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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第6章不等式及推理6-4[来源:学优高考网69120]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1 1.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 A.1+ 2 C.3 解析:∵x>2,∴x-2>0, 1 1 ∴f(x)=x+ =(x-2)+ +2 x-2 x-2 ≥2 1 ?x-2?· +2=4, x-2 B.1+ 3 D.4 )

1 当且仅当 x-2= (x>2),即 x=3 时等号成立,∴a=3. x-2 答案:C 2.设 a,b∈R,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是( A.6 C.2 2 B.4 2 D.2 6 )

3 + 解析:2a+2b≥2 2a b=2 23=4 2,当且仅当 2a=2b,a+b=3,即 a=b= 时,等号 2 成立.故选 B. 答案:B a+b 1 3.若 a>b>1,P= lg a· lg b,Q= (lg a+lg b),R=lg ,则( 2 2 A.R<P<Q C.Q<P<R a+b a+b 解析: ∵a>b>1, ∴ > ab, ∴lg >lg 2 2 B.P<Q<R D.P<R<Q 1 ab= (lg a+lg b), 即 R>Q.又 lg a>0, lg b>0 2 )

1 且 lg a≠lg b,∴ (lg a+lg b)> lg alg b,即 Q>P,∴R>Q>P,故选 B. 2 答案:B 4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 解析:设甲、乙两地之间的距离为 s.∵a<b, B.v= ab a+b D.v= 2 )

∴v=

ab-a2 a2-a2 2sab 2ab 2ab 2ab = = < = ab.又 v-a= -a= > =0,∴v>a. s s ?a+b?s a+b 2 ab a+b a+b a+b + a b 2s

答案:A 5.(2015 年东城模拟)已知关于 x 的方程 x2+2px+(2-q2)=0(p,q∈R)有两个相等的实 数根,则 p+q 的取值范围是( A.[-2,2] C.[- 2, 2 ] ) B.(-2,2) D.(- 2, 2)

解析:由题意知 4p2-4(2-q2)=0,即 p2+q2=2, p+ q p+q?2 p +q ∵? ? 2 ? ≤ 2 =1,∴-1≤ 2 ≤1,即-2≤p+q≤2,故选 A. 答案:A 二、填空题 1 ?? 1 2 2? 6.设 x,y∈R,且 xy≠0,则? ?x +y2??x2+4y ?的最小值为________. 1 1 1 x2+ 2?? 2+4y2? = 5+ 2 2+ 4x2y2≥5+2 解析:? y x ? ?? ? xy “=”成立. 答案:9 p 7.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则 x-1 实数 p 的值为________. 解析: 由题意得 x-1>0, f(x)=x-1+ p +1≥2 p+1, 当且仅当 x= p+1 时取等号, x-1 xy 1 4x2y2 =9 ,当且仅当 2 2· 1 x2y2 = 时 2
2 2

9 因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 9 答案: 4 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运 费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________. 200 200 400 解析:设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 次,则一年的总运费为 ×2= , x x x 400 一年的总存储费用为 x,所以一年的总运费与总存储费用为 +x≥2 x 400 · x=40,当且仅 x

400 当 =x,即 x=20 时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买 x 该种货物 20 吨. 答案:20

三、解答题 9.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0. 求:(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值. 解析:∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy,∴ xy≥8,∴xy≥64.故 xy 的最小值为 64. 2 8? 2 8 2x 8y (2)由 2x+8y=xy,得: + =1,∴x+y=(x+y)· 1=(x+y)? ? y+x?=10+ y + x ≥10+8 y x =18. 故 x+y 的最小值为 18. 10.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 每件商品的定价. 解析:(1)设每件定价为 t 元,依题意,有[8-(t-25)×0.2]t≥25×8, 整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 1 (2)依题意,x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 150 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解.∵ + x≥2 x 6 5 x 6 时,等号成立),∴a≥10.2. 因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和,此时该商品的定价为每件 30 元. B 组 高考题型专练 1.(2014 年高考重庆卷)若 log4(3x+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3 ) 150 1 ·x=10(当且仅当 x=30 x 6

1 1 3 解析:由 log4(3a+4b)=log2 ab,得 log2(3a+4b)= log2(ab),所以 3a+4b=ab,即 + 2 2 b 4 =1. a

3 4? 3a 4b 3a 4b 所以 a+b=(a+b)? ?b+a?= b + a +7≥4 3+7,当且仅当 b = a ,即 a=2 3+4,b =3+2 3时取等号,故选 D. 答案:D 2.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每 平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 解析:设容器的底长 x 米,宽 y 米,则 xy=4. 4 所以 y= ,则总造价为: x 80 f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+ +20x x 4? =20? ?x+x?+80,x∈(0,+∞). 所以 f(x)≥20×2 4 x·+80=160, x B.120 元 D.240 元 )

4 当且仅当 x= ,即 x=2 时,等号成立, x 所以最低总造价是 160 元.故选 C. 答案:C 3.(2014 年高考湖北卷)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单 位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶, 76 000v 单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 解析:(1)当 l=6.05,则 F= 76 000v 76 000 121 = ,由基本不等式 v+ v ≥2 121 121 v2+18v+121 v+18+ v

=22,得 F≤

76 000 =1 900(辆/小时),故答案为 1 900. 22+18 76 000v = v2+18v+100 76 000 100 ,由基本不等式 v + v ≥2 100 = 20 ,得 100 v+18+ v

(2)l = 5 , F =

76 000 F≤ =2 000(辆/小时),增加 2 000-1 900=100(辆/小时),故答案为 100. 20+18 答案:(1)1 900 (2)100

a 4.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. x a 解析:f(x)=4x+ ≥2 x a 4x·=4 a(x>0,a>0), x

a a 当且仅当 4x= , 即 x= 时等号成立, 此时 f(x)取得最小值 4 a.又由已知 x=3 时, f(x)min x 2 =4 a, ∴ a =3,即 a=36. 2

答案:36


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