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均值不等式学案2


均值不等式(第 2 课时)
学习目标:能用基本不等式求函数最值 学习过程:
一、 知识准备。
1、重要不等式: 2、基本不等式 : (1)两正数的算数平均数 (2)几何解释:半径 (3)几个变形: 它们的几何平均数; 半弦。

二、新课 均值不等式的应用:求最值。 例 1、 (1)一个矩形的面积为 100m2,问这个矩形的长、宽各为 多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长为 36m,问这个矩形的长宽各是多少时, 它的面积最大?最大面积是多少?

规律总结:两个正数的积为常数时,它们的和有 两个正数的和为常数时,它们的积有
1

; 。

变式练习 1、) x>0,f(x)= !若
此时 x=_______.

12 x

? 3 x 的最小值为_______;

2)若 x<0,f(x)= x=_______.

12 x

? 3 x 的最大值为_______;此时

规律总结:利用均值不等式求最值应具备三个条件,简 单概括就是三个字:正、定、等。 正:两项必须都是 ; ; 。 。

定:求两项和的最小值,它们的积应为 求两项积的最大值,它们的和应为 等 : 等号成立的条件必须 2、判断正误 (1)函数 y=x+

1 x

的最小值为 2

(2)已知 1≤x≤3, 2≤y≤4,则当 x=y=3 时,xy 有 最大值 9
2

x

2

?3
2

(3) 函数 y= 最小值为 2。

?

x

2

?2 ?

1 x ?2
2

x

?2



3、求函数

1 f ( x )? x ? ( x ? 0)的值域。 x

4、 求函数

f (x) ? x ?

1 x

的值域。

5、求函数 f ( x ) ? 2 ? lo g 2 x ? 值域。

5 lo g 2 x

( 0 ? x ? 1)



6、 函数 y= x ? 此时 x=______.

1 x ?1
(x ≥ 0)的最小值为______,

3

当堂检测 1、若 x>0,当 x= 是 。(A) 时, 。(A) ,当 x= 4?x 。(B)
2

时,函数 y ? x ?

3 x

的最小值

2、若 x>0,当 x= 值是

函数

y ?

4 x

? 9 x 有最

3、若 x>4,函数 y ? ? x ? 有最 值是

1

时,函数

? 2x ? x ? 3 4、 求函数 f ( x )? ( x ? 0 )的最大值, x (C) 以及此时 x 的值。

课后探究:
求函数 f ( x ) ? x
2

? 3x ? 1 x ?1

( x ? ? 1)的最小值。

4


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