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第9课时 函数的单调性



江苏省宿迁中学 2016 届高三数学第一轮复习导学案

编写:臧其东

审校:张满成

时间:2015 年 8 月 18 日

第 9 课时
一、考纲要求 内容 函数的单调性

函数的单调性
要求

A

B



C

二、知识梳理 1.函数单调性的定义: 2.判断函数单调性的常用方法: (1)定义法: _____ ? ______ ? ______ ? _______ ? ________ . (2)导数法: (3)两个具有相同单调性的函数的和函数仍具有单调性. 3.基本函数的单调区间: 一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 反比例函数 y ? . . . . .

k (k ? 0) x

指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 三、基础训练 1.下列函数中为增函数的是 (1) y ?

.

1 1 2 ( x ? 0) ; (2) y ? ? x ; (3) y ? x ? 6 x ? 9( x ? 3) ; (4) y ? x ? . 2 x x
.

2.已知下列命题,其中正确命题的序号有

(1)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 是 R 上的增函数; (2)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数; (3 ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上是增函数, 在区间 [0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在 R 上是增函数; (4 ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上是增函数, 在区间 (0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在 R 上是增函数. 3. 函数 y ? x x 的递增区间是 ;函数 y ?

x2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________.
.

2 4.若函数 y ? x ? (a ? 1) x ? 5 在 ( ,1) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是

1 2

) 的 增 函 数 , 若 f (m ? 1) ? f (1 ? 2m) , 则 m 的 取 值 范 围 5 . 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 (? 2 , 2 上
是 .

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编写:臧其东

审校:张满成

时间:2015 年 8 月 18 日

6. 函数 f ( x) ? ?

?? x ? 3 ? 3a, x ? 0,
x ?a , x ? 0,

( a ? 0且a ? 1) 是 (??,??) 上的减函数, 则 a 的取值范围是

.

四、合作、探究
2 例 1.已知函数 f ( x ) ? x ?

1 ,用定义证明:函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数. x

例 2. (1)指出函数 y ? log0.5 (4x ? x2 ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 3a) 在 (2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

例 3.已知函数 f ( x) ? x m ? x ( x ? R), (1)若 f (4) ? 0 ,作函数 f ( x) 的图象,并根据图象指出函数的递减区间; (2)若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上递增,求实数 m 的取值集合..

例 4.已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? x ?1
2

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编写:臧其东

审校:张满成

时间:2015 年 8 月 18 日

(1)若存在 x ? R 使得 f ( x) ? b ? g ( x) ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? mg ( x) ? 1 ? m ? m2 ,且 | F ( x) | 在 [0,1] 上单调递增,求实数 m 的取值范围.

五、体验成功 1.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 3a) ,对于任意 x ?[2, ??) ,当 ?x ? 0 时,恒有 f ( x ? ?x) ? f ( x) , 则实数 a 的取值范围是 . .

2 2.若奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)上递减,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

3.已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数,且在 [0,1] 上为增函数,若 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,求 a 的取 值范围.

第 9 课时

函数的单调性

同步训练题
一、填空题: 1.函数 f ( x) ? lg( 2 x ? 1) 的递增区间是____________________. 2.若函数 f ( x) ?| 2 x ? m | 的递增区间是 [3,??) ,则 m ? ______ . 3.已知函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1) 在区间上的最大值与最小值的和为 a,则 a 的值是_________. 4.若 f ( x) 是奇函数, 且在区间 (??,0) 上是增函数, 又 f (2) ? 0 , 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是__________.

? 1, x ? 0 ? 2 5.设函数 f ( x ) ? ? 0, x ? 0 , g ( x) ? x f ? x ?1? ,则函数 g ? x ? 的递减区间是 ? ?1, x ? 0 ?
a x

.

6.函数 f ( x ) ? ln( x ? 8 ? ) , ?x1 , x2 ?[1, ??)( x1 ? x2 ), 恒有 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ,则实数 a 的取 值范围是____________. 二、解答题:

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?a x , x ? 1, ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 是 R 上单调函数,求实数 a 的取值范围. a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? 2

8.讨论函数 f ( x) ?

ax (?1 ? x ? 1) 的单调性. x ?1
2

9.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) 满足 f (

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . x2

(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的单调性并给出证明; (3)若 f (3) ? ?1 ,解不等式 f (| x |) ? ?2 .

2 10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且集合 M ? {x | f ( x) ? x ? 0} 中只有

一个元素. (1)求 f ( x) 的解析式; (2) 问是否存在实数 m, n (m ? n) , 使 f ( x) 的定义域和值域分别为 [m, n] 和 [2m,2n] , 若存在, 求出 m, n 的值;若不存在,说明理由.

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11.已知定义在[-1,1]上的奇函数 f ( x) ,当 a, b ?[?1,1] ,且 a ? b ? 0 时, (1)判断函数 f ( x) 的单调性,并给出证明;.

f (a) ? f (b) ? 0. a?b

(2)若 f (1) ? 1 ,且 f ( x) ? m2 ? 2tm ? 1对所有的 x ?[?1,1], t ? [?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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