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第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案



第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题
(2006 年 9 月 3 日)

本卷共九题,满分 200 分
一、 (20 分,每小题 10 分) 1. 如图所示, 弹簧 S1 的上端固定在天花板上, 下端连一小球 A, 球 A 与球 B 之间用线相连。 球 B 与 球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC,弹

簧与线的质量均可不计。开始时它 们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。

2. 两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极如图所示,开始时平板及磁铁皆处于水平 位置,且静止不动。 (ⅰ)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触) ,并使之停在 A ?B? 处,结果发现两个 条形磁铁碰在一起。 (ⅱ)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移,并使之停在 A ??B?? 位置,结果发现两条形磁铁也碰在一 起。 试定性地解释上述现象。

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 1 页

二、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1. 老爷爷的眼睛是老花眼。 (ⅰ)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路 示意图。 (ⅱ)带了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

图1

2. 有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4。已知, f1>f2>| f3 |>| f4 |。如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放大 倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为_________的透镜作为物镜,应选焦距为________的透镜作为目 镜。

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 2 页

三、 (20 分,第一小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1. 如图所示, 电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处, 电荷量为 q2 的正点电荷固定在 x 轴上, 两电荷相距 l 。已知 q2=2q1。 (ⅰ)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (ⅱ)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动 和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。

2. 有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变化的图线如图 1 所示,试在图 2 中画出该静电场 的场强 E 随 x 变化的图线(设场强沿 x 轴正方向时取正值,场强沿 x 轴负方向时取负值) 。

图1

图2

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 3 页

四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处在大 气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管长 L >H 。现把细管弯成 L 形,如图 所示。假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中 的气体泄出。当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管的水 银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。

五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负 电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质 量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件,即

mrv ? n

h 2?

式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,……;h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 4 页

六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1 轮的辐条长 为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径 为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕 足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P 。当 P 下落时,通 过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。 转动过程中, A1、 A2 保 持接触, 无相对滑动; 两轮与各自细轴之间保持良好的电接触; 两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外, 所有金属的电阻都不计。 整个装置处在 磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行。现将 P 释放,试求 P 匀速下落时的速度。

七、 (25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R, 圆筒的轴线在 O 处。圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应 强度为 B 。筒壁的 H 处开有小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、 电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒,经 与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P 与筒壁碰撞是弹性的, P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少,问: 1. P 的速率应为多少? 2. P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

八、 (25 分)图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 5 页

平的,截面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小 球,初始时,手持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0,使
2 小球与 CB 边无接触地向下运动,当 v0 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?

2 1. v0

? 2(6 2 ? 3 3 ?1) gl

2 2. v0 ? 2(3 3 ?11) gl

设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。

九、 (25 分)从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量最少。假 定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作 椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E ? ?G

Mm 2a

式中 M 为地球质量,G 为引力常量。 1. 假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用 速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示) 。 2. 若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? 3. 试导出 E ? ?G

Mm 。 2a

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准
第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 6 页

一、参考解答: 1. 线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力

F1 ? (mA ? mB ? mC ) g
弹簧 S2 的弹力

(1)

F2 ? mC g

(2)

在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变化,但线的拉 力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC ,则有

F1 ? mA g? m A a A F2 ? mB g ? mBaB
F2 ? mC g ? mCaC
解以上有关各式得

(3) (4) (5)

aA ? aB ?

mB ? mC g mA mB ? mC g mB

方向竖直向上

(6)

方向竖直向下

(7)

aC ? 0

(8)

2. 开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 (ⅰ)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加速移动,板与 磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在 这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小, 最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板 相向运动并吸在一起。接着,磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直到停在 A ?B? 处。在 这过程中,磁铁对板的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹 力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 (ⅱ)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初,板和磁铁一起作加速度 方向向上、速度向上的运动,在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每个磁铁的磁力与 静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动。接着,磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上 的运动,直到停在 A ??B?? 处。在这过程中,磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小,向下的加速度 愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小 于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准: (本题 20 分) 1. 10 分。 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2. 10 分。 (ⅰ)5 分, (ⅱ)5 分(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不 给分) 。 二、参考答案 1. 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 7 页

(ⅰ)

(ⅱ)

图1

图2

(ⅲ)

1 3

2. f1,f4 。 评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分。 (ⅰ)4 分, (ⅱ)4 分, (ⅲ)4 分。 2. 8 分。两个空格都填对,才给这 8 分,否则 0 分。 三、参考解答:

1. (ⅰ) 通过对点电荷场强方向的分析, 场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。 设 P 点的坐标为 x0, 则有

k
已知

q1 q2 ?k 2 x0 (l ? x0 ) 2

(1)

q2 ? 2q1
由(1) 、 (2)两式解得

(2)

x0 ? ( 2 ?1)l

(3)

(ⅱ)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分 别为

E10 ? k

q1 2 x0

E20 ? k

q2 (l ? x0 )2

且有 E10=E20 二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零,故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧

x ? x0 ? ?x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为
??k E1 ? ?k E2 q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2
方向沿 x 轴正方向

方向沿 x 轴负方向

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 8 页

? ? E1 ? , x ? x0 ? ?x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 x ? x0 ? ?x 由于 E2
处 q1、q2 的场强的大小分别为

??? k E1 ?? ? k E2

q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2

方向沿 x 轴正方向

方向沿 x 轴负方向

?? ? E1?? , x ? x0 ? ?x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。 由于 E2
由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向都指 向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时,P 点是 q0 的稳定 平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不 稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两侧附近, 点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点,因而带正电的点电荷在 P 点 附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点, 所以, 当 q0>0 时, P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2.

评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分 (ⅰ)2 分 (ⅱ)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时,正确论证 q0>0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 3 分;正 确论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分(未列公式,定性分析正确的同样给分) 。 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时, 正确论证 q0>0 , P 点是 q0 的不稳定平衡位置, 占 2 分; 正确论证 q0<0 ,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分。 2. 8 分。纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同,正确的同样 给分。 四、参考解答 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后,气柱将因水银 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 9 页

柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x) ,根据波意耳定律,此时空气柱长 度

L? ?

HL H?x L x H?x

(1)

空气柱上表面与管口的距离

d ? L ? L? ? d ?1 H?x

(2)

开始时 x 很小,由于 L>H,故

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止。何时水 银柱表明与管口相平,可分下面两种情况讨论。 1. 水银柱表明与管口相平时,水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x ? l ,由波意耳定律有

( H ? x)( L ? x) ? HL
由(3)式可得

(3)

x ? L?H 由此可知,当 l ? L ? H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值

(4)

xmax ? L ? H
2. 水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x>l ,由波意耳定律有

(5)

( H ? l )( L ? x) ? HL
Ll H ?l Ll l?x? H ?l x?
由(8)式得

(6) (7) (8)

l ? L ? H ,或 L ? H ? l L x ? L?H ? L?H H ?l
即当 l ? L ? H 时,注入水银柱的最大长度 x ? xmax 。

(9) (10)

由上讨论表明,当 l ? L ? H 时,可注入的水银量最大,这时水银柱的长度为 xmax ,即(5)式。 评分标准: (本题 20 分) 正确论证 l ? L ? H 时可注入的水银量最大,占 13 分。求出最大水银量占 7 分。若论证的方法与参 考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为 力是电子作圆周运动所需的向心力,即

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e ,正、负电子间的库仑 2

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 10 页

k

e2 v2 ? m r2 (r / 2)

(1)

正电子、负电子的动能分别为 EK? 和 EK? ,有

EK ? ? E K ? ?

1 2 mv 2

(2)

正、负电子间相互作用的势能

EP ? ?k
电子偶素的总能量

e2 r

(3)

E ? EK? ? EK? ? EP
由(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)各式得

(4)

1 e2 E?? k 2 r
根据量子化条件

(5)

mrv ? n

h 2?

n=1,2,3,……

(6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关。有(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为

rn ?

n2h2 2? 2 ke 2 m

n=1,2,3,……

(7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为

En ? ?

? 2 k 2e4 m
n2 h2

n=1,2,3,……

(8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为

E1 ? ?

? 2 k 2e4 m
h2

(9)

n=2 是第一激发态,与基态的能量差

?E ?

3 ? 2 k 2e4 m 4 h2

(10)

评分标准: (本题 20 分) (2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过两个轮子之 间无相对运动的接触, A1 带动 A2 作顺时针的加速转动。 由于两个轮子的辐条切割磁场线, 所以在 A1 产 生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭合电路。 A1 、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力。不难看出,安培力产生的电磁 力矩是阻力矩,使 A1 、A2 加速转动的势头减缓。A1 、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 11 页

逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均 作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度

?1 ?

v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度

?2 与 A1 的角速度 ?1 之间的关系为
(2)

?1a1 ? ?2a2
A1 中每根辐条产生的感应电动势均为

E1 ?

1 2 Ba1 ?1 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为

E2 ?

1 2 Ba2? 2 2 R1 4 R2 4

(4)

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联,其数值为

R A1 ?

(5)

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联,其数值为

RA 2 ?

(6)

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为

I?

E1 ? E1 R ? RA1 ? RA1

(7)

以(1)至(6)式代入(7)式,得

? 1 ? ? ? Ba1 (a1 ? a1 )v 2 a I?? 0? ?R ? ?R ? R?? 1 ??? 2 ? ? 4? ? 4 ?
R R ? ? mgv ? I 2 ? R ? 1 ? 2 ? 4 4 ? ?
以(8)式代入(9)式得
2 mg (4R ? R1 ? R2 )a0 v? 2 B2 a1 (a1 ? a1 )2

(8)

当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即 (9)

(10)

评分标准: (本题 25 分) (1) 、 (2)式各 2 分, (3) 、 (4)式各 3 分, (5) 、 (6) 、 (7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10)式 3 分。 七、参考答案:

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 12 页

1. 如图 1 所示, 设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外, 带电粒子 P 带 正电,其速率为 v 。P 从小孔射入圆筒中,因受到磁场的作用力而偏离 入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞,是不可能从小孔射出圆筒的。但 与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出。造此情形中,P 在筒内的路 径由三段等长、等半径的圆弧 HM、MN、和 NH 组成。现考察其中一 段圆弧 MN, 如图 2 所示。 由于 P 沿筒的半径方向入射, OM 和 ON 均 与轨道相切,两者的夹角

?? ?
设圆弧的圆半径为 r ,则有

2 3

(1)

图1

qvB ? m

v2 r

(2)

圆弧对轨道圆心 O? 所张的圆心角

??
由几何关系得

?
3

(3)

r ? R cot

?
2

(4)

解(2) 、 (3) 、 (4)式得

v?

3qBR m

(5) 图2

2. P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为

s ? ?r
经历时间为

(6)

t1 ?

s v

(7)

P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为

t ? 3t1
由以上有关各式得

(8)

t?

?m
qB

(9)

评分标准: (本题 25 分) 1. 17 分。 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)式各 3 分, (5)式 5 分。 2. 8 分。 (6) 、 (7) 、 (8) 、 (9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松弛状态,故从 C 点开始,小球沿竖直方向作 初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点时,绳刚被拉直,匀加速直 线运动终止,此时绳与竖直方向的夹角为 ?=30? 。在这过程中,小球下落的距离

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 13 页

s ? l ? 2l cos? ? l (1 ? 3)
细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:
2 2 v1 ? v0 ? 2gs

(1)

(2)

在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可以不计,而且绳是非弹 性的,故小球沿细绳方向的分速度 v1 cos? 变为零,而与绳 垂直的分速度保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度

? ? v1 sin ? ? v1

1 v1 2

(3)

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点, 如图 1 所示。由(1) 、 (2) 、 (3)式得

图1

1 2 1 2 v?1 ? v0 ? gl (1 ? 3) 4 2
(4) 当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为 ? ,由能量关系有

1 1 2 mv?1 ? mv 2 ? mg ( 3l ? 2l sin ? ) 2 2
用 FT 表示绳对小球的拉力,有

(5)

v2 FT ? mg sin ? ? m 2l
2 1. v0

(6)

? 2(6 2 ? 3 3 ?1) gl
,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v ? u1 。以此代入(5) 、 (6)两式得 ? ? ?1 时(见图 2)
2 v?1 ? u12 ? 2 g ( 3l ? 2l sin ?1 )

设在

(7)

2 u1 g sin ?1 ? 2l

(8)

由(4) 、 (7) 、 (8)式和题设 v0 的数值可求得

?1 ? 45?
u1 ? 2 gl

(9) (10)

即在 ?1=45? 时,绳开始松弛。以 N1 表示此时小球在圆 周上的位置,此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45? 角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平 向右,y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处抛出的时刻作为计 时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为

x ? u1 cos 45?t ?

2 u1t 2

图2

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 14 页

(11)

1 2 1 y ? u1 sin 45?t ? gt 2 ? u1t ? gt 2 2 2 2
由(11) 、 (12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:

(12)

y ? x?g
AD 面的横坐标为

x2 x2 ? x ? 2 u1 2l

(13)

x ? 2l cos 45? ? 2l

(14)

由(13) 、 (14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 (15) 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为

y ? ?(2l sin 45? ? l ) ? ?( 2 ?1)l
把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75 l 撞击点与 D 点的距离为

(16)

(17) (18)

?l ? x ? 2l cos 45? ? 0.35l
2 2. v0

? 2(3 3 ?11) gl
、 (6)式中的 ?1、u1,得 ? ? ?2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v ? u2 ,以此代替(5)
2 2 v?1 ? u2 ? 2g ( 3l ? 2l sin ? 2 )
2 u2 2l

设在

(19)

mg sin ? 2 ? m
2 以 v0

(20)

? 2(3 3 ?11) gl
? 2 ? 90?
u2 ? 2gl

代入(4)式,与(19) 、 (20)式联立,可解得 (21) (22)

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中的拉力不断增 加,拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力,小球将绕以 D 点为圆心,l 为半 径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, (5) 、 (6)式各 1 分, (9) 、 (10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边上,给 3 分, 得出小球能打在 DC 边上,給 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置,給 2 分。求出(21) 、 (22)式 各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再給 2 分。 如果学生直接从抛物线方程和 y ? ?(2l sin 45? ? l ) ? ?( 2 ?1)l 求出 x=1.75 l,同样给分。不必证 明不能撞击在 AD 边上。

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 15 页

九、参考解答: 1. 这是一个大尺度运动, 导弹发射后, 在地球引力作用下, 将沿椭圆轨道运动, 如果导弹能打到 N 点, 则此椭圆一定位于过地心 O、 北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面 (此平面是 C 点所在的子午面) 内,因此导弹的发射速度(初速度 v )必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性,注 意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线,即 图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下 作椭圆运动时,物体和地球构成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系 为

E??

GMm 2a

(1)

要求发射的能量最少, 即要求椭圆的半长轴 a 最短。 根据椭圆 的几何性质可知,椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径是 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小,该椭圆的半 长轴就最小。显然,当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足 处时,C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知

2a ? R ?

2 R 2

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有

E?

1 2 Mm mv ? G 2 R

(3)

解(1) 、 (2) 、 (3)式得

v?


2GM ( 2 ? 1) R

(4)

G

Mm ? mg R2

(5)

比较(4) 、 (5)两式得

v ? 2 Rg ( 2 ? 1)

(6)

代入有关数据得 v=7.2 km/s (7) 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切,根据解析几何知识,从椭圆上一点的切线的垂直线,平分两焦点到 该点连线的夹角 ∠OCP,从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角

? ? 90? ? ? 45? ? 67.5?
2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为

1 2

(8)

vC ?

2? R T

(9)

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600 s=86400 s,故

vC ? 0.46 km/s

(10)

C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC, 为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7) 、 (8)两式的要求,导弹相当于地面( C 点)的发 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 16 页

射速度应有一大小等于 vC,方向与 vC 相反的分速度,以使导弹在此方向相当于地心的速度为零,导弹的 速度的大小为
2 v? ? v 2 ? vC

(11)

代入有关数据得 v?=7.4 km/s (12) 它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7) 、 (8)两式。 3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近地点和远 地点有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm mv1 ? ? mv2 ? 2 r1 2 r2
1 1 r1v1 ? r2v2 2 2

(13)

(14)

式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将(14)式 中的 v1 代入(13)式,经整理得
2 1 2 ? r 2 ? GMm mv2 ? 2 ? 1? ? (r2 ? r1 ) ? r1 ? 2 r1r2 ? ?

(15)

注意到 r1+r2=2a 得 (16)

1 2 GMm r1 mv2 ? 2 2a r2


(17)

E?

1 2 GMm mv2 ? 2 r2
GMm 2a

(18)

有(16) 、 (17) 、 (18)式得

E??

(19)

评分标准: (本题 25 分) 1. 14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, (6) 、 (7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2. 6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3. 5 分。 (13) 、 (14)式各 1 分, (19)式 3 分。

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 17 页



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