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高三数学章节过关(六)(直线和圆的方程,圆锥曲线)



高三数学章节过关(六)
(直线和圆的方程,圆锥曲线)
班别: 姓名: 座号: 评分: 一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的。每题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1.若 l1 : x ? (1 ? m) y ? 2 ? m2 , l2 : 2mx ? 4 y ? 16 ? 0 的图象是两条平行直线,则 m 的值是 A.

1 或 ?2 B.1 C. ?2 D.不存在 2.若点 D(4、 a )到直线 4 x ? 3 y ? 1 的距离不大于 3,则实数 a 的取值范围是 A. [0,10) B. (0,10] C. (?10,0] D. [0,10] 3.没 p( x 、 y ) 是曲线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x2 ? 25

y2 ? 1 上的点, F1 (?4,0), F2 (4,0) ,则必有 9
B. | PF | ? | PF2 |? 10 1 D. | PF | ? | PF2 |? 10 1

A. | PF | ? | PF2 |? 10 1 C. | PF | ? | PF2 |? 10 1 4. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左支上有一点 M 到右焦点 F1 的距离为 18, 是 MF1 的中点, N 25 9
2 3

O 为坐标原点,则|ON|等于 A.4 B.2 C.1 D.

5.如图所示,椭圆中心、在坐标原点,离心率为 点,则 ?BDC 的正切值是 A. ?3 3
2 2

1 ,F 为左焦点,直线 AB 与 FC 交于 D 2
D. 3 ? 3

B. 3 ? 3

C. 3 3

6. P是双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上一点, F1 、 F2 分别为双曲线的左、右 2 a b 焦点,焦距为 2C 则 ? PF1 F2 的内切圆的圆心横坐标为 A. ?a B. a C. ?c D. c y2 x | x | ? ?1 9 4
C.有两个交点 D.有三个交点

7.直线 y ? x ? 3 与曲线 A.没有交点 8.椭圆

B.只有一个交点

x2 y 2 ? ? 1 有 上 n 个 不 同 的 点 P , P2 ??? Pn 椭 圆 右 焦 点 为 F , 数 列 1 4 3 1 { |Pn F |是公差大于 } 的等差数列,则 n 的最大值是 1000
B.2001
1

A.2000

C.2003

D.2005

9. 若直线 ax ?by ? 1? 0(a ,b ? 0) 过圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心, 则 A.8 10.点 P 到点 A( B.12 C.16 及到直线 x ? ? D.20

1 4 ? 的最小值是 a b

1 , 0 ) B(a 、 2 , ) 2
B.

1 的距离等相等,如果这样的点恰好只 2
D. ?

有一个那么 a 的值是 A.

1 2

3 2

C.

1 3 或 2 2

1 1 或 2 2

二、填空题(每空 5 分,共 20 分) ? 11.把圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 沿向量 a ? (m, ?1) 平移后得圆 C ? 与直线 3x ? 4 y ? 0 相切, 则 m 的值为 。 12.圆心在抛物线 x2 ? 2 y 上的动圆经过点(0, 程是 。

1 ) ,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的方 2

?x ? 0 2y ? 3 ? ,则 13.设 x 、y 满足约束条件 ? y ? x 的取值范围是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
14.双曲线 C : y ? x ? m(m ? 0) 的离心率为
2 2



,若直线 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线 C

的交点在以原点为中心,边长为 4 且各边分别平行于两坐标轴的正方形内,则实数 m 的取值范围是 。 三、解答题(共 80 分) ? 为 15. 在以 O 为原点的直角坐标系中, A 点 (4, 3 ) ? OAB 的直角项点, 已知 | AB |? 2 | OA | 且点 B 的纵坐标大于 0。 ??? ? (1)求向量 AB 的坐标; 2 2 (2)求圆 x ? 6 x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程。

2

16.已知双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过右焦点 F 作双曲线在第一、三 a 2 b2 象限的渐近线的垂线 l ,设垂足为 P,且 l 与双曲线 C 的左、右支的交点分别为 A、B。

(1)求证:点 P 在双曲线 C 的右准线上; (2)求双曲线 C 的离心率的取值范围

2 | 17. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有两个动点 A、 及一个定点 M, 为焦点, | AF | 、 MF | 、 B F 若 | BF | 成等差数列。 (1)证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q; (2)若|MF|=4、|OQ|=6 求抛物线方程。

18. (如图) 已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 有公共焦点 F (c,0)(c ? N ? ) , 2 a b M 是它们的一个交点,若 S? MOF ? 2 6, 且 | MF |? 5 。

(1)求椭圆及抛物线的方程; (2)是否存在过 F 的直线 l 被椭圆及抛物线截得的弦长相等,若存在求出 l 的方程,若 不存在说明理由。

3

19.平面内,定圆 M 的半径为 1,A、B 是圆 M 上的两动点,点 P 到 A、B 的距离和为 2。 (1)分别就|AB|=0 和|AB|=2 时,指出点 P 运动形成的几何图形; (2)当|AB| ? 0,且|AB| ? 2,时,猜想点 P 运动所形成的几何图形是什么?证明你的 结论。

20.F1、F2 是双曲线

(1)求此双曲线的离心率;

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线左支上,点 M a 2 b2 ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ? OF1 OM ? 在右准线上,且满足: F1O ? PM , OP ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0) 。 | OF1 | | OM |

(2)若此双曲线过 N(2, 3 )求双曲线方程; (3)若过 N(2, 3 )的双曲线的虚轴端点分别为 B1,B2(B1 在 y 轴正半轴) ,点 A、 ???? ? ???? ? ???? ???? B 在双曲线上,且 B2 A ? ? B2 A ,求 B1 A ? B1B 时,直线 AB 的方程。

4

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高三数学章节过关(六)参考答案
一、选择题: 题号 答案 11、 ? 5 3 三、解答题 1 B 2 D 3 A 12、 y ? ? 4 A 5 C 6 B 7 D 8 A 9 C 10 D

二、填空题

1 2

13、 [

45 ,11] 19

14、 2 , 0 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? ?| AB |? 2 | OA | ? ? ? 6 ? ? ? ?6 ? 15.解: (1)设 AB ? (?, v) ,则由 ? ??? ??? 得? 或? ? ? ?v ? 8 ?v ? ?8 ? AB ? OA ? 0 ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 且 v ?3 ? 0 由OB ? OA ? AB ? (? ? 4, v ? 3) ?v ? 8 AB ? (6,8)
(2) (1) B 由 知 (10、 5)

? 直线OB方程为y ?

1 x由x 2 ? 6 x ? y 2 ? 2 y ? 0 得 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 10 2

?圆心为(3,-1),半径为 10
y ?1 ?x?3 ? 2 ? 2 2 ? 0 ?x ? 1 ? ?? 设 (3, ?1)关于OB的对称点为(x 、 y )则 ? ?y ? 3 ? y ? 1 ? ?2 ?x ?3 ?

?所求圆方程为( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 10
b ? y? x ? a 2 ab ? a 由? 得p( , ) c c ? y ? ? b ( x ? c) ? a ?

16.解: (1)依题意 l方程为y ? ?

a ( x ? c) b

?点P在右准线x ?

a2 上。 c

(2)方法一 ? l与双曲线C的左 、右两支都相交

??

a b ?? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? a 2即2a 2 ? c 2 ?e ? 2 b a a ? ? y ? b ( x ? c) ? 得(b 4 ? a 4 ) x 2 ? 2a 4 cx ? a 4 c 2 ? a 2b 4 ? 0 方法二,由 ? 2 x y2 ? ? ?1 ? a 2 b2 ?
设 A( x1 y1 ) B( x2 y2 )由A 、B 在左右两支上,在 x1 x2 ? 0即 ?

a 4 c 2 ? a 2b 4 ?0 b4 ? a 4
2

?b4 ? a4 ? 0即c2 (b2 ? a2 ) ? 0

? b2 ? a 2

2 2 ? c 2? a ? b ? 2a

?e ?

c ? 2 a

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17.解:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 M ( xo , yo ) 则 | AF |? x1 ? p ,| BF |? x2 ? p ,| MF |? xo ? p 2 2 2

?| AF |,| MF |,| BF | 成等差数列? xo ?

x1 ? x2 y ? y2 , 故 AB 中 点 可 设 为 ( xo , t ) , t ? 1 又 2 2

K AB ?

y1 ? y2 2 p( y1 ? y2 ) 2p p ? ? ? 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 y1 ? y2 t
t ( x ? xo )即t ( x ? xo ? p) ? yp ? 0 p

? AB

的 垂 直 平 分 线 方 程 为

y ?t ? ?

故此直线过定点 Q( xo ? p,0)

p ? ? xo ? 2 ? xo ? ? 4 (2)由 | MF |? 4,| OQ | ? 6, 得 ? 解得 ? 故所求抛物线方程是 y 2 ? 8x 2 ?p ? 4 ? xo ? p ? 6 ?
18.解: (1) y 2 ? 2 px的焦点F ( ,0)准线l : x ? ?

p 2

p 2

? p ? 2c设M ( x1 , y1 )由|MF |? 5得

x1 ? c ? 5,由y12 ? 4cx1得y1 ? ?2 c(5 ? c)
解得 c ? 2,? x1 ? 3, y1 ? 24代入
2

? S? MOF ?

1 1 | OF | ? | y1 |? c ? 2 c(5 ? c) ? 2 6 2 2

x12 y2 ? 1 ? 1得b2 ? 32 b2 ? 4 b2

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 8x 36 32

(2)①当 k 不存在时 | CD |? 2 p ? 8 、 | AB |?
2

2b2 32 ? a 3

? CD |?| AB | |

②当 k 存在时,设 l方程为y ? k ( x ? 2), 与y ? 8x联立得

y2 ?

8 y ? 1 6? 0 k

? CD |? (1 ? |

1 8 2 8(1 ? k 2 ) )[( ) ? 64] ? k2 k k2

? y ? k ( x ? 2) ? 由由? x 2 y 2 得(8 ? 9k 2 ) x 2 ? 36k 2 ? 36(k 2 ? 8) ? 0 ?1 ? ? ? 36 32

? AB |? 1 ? k 2 |

362 k 4 ? 4 ? 36(8 ? 9k 2 )(k 2 ? 8) 12 ? 8(k 2 ? 1) ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2
12 ? 8(k 2 ? 1) 8(1 ? k 2 ) 2 6 ? 即k ? ? 2 2 8 ? 9k k 3

由 | AB |?| CD | 得

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? 存在直线方程为y ? 2 6 2 6 ( x ? 2)或y ? ? ( x ? 2) 3 3

19.解: (1)当 | AB |? 0时, 点P的图形是以点M 为圆心, 半径为2的圆及内部 当 | AB |? 2时, 点P的图形是以点M 为圆心半径为1的圆及内部 (2)当 | AB |? 0且 | AB |? 2时, 点P的图形是以点M 为圆心半径为2的圆的内部 (不含边界) 证:设 A、B 在某一确定位置时,如图以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴,建立直角坐标系设

| AB |? 2c(0 ? c ? 1)由| PA | ? | PB |? 2
2 ? 点 P 的轨迹是椭圆,其方程为 x ?

y2 ?1 1 ? c2
? PM |? ?c 2 (sin ? ? |
1

设p(cos ? , 1 ? c 2 sin ? )(? ? R), 而M (0, ? 1 ? c 2 )
1 ? c2 2 ? 即1 ?,c ? 时 2 c 2

1 ? c2 2 1 ) ? 2 c2 c
2





0?

1m ? M P a ? c

x

|

|

1 ? c2 2 ②当 2 ? 1即0 ? c ? 时,| PM |max ? 2 1 ? c 2 ? 2 c 2
?对0 ? c ? 1有0 ?| PM |? 2, 故点P运动时形成的图形是以M为圆心 ,2 为半径的圆的内部。
20.解(1)由 FO ? PM知,四边形PFOM为平行四边形 1 1 又
???? ???? ? ??? ? OF1 OM ? OP ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0) | OF1 | | OM |

???? ???? ?

?OP平分?FOM ,四边形PFOM为菱形 1 1

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? | PF2 | c ? 2a 2 2 又 | OF1 |? c(c ? a ? b ) ?| PM |? c,| PF1 |? c ? PF2 |? c ? 2a 由 ????? ? e得 ? | ?e c | PM |

? e2 ? e ? 2 ? 0解得e ? 2, e ? ?1(舍)

(2) ? e ? 2 ?

c a
?

? c ? 2a,?b2 ? 3a 2
4 3 ? 2 ? 1 ? a2 ? 3 2 a 3a

? 双曲线方程可设为

x2 y 2 ? ? 1 ,其过点 N (2, 3) a 2 3a 2

x2 y 2 ? 所求双曲线方程为 ? ?1 3 9
(3)由(2)知 B1 (0,3) 、 B2 (0, ?3) ? B2 A ? ? B2 B

???? ?

???? ?

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? A 、 B2 、 B共线,设AB直线方程为y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? A( x1 , y1 ) B( x2 , x2 )则由? x 2 y 2 ?1 ? ? ?3 9

得 (3 ? k 2 ) x2 ? 6kx ?18 ? 0

?6k ?18 , x1 ? x2 ? 2 3? k 3? k2 ?6k ?18 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? ?6 ? 2 3? k 3? k2
②当 k ? ? 3 时, x1 ? x2 ?

①当 3 ? k 2 ? 0即k ? ? 3时AB与双曲线只有一个交点,不合题意 。

y1 ? y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 ? x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? k 2 ?
又 B1 A ? ( x1 , y1 ? 3) 、 B1B ? ( x2 , y2 ? 3) 即

?18 ?6k ? 3k ? ?9 ? 9 2 3? k 3? k2
1

???? ?

???? ?

? ? ?? ? ? ?? ? B1 A? B B ? 1 2 ? x x 1

y ?

y?( 3 2

1

y? ) y ? 2 9

? 0

?18 ?18 ? 9 ? 3? ? 9 ? 0解得k ? ? 5 2 3? k 3? k2

所以直线 AB 的方程为 y ? 5x ? 3或y ? ? 5x ? 3

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