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2014届高三理科数学小综合专题练习(应用题)



2014 届高三理科数学小综合专题练习—应用题
一、选择题 1.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之比为

y ,则 y ? f ( x) 的图像大致为

2.如图所示,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D 处,已知△ABD 为边长等于 a 的正三 角形,当目标出现于

C 处时,测得∠BDC=45°,∠CBD=75°,则炮击目标的距离 AC 为

A. 2 3a

B.

4 6 a 错误!未找到引用源。 3

C.

3 7 a 错误!未找到引用源。 4

D.

5?2 3 a 错误!未找到引用源。 3

3.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段, 单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示,图中

x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB,BC,CA 的
机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段 上驶入与驶出的车辆数相等) ,则 A. x1 > x2 > x 3 C. x2 > x 3 > x1 B. x1 > x 3 > x2 D. x 3 > x2 > x1

4.某新区新建有 5 个住宅小区(A、B、C、D、E) ,现要铺设连通各小区的自来水管道,如果它们两两之间 的线路长如下表: 距 离 地 名 地 (km) 名

A

B

C

D

E

1

A B C D E 请问:最短的管线长为 A.13 B.14 C.15

5

7 3

8 5 5

5 2 4 4

( D.17



5.某商场在中秋节促销期间规定,商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商 场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的范围 获得奖券的金额(元) [200,400) 30 [400,500) 60 [500,700) 100 [700,900 ) 130 ? ?

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为 400 元的商 品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价 为 1000 元的商品,则所能得到的优惠额为 A.130 元 B.330 元 C.360 元 D.800 元

6.今年“十一”期间,北京十家重点公园将举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早 晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去,到上午 11 时 30 分公园内的人数是 A.2 -47 二、填空题 7. 一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小组 组号依次为 1,2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m ,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m ? k 的个位数字相同, 若 m =6,则在第 7 组中抽取的号码是 .
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11

B.2 -57

12

C.2 -68

13

D.2 -80

14

8. 小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序 (1)洗锅盛水 2 分钟; (2)洗菜 6
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分钟; (3)准备面条及佐料 2 分钟; (4)把水烧开 10 分钟; (5)煮面条和菜共 3 分钟 上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮好,最少用 9.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y ? 则速度应定为 .
2

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分钟

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1 3 39 2 x ? x ? 40 x( x ? 0) ,为使耗电量最小, 3 2

10. 设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是

该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: 经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? h ? A sin(? x ? ? ) 的图象.最能近似表示 表中数据间对应关系的函数是 .

11. 某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元. 在满足需要的条件下,最少要花费 元.

12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AE=4 米,CD=6 米为了合理利用这块钢板,将 在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积 的最大值为 三、解答题 13. 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各 平方米 .

x 千克, y 千克, z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维
生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (1)用 x , y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x , y ,z 的值,使成本最低. 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

14.某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润 y 与投资 量 x 成正比例,其关系如图 1, B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例,其关 系如图 2, (注:利润与投资量单位:万元) (1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元 投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?`

y
0 .3 0 .2

y
23 .4 1 .6

o

1

1 .5

x

o

4

9

x

15.[M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年起,每年初 M 的价值是上年初价值的 75﹪. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An ?

a1 ? a2 ? ... ? an ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,求 n

须在第几年初对 M 更新.

16. 据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方 成反比,比例常数为 k (k ? 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染 强度分别为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数 之和.设 AC ? x ( km ) . (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

17.某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安装座位,且 每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连 的钢管的费用为 8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的钢 管和其中一个座位的总费用为 ?

? (1024 x ? 20) x ? ? 2 ? k 元.假设座位等距离分布,且至少有两 100 ? ?

个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式 ,并写出定义域; (2)当 k ? 100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?

4

18.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上, 20

其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)

O

x(千米)

2013 届高三理科数学小综合专题练习—应用题 参考答案
一、选择题 DDCBBB 二、填空题 7.63 三、解答题 13. 解 :( 1 ) ∵ 用 x 千 克 甲 种 食 物 , y 千 克 乙 种 食 物 , z 千 克 丙 种 食 物 配 成 100 千 克 混 合 物 , ∴ z ? 100 ? x ? y ∴ c ? 11x ? 9 y ? 4 z ? 11x ? 9 y ? 4(100? x ? y) 8. 15 9.40 10. y ? 5.0 ? 2.5sin

?
6

t

11.500

12.48

? 7x ? 5y ? 4 0 0 元;
( 2) 由 题 意 可 得 :

?600x ? 700y ? 400z ? 56000 ? ?800x ? 400y ? 500z ? 63000
5

?2 x ? 3 y ? 160 ? 又 ∵ z ? 100 ? x ? y , 所 以 ?3 x ? y ? 130 作 可 行 域 ? x ? 0, y ? 0 ?
作 直 线 l0 : 7 x ? 5 y ? 0 并 平 移 , 当 直 线 l 0 经 过 点 M 时 , c 取 到 最 小 值 解?

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 得? 此 时 c ? 7 ? 50 ? 5 ? 20 ? 400 ? 850 ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所 以 ,当 甲 种 食 物 取 50 千 克 ,乙 种 食 物 取 20 千 克 ,丙 种 食 物 取 30 千 克 时 ,混 合 物 成 本 最 低 , 为 850 元 .

14.解: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f ( x ) 万元, B 产品的利润为 g ( x) 万元.

1 1 ,? k1 ? 5 5 4 1 4 x ( x ? 0) 又 g (4) ? 1.6 ,? k 2 ? .从而 f ( x ) ? x ( x ? 0) , g ( x ) ? 5 5 5
由题意设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k 2 x .由图知 f (1) ? (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10 ? x 万元,设企业利润为 y 万元.

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令 10 ? x ? t ,则 y ? 当 t ? 2 时, y max ?

x 4 ? 10 ? x (0 ? x ? 10) 5 5

1 14 10 ? t 2 4 ? t ? ? (t ? 2 ) 2 ? (0 ? t ? 10) 5 5 5 5

14 ? 2.8 ,此时 x ? 10 ? 4 ? 6 5

答:当 A 产品投入 6 万元,则 B 产品投入 4 万元时,能使公司获得最大利润, 其最大利润为 2.8 万元

15.解: (1)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

3 数列 {an } 是以 a6 为首项, 公比为 为等比数列, an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n; 当 n ? 6 时, 4 3 n ?6 又 a6 ? 70 ,所以 an ? 70 ? ( ) ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(2)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得

6

当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n;

Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ?
当 n ? 7 时,

3 3 3 ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4

3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n

因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 又 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新.

16. 解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为

kb ka ,点 C 受 B 污染源污染程度为 ,其中 k 为比例系 2 (18 ? x) 2 x

数,且 k ? 0 . 从而点 C 处受污染程度 y ?

ka kb ? . 2 x (18 ? x) 2

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?

k kb ?2 2b ? y ' ? k[ 3 ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? 18 , 2 2 , x (18 ? x) x (18 ? x)3 1? 3 b

又此时

x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意.

所以,污 染源 B 的污染强度 b 的值为 8.

17.解: (1)设摩天轮上总共有 n 个座位,则 x ?

k k 即n ? , n x

y ? 8k

? ? 10 1024 x ? 20 ? k k ? (1024 x ? 20) x ? ? ? 2? k ? k 2 ? ? ? x ? ?, x x? 100 100 ? ? ?

定义域为 ? x 0 ? x ?

? ?

k k ? , ?Z?; 2 x ?
? 1000 ? ? 1024 x ? 20 ? ? x ?
3 2

(2)当 k ? 100 时,令 y ? 100 ?

f ( x) ?
3 2

?1000 ? 512 x 1000 1000 1 ? 1024 x ,则 f ?( x) ? ? 2 ? 512 ? ? 0, x x2 x x
2

125 ? 125 ? 3 25 ? x?? ∴x ? , (10 分) ? ? 64 16 ? 64 ?
7

25 25 ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (0, ) 上单调减, 16 16 25 25 当 x ? ( ,50) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 x ? ( ,50) 上单调增, 16 16 25 100 时取到,此时座位个数为 ymin 在 x ? ? 64 个. 25 16 16
当 x ? (0,

18.解: (1)令 y ? 0 ,得 kx ? 故x ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 ? 0 ( x ? 0, k ? 0) , 20

20 k 20 20 ? ? ? 10 ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 2 1 2 1? k k? k

所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a ? 0 ,所以炮弹可击中目标

1 ? 存在 k ? 0, 使3.2 ? ka ? ( 1 ? k 2)a 2 成立 20

? 关于k的方程a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64 ? 0有正根
2 ? 判别式? ? (- 20a) ? 4a 2 (a 2 ? 64) ? 0

?a?6
所以当 a 不超过 6(千米)时,可击中目标.

8



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