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2014年1月山东济南市高三教学质量调研考试数学(文科)试题及答案(一模)


济南市 2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(文科) (2014.1)
本试卷分为第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分,共 4 页,考试时间 120 分钟, 满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 1.棱锥的体积公式: V ?

1 s ? h (S 为棱锥的底面面积,h 为棱锥的高) 3
2 2

( x ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ?( x n ? x) 2.样本数据 x1 , x 2 , ? x n 的方差公式: s ? 1 (其 n
中 x 为样本平均数) 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? A.l

1 ? 3i ,则 z 的实部为 1? i
B.2 C . -2 D. -1

2.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 1}, N ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 N ? (CU M ) 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?2 ? x ? 0} B. {x | 1 ? x ? 3} D. {x | x ? ?2或x ? 3}

3.为了调查城市 PM2.5 的情况,按地域把 48 个城市分成大型、中型、小型三组,对应 的城市数分别为 8,16,24.若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则中型组中应抽取的城市数 为
高三数学(文科)第 1 页 共 10 页

A.3 C.5

B.4 D.6

4.执行右面的程序框图.若输入 n=7,则输出的值为

A.2 C.4

B.3 D.5

5.已知 {a n } 为等差数列,且 a 2 ? a8 ? 8 , a6 ? 5 则 Sl0 的值为 A.50
x ?x

B.45

C.55

D.40

6.函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是

7.把函数 y ? sin(2 x ?

? ? ) 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸 3 6
B. y ? sin 4 x

长到原来的 2 倍,则所得图象对应的函数解析式是 A. y ? sin x C. y ? sin(4 x ?

? ) 3

D. y ? sin(x ?

? ) 6

8.已知命题 p: ?a ? R ,且 a>0,有 a ? 下列判断正确的是 A.p 是假命题 C. p ∧ (?q) 是真命题

1 ? 2 ,命题 q: ?x ? R , sin x ? cos x ? 3 ,则 a
B.q 是真命题 D. (?p) ∧ q 是真命题

9.已知直线 l1: (1 ? a) x ? ay ? 2 ? 0 ,l2: ax ? (2a ? 1) y ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a 的值 为 A.0 或 2 B.0 或一 2 C.2 D.-2

高三数学(文科)第 2 页 共 10 页

? y ? 1, ? 10.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2 11 . 已 知 双 曲 线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近 线 均 与 圆 a 2 b2
C:x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于
A.

3 2

B.

6 2

C.

3 5 5

D.

5 5

12 .设函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (4 ? x) ? f (? x) , 当 x ? (??,2] 时 , 有

f ( x) ? 2 ? x -5.若函数 f ( x) 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z) 上有零点,则 k 的值为
A.-3 或 7 B.-4 或 7 第Ⅱ卷(非选择题 C.-4 或 6 共 90 分) D.-3 或 6

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . 已 知 两 点 A(?1,0) , B(1,3) , 向 量 a ? ( 2k ? 1,2) , 若 AB // a , 则 实 数 k 的 值 为 . 14.若 a1,a2,?a10 这 10 个数据的样本平均数为 x ,方差为 0.33,则 a1,a2,?a10, x 这 11 个数据的方差为________. 15.一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为 6 3 ,则这个三棱柱的体积 为________.

16.给出下列命题 ①在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的充要条件; ②设 m,n 是两条直线,α,β 是空间中两个平面.若 m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ; ③函数 f(x)= cos x 是周期为 2π 的偶函数; ④已知 定 点 A(1,1), 抛物 线 y2 =4x 的焦点 为 F, 点 P 为抛物线上 任意一点 , 则

| PA | ? | PF | 的最小值为 2;
以上命题正确的是________(请把正确命题的序号都写上)
高三数学(文科)第 3 页 共 10 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 cos( ? A) ? (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=12,b=6,求 a 的值.

? 4

2 . 10

18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人分别 从盒子中随机不放回的各抽取一张. (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概 率.

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,N 为线段 PB 的中点,G 在线段 BM 上,且 (Ⅰ)求证:AB⊥PD; (Ⅱ)求证:GN//平面 PCD.

BG ? 2. GM

20.(本小题满分 12 分) 设正项数列 { an } 为等比数列,它的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 a1+ S2= a3. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)已知 { an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn.
n

b

高三数学(文科)第 4 页 共 10 页

21.(本小题满分 12 分)

6 x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 3 . a b 3
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k x ?

1 交椭圆 C 于 A、 B 两点,试问: 在 y 轴正半轴上是否存在一个定 2

点 M 满足 MA ? MB ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? 3x , g ( x) ? x ln x 3 2

(Ⅰ)当 a=4 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 g(x)在区间 [t , t ? 1](t ? 0) 上的最小值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ? [ , e]( x1 ? ? x2 ) ,使方程 f ( x) ? 2 g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围


1 e

(其中 e=2.71828?是自然对数的底数)

高三数学(文科)第 5 页 共 10 页

2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(文科)试题答案
一、选择题: 1.D 2.B 3.B 二、填空题: 13. 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10. A 11.C 12.D

7 6

14.

0.3

15.

12 3

16.

①④

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由 cos( ? A) ?

?

4

2 2 2 (sin A ? cos A) ? 得 10 2 10

所以 sin A ? cos A ?
2 2

1 ??????????????3 分 5

又 sin A ? cos A ? 1

4 ????????????????6 分 5 1 (Ⅱ) S ? bc sin A ? 12 ,又 b ? 6 ,解得 c ? 5 ,????????8 分 2 1 3 4 由 sin A ? cos A ? , sin A ? 得 cos A ? ? ????????9 分 5 5 5 3 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 36 ? 25 ? 2 ? 6 ? 5 ? (? ) ? 97 ????????11 分 5
解得 sin A ? ∴ a ? 97 .?????????????????????12 分 18. 解: (Ⅰ)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张,基本事件有

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), , (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1)(4,2), (4,3), (4,5) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) 共 20 个???????????????2 分
设事件 A ? “甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数” 则事件 A 包含的基本事件有 (1,3), (1,5), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (5,1), (5,3) 共 8 个???4 分 所以 P( A) ?

8 2 ? .????????????????6 分 20 5

(Ⅱ)剩下的三边长包含的基本事件为:

(1, 2,3),(1, 2, 4),(1, 2,5),(1,3, 4),(1,3,5), (1, 4,5),(2,3, 4),(2,3,5),(2, 4,5),(3, 4,5) 共 10 个;
????????????????????8 分 设事件 B ? “剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“ 则事件 B 包含的基本事件有: (2,3,4), (2,4,5), (3,4,5) 共 3 个????????10 分
高三数学(文科)第 6 页 共 10 页

所以 P ( B ) ?

3 .????????12 分 10
P

备注:第二问也可看做 20 个基本事件,重复一倍。 19. (Ⅰ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AB ,?????? 2 分 又因为 AD ? AB ,所以 AB ? 平面 PAD ,????????4 分 又 PD ? 平面 PAD ,所以 AB ? PD .????????6 分 (Ⅱ)因为 ?ABC 是正三角形,且 M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,???????????????? 7 分 在直角三角形 AMD 中, ?MAD ? 30 ,所以 MD ?
?

N A D G B M C

1 AD , 2

在直角三角形 ABD 中, ?ABD ? 30 ,
?

所以 AD ? 又因为

1 1 BD ,所以 MD ? BD ,???????????????10 分 2 4

BG ? 2 ,所以 BG ? GD ,又 N 为线段 PB 的中点,所以 GN // PD , GM GN ? 平面 PCD , PD ? 平面 PCD ,所以 GN // 平面 PCD ????????12 分

20. 解:(Ⅰ)设在等比数列 ? an ? 中,公比为 q , ∵ a1 ? S 2 ? a3 ∴ 2a1 ? a2 ? a3 ∴ 2a1 ? a1q ? a1q
2

????????2 分

解得 q ? 2 或 q ? ?1(舍) ????????4 分 所以 an ? 2
n ?1

????????????6 分

(Ⅱ)由已知得:

bn ? 2n ? 1 ,则 bn ? (2n ? 1) ? 2n ?1 .????????7 分 an

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ①???????????9 分 2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ②????????10 分
②—①,得
2 n ?1 n n ?1 n Tn ? ?1 ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? ?1 ? 4 ?1 ? 2 ? +(2n ? 1) ? 2

? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ????????????????12 分

高三数学(文科)第 7 页 共 10 页

21. 解: (I)由题意得 解得 a ?

e?

c 6 , 2a ? 2 3 ??????????????2 分 ? a 3

3, b ? 1 ????????????????3 分

椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????????????????4 分 3

(II)当 k ? 0 时,直线 y ? ?

1 3 1 3 1 与椭圆交于两点的坐标分别为 A( ,? ) , B(? ,? ) 2 2 2 2 2

设 y 轴上一点 P(0, t ) ,满足 PA ? PB , 即 PA ? PB ? 0 , ∴ ( ,?

3 2

1 3 1 , ? t ) ? (? ,? ? t ) ? 0 解得 t ? 1 或 t ? ?2 (舍) 2 2 2

则可知 P(0,1) 满足条件,若所求的定点 M 存在,则一定是 P 点.????????6 分 下面证明 M (0,1) 就是满足条件的定点. 设直线 y ? k x ?

1 交椭圆于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) . 2
消去y得 : (12k 2 ? 4) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ??????8 分

1 ? y ? kx ? ? ? 2 由题意联立方程 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?3

12 k ? x1 ? x 2 ? ? ? 12 k 2 ? 4 ????????????9 分 由韦达定理得, ? ?x x ? ? 9 1 2 ? 12 k 2 ? 4 ?

又因为MA ? ( x1 , y1 ? 1), MB ? ( x 2 , y 2 ? 1)
∴ MA ? MB ?

???? ????

3 3 x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) 2 2

3 9 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 4 ?9 3 12 k 9 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ? 0 ????????????11 分 2 2 12 k ? 4 2 12 k ? 4 4
∴ MA ? MB ,即在 y 轴正半轴上存在定点 M (0,1) 满足条件. ??????12 分 解法 2: 设 y 轴上一点 M (0, t ) ,满足 MA ? MB , 即, MA ? MB ? 0 ????????5 分

高三数学(文科)第 8 页 共 10 页

设直线 y ? k x ?

1 交椭圆于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) . 2
消去y得 : (12k 2 ? 4) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ??????7 分

1 ? y ? kx ? ? ? 2 由题意联立方程 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?3

12 k ? x1 ? x 2 ? ? ? 12 k 2 ? 4 ????????????8 分 由韦达定理得, ? ?x x ? ? 9 1 2 ? 12 k 2 ? 4 ?

又因为MA ? ( x1 , y1 ? t ), MB ? ( x 2 , y 2 ? t )
∴ MA ? MB ?

???? ????

1 1 x1 x2 ? ( y1 ? t )( y2 ? t ) ? x1 x2 ? (kx1 ? ? t )(kx2 ? ? t ) 2 2

1 1 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? t )k ( x1 ? x2 ) ? ( ? t ) 2 2 2 ?9 1 12 k 1 ? (1 ? k 2 ) ? ? ( ? t )k ? ? ( ? t ) 2 ? 0 ???????????10 分 2 2 12 k ? 4 2 12 k ? 4 2 1 1 1 2 2 2 整理得, k [12( ? t ) ? 12( ? t ) ? 9] ? 9 ? 4( ? t ) ? 0 2 2 2 1 1 2 由对任意 k 都成立,得 12( ? t ) ? 12( ? t ) ? 9 ? 0 2 2 1 2 且 ? 9 ? 4( ? t ) ? 0 2 解得 ???????????11 分 t ?1
说以存在点 M (0,1) 满足 MA ? MB .
2

???????????12 分

22. 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ? x ? ax ? 3 ??????????????1 分 当 a ? 4 时, f ? ? x ? ? ? x ? 4 x ? 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 1 ? x ? 3 ???????2 分
2

∴当 a ? 4 时, f ? x ? 的单调增区间为 ?1, 3 ? ,单点减区间为 ? ??,1? , ? 3, ?? ? .???3 分 (Ⅱ) g ? ? x ? ? lnx ? 1 , 令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ①当 t ?

1 ????????????4 分 e

1 时,在区间 ? t , t ? 1? 上 g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为增函数, e

∴ g ? x ?min ? g ? t ? ? t ln t ??????????????????5 分 ②当 0 ? t ?

1 ? 1? 时,在区间 ?t , ? 上 g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为减函数,?????6 分 e ? e?
高三数学(文科)第 9 页 共 10 页

在区间 ? , t ? 1? 上 g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为增函数,????????7 分 ∴ g ? x ?min ? g ? ? ? ?

?1 ?e

? ?

?1? ?e?

1 ??????????????8 分 e

2 (III) 由 f ? ? x ? ? 2 g ? x ? 可得 ? x ? ax ? 3 ? 2 x ln x

∴ a ? x ? 2 ln x ?

3 , ??????????????9 分 x

令h ( x) ? x ? 2 ln x ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 ,则 h?( x) ? 1 ? ? 2 ? ???10 分 x x x x2

x
h?( x) h( x )

?1 ? ? ,1? ?e ? ?
单调递减

1
0
极小值

(1,e)

?
单调递增 ???????????? 12 分

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? e ? 2 ? e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 ????????????????13 分 e e
∴实数 a 的取值范围为 ? 4, e ? 2 ? ? e

? ?

3? ?

????????????????? 14 分

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