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高中三角函数公式大全及经典习题解答



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三角函数 知识点梳理:

高二数学

⒈L 弧长= ? R= 180 ⒉正弦定理:

nπR

S 扇= 1 LR= 1 R2 ? = n? ? R
2 2

2

360

b c a = = = 2R(R

sin A sin B sin C

为三角形外接圆半径) b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc

⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C
2 2 2 2 4R

⒋S⊿= 1 a ? ha = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C
=

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin A 2 sin B 2 sin C
2

(其中 p ? 1 (a ? b ? c) , r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴商的关系:① tg? = y = sin?
x
③ sin ? ?

cos ?

= sin ? ? sec ? ② ctg? ?

x cos? ? ? cos? ? csc ? y sin ?

y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r

④ sec ? ?

r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?
r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑤ cos ? ?

⑥ csc ? ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc? ? cos? ? sec? ? tg? ? ctg? ? 1 ⑶平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1 ⑷ a sin ? ? b cos? ?
a 2 ? b2 sin(? ? ? )
a

(其中辅助角 ? 与点( a,b )

在同一象限,且 tg? ? b ) ⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 ) 振幅 A,周期 T= 2? , 频率 f= 1 , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ?
?
T

⒎五点作图法: 令 ?x ? ? 依次为 0 ? , ? , 3? ,2? 求出 x 与 y,
2 2



点 ?x, y ? 作图 ⒏诱导公试 sin -?
? -?
? +?

cos

tg

ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

三角函数值等于 ? 的同 名 三角函数值,前面加 上一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号; 即:函数名不变,符号 看象限

- sin ?

+ cos? - tg? - tg? + tg?

+ sin ? - cos? - sin ? - sin ? - cos?

2? -? 2k ? + ?

+ cos? - tg?

+ sin ? + cos? + tg?

sin
?
2 ??

con

tg

ctg

三角函数值等于 ? 的异 名 三角函数值,前面加 上一个把 ? 看作锐角时, 原三角函数值的符号; 即:函数名改变,符号 看象限

+ cos? + sin ? + ctg ? + tg? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - ctg ? - tg?

?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ ctg ? + tg? - tg?

+ sin ? - ctg ?

⒐和差角公式
① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tg (? ? ? ) ?
tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ④ tg? ? tg? ? tg(? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

⑤ tg (? ? ? ? ? ) ?

tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg?

i). tgA ? tgB ? tgC ? tgA? tgB ? tgC

ii). tg tg

A 2

B A C B C ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2

⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2 sin ? cos? ?
2tg? 1 ? tg 2?

② cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ③ tg 2? ?
2tg? 1 ? tg 2?

1 ? tg 2? 1 ? tg 2?

④ sin 2 ? ?

tg 2? 1 ? cos 2? ? 2 1 ? tg ? 2

⑤ cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
3tg? ? tg 3? ③ tg 3? ? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) ① sin ? ?
2

? 2

?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos ? ?
2

?

1 ? cos? 2

④ cos 2

?
2

?

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin 2
? ? ?

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

⑦ 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin
2 2 2

?
2

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:
sin ? cos ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2

cos ? cos ? ?

1 ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? 1 ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2

⒕和差化积公式: ① sin ? ? sin ? ? 2 sin
???
2 cos

???
2

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
2

③ cos ? ? cos ? ? 2 cos
例题:

???
2

cos

???
2

④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

???
2

π 4 1.已知 x∈(-2 ,0),cosx=5 ,则 tan2x 等于 7 A. 24 7 B.-24 24 C. 7 24 D.- 7





π π 2. 3 cos12 -sin12 的值是 A.0 B.- 2 C. 2 D.2





5 3 10 3.已知 α,β 均为锐角,且 sinα= 5 ,cosβ= 10 ,则 α+β 的值为 π 3π A. 4 或 4 3π B. 4 π C. 4

( π D.2kπ+4 (k∈Z) (



4. sin15°cos30°sin75°的值等于 3 A. 4 3 B. 8 1 C. 8 1 D. 4



π 5.若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin12 )等于 1 A. 2 1 B.-2 3 C.- 2 3 D. 2





6. sin(x+60°)+2sin(x-60°)- 3 cos(120°-x)的值为 1 A. 2 3 B. 2 C.1

( D.0



1 7. 已知 sinα+cosα=3 ,α∈(0,π), 那么 sin2α,cos2α 的值分别为 8 17 A. 9 , 9 8 17 C.-9 ,- 9 8.在△ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.直角三角形 8 17 B.-9 , 9 8 17 D.-9 ,± 9





( B.钝角三角形 D.不能确定



π π cos( 4 +α)-sin(4 +α) 9. 化简 的结果为 π π cos( 4 -α)+sin(4 -α) A.tanα B.-tanα C.cotα





D.-cotα ( D.1 )

10. 已知 sinα+sinβ+sinγ=0, cosα+cosβ+cosγ=0, 则 cos(α-β)的值为 1 A.-2 1 B. 2 C.-1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) sin70+cos150sin80 11. 的值等于_____________. cos70-sin150sin80 1-tanA π 12.若 =4+ 5 ,则 cot( 4 +A)=_____________. 1+tanA 4 π π π π 13.已知 tanx=3 (π<x<2π),则 cos(2x-3 )cos(3 -x)-sin(2x-3 )sin(3 -x)=_____. π π π π 14.sin(4 -3x)cos( 3 -3x)-cos(6 +3x)sin(4 +3x)=_____________. 2 π 1 π π 15.已知 tan(α+β)=5 ,tan(β-4 )=4 ,则 sin(α+4 )· sin(4 -α)的值为____________. α-β β β α 16.已知 5cos(α-2 )+7cos2 =0,则 tan 2 tan2 =_____________. 1. 下列函数中, 最小正周期为 π 的偶函数是 A.y=sin2x C.y=sin2x+cos2x 2. 设函数 y=cos(sinx), 则 A.它的定义域是[-1,1] C.它的值域是[-cos1,cos1] x B.y=cos2 D.y= 1-tan2x 1+tan2x ( B.它是偶函数 D.它不是周期函数 ) ( )

3.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两 π 倍,然后把图象向左平移4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 ( ) A.y=2sin2x B.y=-2sin2x

π C.y=2cos(2x+4 )

x π D.y=2cos(2 +4 ) ( 4π D. 3 ( ) )

π 4. 函数 y=2sin(3x-4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π A. 3 2π B. 3 C.π

5. 若 sinα+cosα=m, 且- 2 ≤m<-1, 则 α 角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

π 12 π π 17.已知 cos(α-6 )=13 ,6 <α<2 ,求 cosα.

π 18 .已知 sin 2 2 α + sin2 α cos α - cos2 α = 1 , α ∈ (0 , 2 ) ,求 sin α 、 tan α .

A C A C 19.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan 2 +tan2 + 3 tan 2 tan2 的值. 12 17 2 3 3 20.已知 cosα=-13 ,cos(α+β)= 26 ,且 α∈(π,2 π),α+β∈(2 π,2π),求 β.



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