 f m ax ? x ? ? 1 2, f m in ? x ? ? ? 1 2 . 歼灭难点训练 一、1.解析:分类讨论当 a ? 1 时和当 0 ? a ? 1 时. 答案: C 2.解析:用特值法,根据题意,可设 f ? x ? ? x , g ? x ? ? x ,又设 a ? 2, b ? 1 , 则 f ? a ? ? a , g ? a ? ? a , f ? b ? ? b , g ? b ? ? b , f ? a ? ? f ? b ? ? f ? 2 ? ? f ? ? 1? ? 2 ? 1 ? 3 .
g ? b ? ? g ? ? a ? ? g ?1 ? ? g ? ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 .

∴ f ? a ? ? f ? ? b ? ? g ?1 ? ? g ? ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 . 又 f ? b ? ? f ? ? a ? ? f ?1 ? ? f ? ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 .
g ? a ? ? g ? ? b ? ? g ? 2 ? ? g ?1 ? ? 2 ? 1 ? 1

∴ f ?b ? ? f ? ? a ? ? g ? a ? ? g ? ?b ? . 即①与③成立. 答案: C ①

二、3.解析:设 2 x ? t ? 0 ,则原方程可变为 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0
? ? ? a 2 ? 4 ? a ? 1? ? 0 ? 方程①有两个正实根,则 ? t1 ? t 2 ? ? a > 0 ? t1 t 2 ? a ? 1 ? 0 ?

解得: a ? ? ? 1, 2 ? 2 2 ? .
2

答案: ? ? 1, 2 ? 2 2 ?

三、 4.解: (1)当 a ? 0 时, 函数 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? x ? 1 ? f ? x ? ,此时 f ? x ? 为偶函数; 当 a ? 0 时, f ? a ? ? 2 a ? 1, f ? ? a ? ? a 2 ? 2 a ? 1 , f ? ? a ? ? f ? a ? , f ? ? a ? ? ? f ? a ? .此

时函数 f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数. (2)①当 x ? a 时,函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ? x ?
? ? 1? 3 ? ?a? 2? 4
2

,若 a ?

1 2

,则函数

f

? x ? 在 ? ? ? , a ? 上单调递减,从而,函数 f ? x ? 在 ? ? ? , a ? 上的最小值为
2

f ? a ? ? a ? 1 .若 a ?

1 2

,则函数 f ? x ? 在 ? ? ? , a ? 上的最小值为 f ? ? ?
?2?

?1?

3 4

?a

,且

?1? f ? ? ? f ?a? ?2?

.?
2

②当 x ? a 时,函数

1? 3 ? f ?x? ? x ? x ? a ?1 ? ? x ? ? ? a ? 2? 4 ?
2

;当 a ? ?

1 2

时,则函数
1 2

f

? x ? 在 ? a , ? ? ? 上的最小值为

? 1? 3 f ?? ? ? ? a ? 2? 4

,且 f ? ? ? ? f ? a ? .若 a ? ?
? 2?

?

1?

,?则

函 数 f ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上单调递增, 从而,函数 f ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上的最 小值为
f ?a? ? a ?1.
2

综上,当 a ? ?

1 2

时,函数 f(x)的最小值是 ? a ,当 ?
4
1 2

3

1 2 3
4

? a ?

1 2

时,函数 f ? x ? 的

最小值是 a 2 ? 1 ;当 a ?

时,函数 f ? x ? 的最小值是 a ?

.

?1 ? x ?0 ? 5.(1)证明:由 ? 1 ? x ?x ? 2 ? 0 ?

得 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1,1 ? ,易判断 f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 内是

减函数. (2)证明:∵ f ? 0 ? ? 程f
?1

1 2

, f

?1

?1? ?? ?? 0 ?2?

,即 x ?
?1

1 2

是方程 f

?1

? ? x ? ? 0 的一个解.若方

? ? x ? ? 0 还有另一个解 x 0 ?
1 2

1 2

,则 f
?1

? ? x 0 ? ? 0 ,由反函数的定义知

f ? 0 ? ? x0 ?

,与已知矛盾,故方程 f
1 ?? 1 ? ?

? ? x ? ? 0 有惟一解.

(3)解: f ? x ? x ? ? ? ? ,即 f ? x ? x ? ? ? ? f ? 0 ? . 2 ?? 2 2 ?? ? ? ? ?

? ?

1 ??

? 1? ? ??1 ? x ? x ? ? ? 1 2? 1 ? 15 1 1 ? 15 ? ? ? ? x ? 0或 ? x ? ? 4 2 4 ? x?x ? 1 ? ? 0 ? ? ? 2? ? ?

6.证明:对 f ? x ? ? f ? y ? ? f ?
y ? ?x

? x? y ? ? 中的 x , y ? 1 ? xy ?

,令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0 ? ? 0 ,再令

,又得 f ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 ,即 f ? ? x ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 在 x ? ? ? 1,1 ? 上
? x 2 ? x1 ? ?, ? 1 ? x1 x 2 ?

是奇函数.设 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 0 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x 2 ? ? f ?
x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

∵ ? 1 ? x1 ? x 2 ? 0 ,∴ x1 ? x 2 ? 0,1 ? x1 x 2 ? 0,?
? x ? x2 ? f ? 1 ? ? 0 ,从而 f 1 ? x1 x 2 ? ?

?0

,于是由②知

? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ?

f

? x 2 ? ,故 f ? x ? 在 x ? ? ? 1, 0 ? 上

是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知 f ? x ? 在 x ? ? ? 1, 0 ? 上仍是 递减函数,且 f ? x ? ? 0 .
1 ? ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? 1 1 ? ? ? f ? 2 ? f ? ?? f ? ? 1 ? ? n ? 3n ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 ? ? n ?1 ? n ? 2 ? f ? 1 1 ?1? ? n ?1 n ? 2 ?

? ? ? 1 ? ? 1 ? ?? f ? ?? f ? ? ? n ?1? ?n?2? ? ?

1 ?1? ? 1 ? ? ? ? f ? ?? f ? ? ??? f ? 2 ? ?5? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ?
? ?1? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ?? ?1? ? 1 ? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? ? ? f ? ?? f ? ?? ? f ? ? ? f ? ? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ?2? ?n?2? ? ?2? ? ? n ?1?

?0?

? 1 ? ? 1时 , 有 f ? ??0 n?2 ?n?2? 1

?1? ? 1 ? ?1? ? f ? ?? f ? ? ? f ? ? ,故 原 结 论 成 立. ?2? ?n?2? ?2?

7.解:(1)因污水处理水池的长为 x 米,则宽为

200 x

m

,总造价 ,由题设条件

200 ? 200 324 ? ? ? y ? 400 ? 2 x ? 2 ? ? 2 ? 80 ? 200 ? 800 ? x ? ? ? 248 ? ? ? 1600 x ? x x ? ? ?

? 0 ? x ? 16 ? 200 ? ? 16 ?0 ? x ?

解得 1 2 .5 ? x ? 1 6 ,即函数定义域为 ?1 2 .5,1 6 ? .

(2)先研究函数 y ? f ? x ? ? 8 0 0 ? ? x ?
?

?

324 ? ? ? 16000 x ?

在 ?1 2 .5,1 6 ? 上的单调性, 对于任

意的 x1 , x 2 ? ?1 2 .5,1 6 ? ,不妨设 x1 ? x 2 ,则
f

? x1 ? ?

f

? x2 ? ? 800 ?? x2
?

?

? 1 ? 1 ?? 324 ? ? x1 ? ? 3 2 4 ? ? ? ? ? 8 0 0 ? x 2 ? x1 ? ? 1 ? ?, x1 ? ? x1 x 2 ? ? x2 ?
324 x1 x 2 ? 1 ,即 1 ?

∵ 1 2 .5 ? x1 ? x 2 ? 1 6,? 0 ? x1 x 2 ? 1 6 2 ? 3 2 4,?

324 x1 x 2

? 0

.

又 x 2 ? x1 ? 0,? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,即 f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ,故函数 y ? f ? x ? 在 ?1 2 .5,1 6 ? 上是减函数.∴当 x ? 1 6 时, y 取得最小值,此时,
324 ? ? y m in ? 8 0 0 ? 1 6 ? ? ? 16000 ? 45000 16 ? ?

(元),

200 x

?

200 16

? 1 2 .5 ? m ?

综上,当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低为 45000 元. 8.解:∵ f ? x ? 是奇函数,且在 ? 0, ? ? ? 上是增函数,∴ f ? x ? 在 ? ? ? , 0 ? 上也是增 函数. 又 f ?1 ? ? 0,? f ? ? 1 ? ? ? f ?1 ? ? 0 ,从而,当 f ? x ? ? 0 时,有 x ? ? 1或 0 ? x ? 1 , 则集合 N ? ? m f g ? ? ? ? 0? ? ? m g ? ? ? ? ? 1或 0 ? g ? ? ? ? 1? ,
? M ? N ? ? m g ??

? ? 1? . 由

g ??

??

? ? ? ? 1 , 得 co s 2? ? m ? co s ? ? 2 ? ? 2, ? ? ? 0, ? , 令 ? 2?

x ? co s ? , x ? ? 0,1 ? 得 : x 2 ? m? x?2 ? ?2 , x ? 0? , , 令 ① : y1 ? x 2 , x ? ? 0,1 ? 及 ② ? 1 y 2 ? m ? m ? 2 ? ? 2 ,显然①为抛物线一段,②是过 ? 2, 2 ? 点的直线系,在同一坐标系内由

x ? ? 0,1 ? 得 y1 ? y 2 ,? m ? 4 ? 2 2 ,故 M ? N ? m m ? 4 ? 2 2 .

?

?



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