§1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

高二数学选修 1---2 统计教材教案

学习目标：1、了解分类变量的定义以及 2 ? 2 列联表的构成形式. 2、了解随机变量 k 2 的含义及其应用. 3、通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法. 重、难点：根据所给数据列 2 ? 2 列联表及由公式求 k 2 （重点） ；独立性检验的基本思想和 方法（难点）. 学习过程： 一、课前准备： 预习课本 P---P 找出疑惑之处，并填写下列知识要点 （1）与列联表有关的概念. 1、分类变量与定量变量. 分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值 仅表示个体所属的 类别 ，像这样的变量称作分类变量. 如性别变量，只取男、女两 个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等.有时也可以把分类变量的不同取值 用数字来表示，但这些数字除了分类以外没有其他的含义，大小也没有意义. 例如用 0 表示“男” ，1 表示“女” ，性别变量就变成取值为 0 和 1 的随机变量. 定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算 也有特定的含义.例如身高、体重、考试成绩等，小张的身高是 180cm，小李的身高是 175cm，说明小张比小李高 180 ? 175 ? 5（cm）. 2、2 ? 2 列联表 两个分类变量的频数表，称为列联表. 一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y ，它们的取值分别为 {x1，x2 } 和 { y1，y2 } ，其 样本频数列联表（称为 2 ? 2 列联表）为：
y1 y2

§1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

总 计
a?b

x1

a c
a?c

b d
b?d

x2 总 计

c?d
a ?b?c ?d

3、等高条形图. 等高条形图用来展示列联表数据的 频率特征 ，能够更清晰地表达出两个分类变 量是否相关. 在等高条形图中，可以估计满足条件 X ? x1 的个体中具有 Y ? y1 的个体所

a c ，也可以估计满足条件 X ? x2 的个体中具有 Y ? y2 的个体所占比 ， a?b c?d 两个比值相差很大，就判断两个分类变量之间有关系. 通过列联表或观察等高条形图判 断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关 系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足. （2）独立性检验的基本思想. 1、独立性检验.
占的比例 利用随机变量 k 2 （ k 2 ?

n(ad ? bc) 2 ，其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

容量）来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验 . 2、独立性检验的基本思想 独立性检验的基本思想类似于反证法. 要判断“两个分类变量有关系” ，首先假设该 结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立. 在假设下我们所构造的随机 变量 k 2 应该很小，若由观测数据计算得到的 k 2 的观测值 k 很大，则说明假设不成立，即 认为“两个分类变量有关系” ；若观测值 k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据
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拒绝假设. 3、独立性检验的做法 ① 根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 ? ，然后查表
P ( k 2 ≥ k0 )
0.50
0.455

0.40
0.708

0.25
1.323

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

k0

确定临界值 k 0 . ② 利用公式 k 2 ?

n(ad ? bc) 2 ，计算随机变量 K 2 的观测值 k . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

③ 如果 k ≥ k 0 ，就推断“ X 与 Y 有关系” ，这种推断犯错误的概率不超过 ? ；否则，就认 为在犯错误的概率不超过 ? 的前提下不能推断“ X 与 Y 有关系” ，或者在样本数据中没 有发现足够证据支持结论“ X 与 Y 有关系”. 二、新课导学 学习探究一、列联表和等高条形图的应用 【例 1】 某学校对高三学生做了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学 生 426 人中有 332 人在考试前心情紧张，性格外向的学生 594 人中有 213 人在考 试前心情紧张. 作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有 关系. 【解析】作列联表如下：
考前心情紧张 考前心情不紧张

总 计

性格内向 332 94 426
y

性格内向 213 381 594
1.0 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 ? O

总 计 545 475 1020

相 高条形图如图所示： 图中阴影部分表示考前心情紧张与 考前心情不紧张中性格内向的比例. 从图中可以看出考前紧张的样本中 性格内向占的比例比考前心情不紧 张样本中性格内向占的比例高，可 以认为考前紧张与性格类型有关. 【跟踪训练】 为了研究子女吸 烟与父母吸烟的 关系，调查了一 千多名青少年及 其家长，数据如 下：

应的等
性格外向 性格内向

考前心 情紧张

考前心 情不紧张

x

父母吸烟 子女吸烟 子女不吸烟
总 计 237 678 915

父母不吸烟
83 522 605

总 计 320 1200 1520

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利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？ 学习探究二、独立性检验的原理 【例 2】 打鼾不仅影响别人休息， 而且可能与患某种疾病有关. 下表是一次调查所得的数据：
每晚都打鼾 没晚不打鼾

总 计

患心脏病 30 24 54

未患心脏病 224 1355 1579

总 计 254 1379 1633

根据列 性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为每晚都 打鼾与患心脏病有关系？ 【解析】由列联表中的数据，得 K 的观测值为
2

联表的独立

k?

2 1633 ? （30 ?1355 ? 224 ? 24） ? 68.033 ? 10.828 . 254 ?1379 ? 54 ?1579

因此， 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下， 认为每晚都打鼾与患心脏病有关系. 【例 3 贴近高考】 某工厂有工人 1000 名， 其中 250 名工人参加过短期培训 （称为 A 类工人） ， 另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样的方法 （按 A 类、B 类分两层）从该工厂的工人中抽取 100 名工人，调查他们的生产 能力（此处生产能力指一天加工的零件数） ，结果如下表： 表 1：A 类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组 人 数 [110，120) 8 [120，130) [130，140) 3 [140，150) 2

x

表 2：B 类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组 人 数 [110，120) 6 [120，130) [130，140) 27 [140，150) 18

y

（1）确定 x ， y 的值； （2）完成下面 2×2 的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？
工人类别
生产能力分组

[110，130） [130，150）

总 计

A 类工人 B 类工人 总 计

附： k 2 ?

n(ad ? bc) 2 ， (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
P ( k 2 ≥ k0 )
0.050 0.010 0.005 0.001

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k0

3.841

6.635

7.879

10.828

【规范解答】 （1）∵从该工厂的工人中抽取 100 名工人，且该工厂中有 250 名 A 类工人， 750 名 B 类工人， ∴要从 A 类工人中抽取 25 名，从 B 类工人中抽取 75 名.....................................2 分 ∴ x ? 25 ? 8 ? 3 ? 2 ? 12 ， y ? 75 ? 6 ? 27 ? 18 ? 24 .............................................4 分 （2）根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：
工人类别
生产能力分组

[110，130） [130，150）

总 计

A 类工人 B 类工人 总 计

20 30 50

5 45 50

25 75 100 ............6 分 由列联表

中的数据，得 K 的观测值为
2 100 ? （20 ? 45 ? 5 ? 30） ? 12 ? 10.828 . .......................................................................10 分 25 ? 75 ? 50 ? 50 因此， 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.

2

k?

......................................................................12 分。 三、当堂检测 1、关于独立性检验的叙述不正确的是 （ C ） A. 独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B. 独立性检验的思想来自统计上的检验思想，与反证法类似 C. 独立性检验和反证法都是假设结论不成立，再根据是否能够推出“矛盾”来判断结 论是否成立，二者“矛盾”含义相同 D. 独立性检验思想中的“矛盾”是指在假设结论不成立的前提下，推出有利于结论成 立的小概率事件的发生 【解析】独立性检验和反证法中的“矛盾”不同：前者是指不合逻辑的小概率事件的发生， 后者是指不合逻辑的事件发生. 2、独立性检验所采用的思路是：要研究 A、B 两类变量彼此相关，首先假设这两类变量彼 此 . 在此假设下构造随机变量 K 的观测值，如果 K 的观测值较大，那
2 2

么在一定程度上说明假设 . 【解析】无关 不成立 3、在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ① 若 K 的观测值 k ? 6.635 ，在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患肺
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病有关系，那么在 100 个吸烟人中必有 99 人患肺病； ② 从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患肺病有关 系时，若某人吸烟，则他有 99 0 0 的可能患有肺病； ③ 从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为吸烟与患肺病有关
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系时，是指有 5 0 0 的可能性使得推断错误. 其中说法正确的是
2

.

【解析】 K 是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有 关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错 误；说法 ③正确. 4、在一次天气恶劣的飞机航行中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有 24 人，不晕机的有 31 人；女乘客晕机的有 8 人，不晕机的有 26 人. 能否在犯错误的概 率不超过 0.10 的前提下推断：在天气恶劣的飞机航行中，男乘客比女乘客更容易晕机？ 【解析】由已知条件得出下列 2×2 的列联表： 晕机 男乘客 女乘客
总 计 24 8 32

不晕机
31 26 57

总 计 55 34 89

由公式 k 2 ?

2 n(ad ? bc) 2 89 ? （24 ? 26 ? 31 ? 8） ? ? 3.6 8 9? 2.7 0 6 . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d ) 55 ? 34 ? 32 ? 57

故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航行中，男乘客 比女乘客更容易晕机”.

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