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2014高三数学一轮复习:3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式



[备考方向要明了]

考什么

1.能 利用 单位圆 中的三 数基本关系式解决条件求值 π 角函数线推导出 ± α, 问题,主要包括知角求值、 2 π±α 的正弦、余弦、正 知值求角和知值求值. 切的诱导公式. 2.作为一种运用与三角恒等变 2.理解同角三角函数的 换相结合出现在解答题中, 2 基本关系式:sin x+ 主要起到化简三角函数关系 sin x 2 cos x=1, =tan x. 式的作用,如2012年高考 cos x

怎么考 1.利用诱导公式及同角三角函

T15,2011年高考T15.

[归纳 知识整合]
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α =1;

(2)商数关系:tan α= sin α . cos α

[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义?

提示:只要是同一个角,基本关系就成立,不拘泥于角 sin 4α 2α 2α 的形式,如 sin +cos =1,tan 4α= 等都是成立的, 3 3 cos 4α 而 sin2θ+cos2φ=1 就不成立.

2.诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 六 π +α 2

sin α cos α tan α

-sin α -cos α tan α

-sin α sin α cos α -cos α

cos α

cos α

sin α -sin α

-tan α -tan α
函数名改变符号 看象限

函数名不变符号看象限

即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的 同名函数值,前面加上一个把 α 看成 锐角 时原函数值的符 π 号;2± 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数 α 值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.

[探究]

2.有人说sin(kπ-α)=sin(π-α)=sin α(k∈Z),

你认为正确吗? 提示:不正确.当k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)= sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sin α; 当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·π-α]= sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sin α.

3.诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中 的“符号”是否与α的大小有关?
提示:无关,只是把 α 从形式上看作锐角,从而 2kπ π π +α(k∈Z),π+α,-α,π-α, -α, +α 分别是第一, 2 2 三,四,二,一,二象限角.

[自测 牛刀小试] 1 1. (教材习题改编)已知 cos(π+α)= , sin α 的值为_______. 则 2 1 1 解析: cos(π+α)=-cos α= ,∴cos α=- , 2 2
3 ∴sin α=± 1-cos α =± . 2 3 答案:=± . 2 2.tan 690° 的值为________.
2

解析: tan 690° =tan(-30° +2×360° )=tan(-30° )= 3 -tan 30° =- . 3 3 答案:=- . 3

sin α-cos α 3.(教材习题改编)若 tan α=2,则 的值为____. sin α+cos α
sin α-cos α tan α-1 2-1 1 解析: = = = . sin α+cos α tan α+1 2+1 3
1 答案:= . 3

3 4.(教材习题改编)已知 tan α= 3,π<α< π,则 cos α- 2 sin α=________.
3 4 解析:∵tan α= 3,π<α< π,∴α= π, 2 3 4 4 ∴cos α-sin α=cos π-sin π 3 3 3-1 π π 1 3 =-cos +sin =- + = . 3 3 2 2 2 3-1 答案: 2

? 19π? ? 13π? 10π 5.计算 sin - 2cos?- 4 ?+tan?- 3 ?=________. 3 ? ? ? ?
? 4π? 解析: 原式=sin?2π+ 3 ?- ? ? ? π? =sin?π+3 ?- ? ? ? ? 3π? π? 2cos?4π+ 4 ?-tan?4π+3 ? ? ? ? ?

? π? π ?π- ?-tan 2cos 4? 3 ?

π π 3 3 =-sin + 2cos - 3=- +1. 3 4 2

3 3 答案:- +1 2

同角三角函数关系式的应用 1 [例 1] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5
(1)求 tan α 的值;
1 (2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α

[自主解答]

(1)法一: ① ②

1 ? ?sin α+cos α= , 5 联立方程? ?sin2α+cos2α=1, ? 1 由①得 cos α= -sin α, 5 将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0. ∵α 是三角形内角, 4 ? ?sin α=5, ∴? ?cos α=-3, 5 ?

4 ∴tan α=- . 3

1 法二:∵sin α+cos α= , 5 ∴(sin α+cos α)
2

?1?2 =?5? ,即 ? ?

1 1+2sin αcos α= , 25

24 ∴2sin αcos α=- , 25 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ = . 25 25 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25 ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0. 7 ∴sin α-cos α= . 5

?sin α+cos α=1, ? 5 由? ?sin α-cos α=7, 5 ?
4 ∴tan α=- . 3

?sin α=4, ? 5 得? ?cos α=-3, 5 ?

sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α 1 (2) 2 = = = . cos α-sin2α cos2α-sin2α cos2α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tan α=- , 3 ? 4?2 ? ? tan2α+1 ?-3? +1 1 25 ∴ 2 = = ? ? =- . 7 4 cos α-sin2α 1-tan2α 1-?-3?2 ? ?

sin α-4cos α 保持本例条件不变,求:(1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+2sin αcos α 的值.
4 解:由例题可知 tan α=- . 3 4 - -4 sin α-4cos α tan α-4 3 8 (1) = = = . ? 4? 7 5sin α+2cos α 5tan α+2 ? 5×?-3 ?+2 ? ? ? 2 sin α+2sin αcos α 2 (2)sin α+2sin αcos α= sin2α+cos2α 16 8 tan α+2tan α 9 -3 8 = = =- . 16 25 1+tan2α 1+ 9
2

—————

————————————

同角三角函数的关系式及变形方式的应用 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的 sin α 互化,利用 =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. cos α
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α, αcos α, α-cos α 这三个式子, sin sin 利用(sin α± α)2 cos =1± 2sin αcos α,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1 -cos2α,cos2α=1-sin2α.
——————————————————————————

1.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求cos α. 解:∵sin α=2sin β,tan α=3 tan β, ∴sin2α=4sin2β,①

tan2α=9tan2β.②
由①÷②得,9cos2α=4cos2β.③ 由①+③得,sin2α+9cos2α=4. 又sin2α+cos2α=1,

3 6 ∴cos α= ,∴cos α=± . 8 4
2

诱导公式的应用

[例 2]

(1)已知

?π ? cos?6+α?= ? ?

?5π ? 3 ? -α?的值; 3 ,求 cos? 6 ?

3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=-5,求 sin(3π+ ? 7 ? α)· ?α-2π?的值. tan ? ?

[自主解答]

?π ? ?5π ? (1)∵?6+α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ?

?π ? 5π ∴ -α=π-?6+α?. 6 ? ? ? ?5π ? ?π ?? ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ?? ? ?π ? =-cos?6+α?=- ? ?

3 , 3 3 . 3



?5π ? cos? 6 -α?=- ? ?

3 (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α=- , 5

3 ∴cos α= . 5
? 7 ? ∴sin(3π+α)· ?α-2π? tan ? ? ? ?7 ?? ?-tan? π-α?? =sin(π+α)· ?2 ?? ? ?π ? α· ?2-α?=sin tan ? ? ?π ? ? -α? sin 2 ? ? α· ? ? π ? -α? cos 2 ? ?

=sin

cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5

—————

————————————

利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用 公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.

(2)化简要求:①化简过程是恒等变形,②结果要求项数 尽可能少, 次数尽可能低, 结构尽可能简单, 能求值的要求值.
——————————————————————————

2.(1)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,且 α 是第三象
? ? 3π? ?3π sin?-α- 2 ?cos? 2 -α?tan2?π-α? ? ? ? ? 限角,则 = ?π ? ?π ? cos?2-α?sin?2+α? ? ? ? ?

.

(2)



f(α)



2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ?3π ? ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin 2+α? ? ? ? ?

? ? 23π? 1? ?sinα≠- ?,则 f?- ? 2? 6 ?=________. ? ?

3 解析:∵方程 5x2-7x-6=0 的根为 x1=2,x2=- , 5 3 4 3 由题知 sin α=- ,∴cos α=- ,tan α= . 5 5 4 cos α?-sin α?tan2α 9 2 ∴原式= =-tan α=- . sin αcos α 16 ?-2sin α??-cos α?+cos α (2)∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = = , 2 tan α 2sin α+sin α sin α?1+2sin α?
? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ?

1

9 答案:(1)- (2) 3 16

? 23π? tan?- 6 ? ? ?

= ? = = π π? tan?-4π+6 ? tan6
? ?

1

1

3.

诱导公式在三角形中的应用
[例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B),

3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

[自主解答]

?sin A= 2sin B, ? 由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ?

① ②

①2+②2 得,sin2A+3cosA=2,即 2cos2A=1, 2 2 即 cos A= 或 cos A=- . 2 2 2 3 (1)当 cos A= 时,cos B= , 2 2

π π 又 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= , 4 6 7π ∴C=π-(A+B)= . 12

2 3 (2)当 cos A=- 时,cos B=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3π 5π ∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12

—————

————————————

1.三角形中的诱导公式 在三角形 ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, ?A B? ?π C? C ? + ?=sin? - ?=cos , sin 2 2 2 ? ? ?2 2 ? ?A B? ?π C? C ? + ?=cos? - ?=sin . cos 2 2 2 ? ? ?2 2 ?

2.求角的一般步骤 求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的 范围,最后求角.
——————————————————————————

3.在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.
解:∵sin A+cos A= 2, ∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1. ∵A 为△ABC 的内角, π π ∴2A= ,∴A= . 2 4 ∵ 3cos A=- 2cos(π-B),

π ∴ 3cos = 2cos B, 4 3 ∴cos B= . 2 π ∵0<B<π,∴B= . 6 7π ∵A+B+C=π,∴C= . 12 π π 7π ∴A= ,B= ,C= . 4 6 12

? 1 个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变,符号看象限.

? 1 个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小,化到锐角为终了.
? 3 种方法——三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法: 利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变 形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin θ+cos θ=cos θ(1+tan θ)=tan4=?.
2 2 2 2

? 3 个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应 注意的问题

(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任 意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周— 化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要 特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、 整式化.

易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区 [典例]
? 3π? 3 (2011· 重庆高考)若 cos α=- , α∈?π, 2 ?, 且 5 ? ?

则 tan α=________.

[解析]

4 依题意得 sin α=- 1-cos α=- , 5
2

sin α 4 tan α= = . cos α 3 4 [答案] 3

[易误辨析]

1.解答本题时,常会出现以下两种失误 (1)忽视题目中已知条件α的范围,求得sin α的两个值 而致误; (2)只注意到α的范围,但判断错sin α的符号而导致 tan α的值错误. 2.由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时,要 注意以下两点 (1)题目中若没有限定角α的范围,则sin α或cos α的 符号应有两种情况,不可漏掉. (2)若已给出α的范围,则要准确判断在给定范围内 sin α或cos α的符号,不合题意的一定要舍去.

[变式训练]

1.(2013· 福州模拟)已知 _____.

? 3π? α∈?π, 2 ?,tan ? ?

α=2,则 cos α=

sin α ? ?tan α= =2, 1 2 cos α ? 解析:依题意得 由此解得 cos α= , 5 ?sin2α+cos2α=1, ? 又
? 3π? α∈?π, 2 ?,因此 ? ?

5 cos α=- . 5

5 答案:- 5

2.(2013· 盐城模拟)已知 ________.

?π ? cos ?2+φ? = ? ?

3 π ,且|φ|< ,则 tan φ= 2 2

?π ? 解析:∵cos?2+φ?=-sin ? ?

3 3 φ= ,∴sin φ=- . 2 2

? π? π π π ?- ?=-tan =- 3. ∵|φ|< ,∴φ=- ,∴tan φ=tan 3 2 3 3 ? ?

答案:- 3

3.(2013· 泰州模拟)若 是________.

?π π? θ∈?4, 2?,sin ? ?

1 2θ= ,则 cos θ-sin θ 的值 16

15 解析:(cos θ-sin θ) =1-sin 2θ= . 16
2

π π 15 ∵ <θ< ,∴cos θ<sin θ.∴cos θ-sin θ=- . 4 2 4

15 答案:- 4

1.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° _______. =

解析:∵cos(-80° )=cos 80° =k, sin 80° 1-k2, = 1-k2 1-k2 ∴tan 80° = k ,tan 100° =-tan 80° =- k .
1-k2 答案:=- k

2.sin 585° 的值为 _________.

解析:注意到 585° =360° +180° +45° ,因此 sin 585° 2 =sin(360° +180° +45° )=-sin 45° =- . 2
2 答案:=- 2

3.求值:sin(-1 200°)· 1 290°+cos(-1 020°)· cos sin (-1 050)°+tan 945°.
解:原式=-sin 1 200°cos 1 290° · +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120°cos 210° · +cos 300°(-sin 330° · )+tan 225° =(-sin 60° (-cos 30° )· )+cos 60°sin 30° · +tan 45° 3 3 1 1 = × + × +1=2. 2 2 2 2

4.若sin θ,cos θ是关于x的方程5x2-x+a=0(a是常数) 的两根,θ∈(0,π),求cos 2θ的值. 1 解:∵由题意知,sin θ+cos θ= , 5 1 2 ∴(sin θ+cos θ) = . 25 24 24 ∴sin 2θ=- ,即 2sin θcos θ=- <0, 25 25 则 sin θ 与 cos θ 异号. 1 π 3π 3π 又 sin θ+cos θ= >0,∴ <θ< ,∴π<2θ< . 5 2 4 2 7 2 故 cos 2θ=- 1-sin 2θ=- . 25



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