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高考数学题型全归纳:如何由递推公式求通项公式典型例题(含答案)



如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一,是一类考查思维能力的题型,要 求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式,重点是递推的思想:从一般到特殊,从 特殊到一般;化归转换思想,通过适当的变形,转化成等差数列或等比数列,达到化陌生为 熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳,以供参考。 类型一: an ? 1 ? an ?

f (n) 或

an ? 1 ? g ( n) an

分析:利用迭加或迭乘方法。即: an ? (an ? an ? 1) ? (an ? 1 ? an ? 2) ? ……+(a 2 ? a1) ? a1 或 an ?

an an ? 1 a2 …… a1 an ? 1 an ? 2 a1

例 1.(1) 已知数列 ?an? 满足 a1 ?

1 1 ,求数列 ?an? 的通项公式。 , an ? 1 ? an ? 2 2 n ?n (n ? 1)an (2)已知数列 ?an? 满足 a1 ? 1, sn ? ,求数列 ?an? 的通项公式。 2

解: (1)由题知: an ? 1 ? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

? an ? (an ? an ? 1) ? (an ? 1 ? an ? 2) ? ……+(a 2 - a1) ? a1

?(

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? …… ? ( ? ) ? n ?1 n n ? 2 n ?1 1 2 2

?
(2)

3 1 ? 2 n

2 sn ? (n ? 1)an

? 2 sn ? 1 ? nan ? 1(n ? 2)
两式相减得: 2an ? (n ? 1)an ? nan ? 1(n ? 2)

an n ? (n ? 2) an ? 1 n ? 1 an an ? 1 a2 ? an ? ? …… ? a1 an ? 1 an ? 2 a1 n n ?1 2 ? ? …… ?1 n ?1 n ? 2 1 ?n
即: 类型二: an ? 1 ? pan ? q (其中p, q为常数,pq ( p ? 1) ? 0)

分析:把原递推公式转为: an ? 1 ? t ? p (an ? t ), 其中t= 数列求解。

q ,再利用换元法转化为等比 1? p

例 2.已知数列 ?an? 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 2an ? 3 ,求 ?an? 的通项公式。 解:由 an ? 1 ? 2an ? 3 可转化为:

an ? 1 ? 3 ? 2(an ? 3)
令 bn ? an ? 3, 则b1=a1+3=4且bn+1=2bn

??bn? 是以b1=4为首项,公比为q=2的等比数列
? bn ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1
即 an ? 2n ?1 ? 3 类型三: an ? 1 ? pan ? f (n)(其中p为常数) 分析:在此只研究两种较为简单的情况,即 f ( x) 是多项式或指数幂的形式。 (1) f ( x) 是多项式时转为 an ? 1 ? A(n ? 1) ? B ? p (an ? An ? B ) ,再利用换元法转为等 比数列 (2) f ( x) 是指数幂: an ? 1 ? pan ? rq n ?1 ( pqr ? 0) 若 p ? q 时则转化为

an ? 1 an ? ? r ,再利用换元法转化为等差数列 q n ?1 q n qr p?q

若 p ? q 时则转化为 an ? 1 ? tq n ?1 ? p (an ? tq n ), 其中t ?

例 3.(1)设数列 ?an? 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求 ?an? 的通项公式。 (2)设数列 ?an? 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 3an ? 2 ,求 ?an? 的通项公式。
n

解: (1)设 an ? 1 ? A(n ? 1) ? B ? 3(an ? An ? B )

? an ? 1 ? 3an ? 2 An ? 2 B ? A
与原式比较系数得: ?

? 2A ? 2 ?A ?1 ?? ?2 B ? A ? 1 ? B ? 1

即 an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? 3( an ? n ? 1) 令 bn ? an ? n ? 1, 则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3

??bn? 是b1=3为首项,公比q=3的等比数列
? bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n 即:an ? 3n ? n ? 1
(2)设 an ? 1 ? t 2n ?1 ? 3(an ? t 2n ) 展开后得: an ? 1 ? 3an ? 2n 对比得: t ? 1

? an ? 1 ? 2n ?1 ? 3(an ? 2n )
令 bn ? an ? 2n , 则bn ? 1 ? 3bn , 且b1=a1 ? 21 ? 3

??bn? 是b1=3为首项,公比q=3的等比数列
? bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n 即:an ? 3n ? 2n
类型四: an ? 1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)
r

分析:这种类型一般是等式两边取对数后得:lg an ? 1 ? r lg an ? lg p ,再采用类型二进行 求解。 例 4.设数列 ?an? 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 解:由 an ? 1 ?

1 2 ? an (a ? 0) ,求 ?an? 的通项公式。 a

1 2 ? an ,两边取对数得: a 1 lg an ? 1 ? 2 lg an ? lg a
lg an ? 1 ? t ? 2(lg an ? t ) 展开后与上式对比得: t ? lg



1 a

1 1 ? 2(lg an ? lg ) a a 1 1 令 bn ? (lg an ? lg ) ,则 bn ? 1 ? bn , 且b1=lg a a 1 ??bn? 是b1=lg 为首项,公比q=2的等比数列 a ? 原式可转化为lgan+1+lg

n?1 1 1 1 ? bn ? 2 ? lg ,即 lg an ? lg ? 2n ?1 ? lg a a a

也即 an ? a1? 2 类型五: an ? 1 ?

n?1

f ( n ) an g ( n ) an ? h ( n )

分析:这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。 例 5.已知数列 ?an? 满足: a1 ? 1, an ?

an ? 1 ,求 ?an? 的通项公式。 3an ? 1 ? 1 1 3an ? 1 ? 1 1 解:原式两边取倒数得: ? ? 3? an an ? 1 an ? 1 1 设bn = , 则bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 ??bn? 是b1= 为首项,公差d=2的等差数列 3
? bn ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2
即 an ?

1 3n ? 2



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