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江西省南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试高二数学(理)试题Word版含答案.doc



南昌二中 2016—2017 学年度上学期第二次考试 高二数学(理)试卷 命题人:曹开文 审题人:白田

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 P(?2,?

?
3

) 是极坐标系中的一点,则 Q(2,

2? 8? 5? ), R(2, ), M (?2, ) 3 3 3
( D. 4 个 ( ) )

N ( 2,2k? ?

5? ) (k ? Z ) 四点中与 P 重合的点有 3
B. 2 个 C. 3 个

A.1 个 2. 曲线 ?

? x ? t ? 8, (t 为参数)与 x 轴的交点坐标是 2 ?y ? t ? t
. B. (?8, 0) , (?7, 0)

0 7 ) , A. (8,0) , (?

C. (8,0) , (7,0). D. (?8, 0) ,(7,0) ( )

3. .命题 p: ?x ? (??,0] , 2 x ? 1 ,则 A.p 是假命题; ?p : ?x0 ? (??,0] , 2 x0 ? 1 C.p 是真命题; ?p : ?x0 ? (??,0] , 2 x0 ? 1

B.p 是假命题; ?p : ?x ? (??,0] , 2 x ? 1 D.p 是真命题; ?p : ?x ? (??,0] , 2 x ? 1 ( )

2 4.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ,则“ 1 ? a ? 2 ”是“ f ( 1 ) ? f ( 3 ) ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

5.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为

A.4

B

2 13 13
2

C.

5 13 26
2

D.

7 10 20

6 .已知命题: p :"?x ?[1, 2], x ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命 题 " ?p且q " 是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. a ? ?1或1 ? a ? 2 C. a ? 1 D. a ? 1

A. a ? ?1或a ? 1

2 2 7 . 若 直 线 mx ? ny? 4 和 ⊙ O : x ? y ? 4 没 有 交 点 , 则 过 点 (m ,n ) 的 直 线 与 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点个数为 9 4
A.至多一个 8.已知点 P 位椭圆 C: 为 A. B.2 个 C.1 个 D.0 个





x2 y 2 ? ? 1 上任意一点,则 P 到直线 l : 2 x ? y ? 12 的距离的最小值 4 9
( )

7 5

B.

7 5 5

C.

17 5

D.

17 5 5
2

9.已知 a ? b ,椭圆 C 1 的方程为

x2 y2 x2 y2 ,双曲线 的方程为 C ? ? 1 ? ? 1,C 1 与C 2 a2 b2 a2 b2
( C. x? 2 y? 0 )

的离心率之积为

3 2

,则 C2 的渐近线方程为 B. 2 x?y?0

A. x ? 2 y ? 0

D. 2 x?y? 0

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 与点 M ? ?2, 2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两 点,若 MA? MB ? 0 ,则 k ?

???? ????





A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

11.已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 、 F2 分别为双曲线的左、 a 2 b2


右焦点,I 为△ PF ? S?IPF2 ? ?S?IF1F2 成立,则 ? 的值( 1F 2 的内心,若 S?IPF 1 A.

a 2 ? b2 2a

B.

a a 2 ? b2

C.

b a

D.

a b

12.已知直线 (m ? 1) x ? (n ? ) y ?

1 2

6? 6 2 2 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 5 相切,若对任意 2


的 m, n ? R ? 均有不等式 2m ? n ? k 成立,那么正整数 k 的最大值是 ( A.3 B.5 C.7 D.9

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.直线 l 的参数方程为 ? í

ì ì x = 3cos ? ? x = - 3+ t ? ( t 为参数).圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参 í ? ? y = 3sin ? y = 3 t ? ? ? ?
; .

数) ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 14.圆锥曲线 ? ?

8 sin ? 的准线方程是 cos 2 ?

15.已知 F1、F2 为双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 作此双曲线一条渐 a 2 b2

近线的垂线,垂足为 M,且满足| MF 1 |=3| MF2 |,则此双曲线的渐近线方程为________. 16.已知椭圆

???? ?

???? ?

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点, a2 b2
?? ? ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围 , ?6 4? ?

若 AF ? BF , 设 ?ABF ? ? , 且 ? ? ? 为 。

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点为极

点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值.

2 1 ? 3 sin 2 ?

: x ? R,2 x 2 ? (m ? 1) x ? 18. 已知命题 p “存在

1 x2 y2 ? 0” q C : ? ?1 , 命题 : “曲线 1 2 m 2 2m ? 8

表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s : “曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线” m ? t m ? t ?1

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围。

19.设 a, b, c 为△ABC 中 ? A, ? B, ? C 的对边。 求证: a, b, c 成等差数列的充要条件是: a cos
2

C A 3 ? c cos 2 ? b. 2 2 2

20.过 x 轴上动点 A(a, 0) 引抛物线 y ? x2 ? 1 的两条切 线 AP 、 AQ , P 、 Q 为切点,设切线 AP 、 AQ 的斜率 分别为 k1 和 k2 . (Ⅰ)求证: k1k2 ? ?4 ; (Ⅱ)求证:直线 PQ 恒过定点,并求出此定点坐标;

3 x2 y 2 21.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ?) 的右焦点为 F (1, 0) ,且点 P (1, ) 在椭圆 C 上。 2 a b
(1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 4 ? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O:x 2 ? y 2 ? 的两条切 (2) 过椭圆 C1 : 2 ? 5 3 a b2 ? 3
线, 切点分别为 M, N (M,N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m, n , 证明:

1 1 ? 2 为定值。 2 3m n

x2 y 2 22.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,右焦点 F 到它的一条渐近线的距离为 a b

3。
(1)求双曲线的标准方程; (2)是否存在过点 F 且与双曲线的右支交于不同的 P、Q 两点的直线 l ,当点 M 满足

???? ? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? OM ? (OP ? OQ) 时, 使得点 M 在直线 x ? ?2 上的射影点 N 满足 PN ? QN ? 0 ?若存在, 2
求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

南昌二中 2016-2017 学年度上学期第二次月考 高二数学(理)试卷参考答案 一.选择题:CBCAD DBBAD BA 二. 填空题: 13. 3; 14.? sin ? ? ?2 或 x ? ?2 ; 15. y ? ? 三.解答题 17.(1) y ? ? x ? 1,

2 2 x ; 16.[ , 3 ? 1] 2 2

x2 ? y 2 ? 1 -----------4 分 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ( 2 ) 将 ? ?t为参数? 代 人 C2 直 角 坐 标 方 程 ? y ? ?1 ? 2 t ? 2 ?



5t 2 ? 12 2t ? 8 ? 0 t1 ? t 2 ?

8 5
2

18 解: (1)若 p 为真: ? ? (m ? 1) ? 4 ? 2 ? 解得 m ? ?1 或 m ? 3

1 ?0 2

1分 解得 ? 4 ? m ? ?2 或

?m 2 ? 2 m ? 8 若 q 为真:则 ? ?2 m ? 8 ? 0

m?4
若“ p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

(2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1

由 q 是 s 的必要不充分条件,

则 可 得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

即?

?t ? ?4 或 t ? 4 解得 ?t ? 1 ? ?2

? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4
19.证明:充分性:由 a cos
2

C A 3 ? c cos 2 ? b. ? a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) 2 2 2

? a ? c ? a cos C ? c cos A ? 3b ? a ? c ? 2b ?即 a, b, c 成等差数列
必要性:因为上每步均可逆,可得证必要性。 20 解析: (Ⅰ)设过 A(a,0) 与抛物线 y ? x 2 ? 1 的相切的直线的斜率是 k , 则该切线的方程为: y ? k ? x ? a ? 由?

? y ? k ? x ? a?
2 ? y ? x ?1



得 x ? kx ? ? ka ? 1? ? 0
2

?? ? k 2 ? 4 ? ka ?1? ? k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 , 则 k1 , k2 都 是 方 程 k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 的 解 , 故
k1k2 ? ?4 。
(Ⅱ) 法 1: 设 P ?x 1 y ,1? Q , x? 2y ,
2 又 y1 ? x1 ?1,

2

? ,故切线 AP 的斜率是 2 x1 ,方程是 y ? y1 ? 2x1 ( x ? x1 )

所以方程可化为
2 y2 ? x2 ? 1,

y1 ? y ? x1 x ? 1 ,切线 AQ 的斜率是 2 x2 ,方程是 y ? y2 ? 2x2 ( x ? x2 ) 又 2

y2 ? y y ? x2 x ? 1 ,又由于 A 点在 AP 上,则 1 ? x1a ? 1 , 2 2 y2 ? x2 a ? 1 ,? y1 ? 2x1a ? 2 , y2 ? 2x2a ? 2 又由于 A 点在 AQ 上,则 2
所以方程可化为 则直线 PQ 的方程是 y ? 2ax ? 2 ,则直线 PQ 过定点 ? 0, 2 ? . 法 2:设 P(

k1 k12 k k2 , ? 1), Q( 2 , 2 ? 1) , 2 4 2 4
2 1

(k1 ? k2 )(k1 ? k2 ) k k k ?k k k 4 所以,直线 PQ : y ? ?1 ? ( x ? 1 ) ? 1 2 ( x ? 1 ) ? 2a ( x ? 1 ) , k ? k 4 2 2 2 2 1 2 2
即 y ? 2ax ? ak1 ?

k12 k 2 ? 4ak1 ? 4 ? 1 ? 2ax ? 1 ,由(1)知 k12 ? 4ak1 ? 4 ? 0 , 4 4

所以,直线 PQ 的方程是 y ? 2ax ? 2 ,则直线 PQ 过定点 ? 0, 2 ? .

21.解(1)

x2 y 2 ? ?1 4 3
x2 3 y 2 ? ? 1 ,设点 Q ( x1 , y1 ) ,M ( x2 , y2 ) ,N ( x3 , y3 ) , 4 4

(2)由(1)知 C1 :

因 为 M,N 不 在 坐 标 轴 上 , 所 以 kQM ? ?

1 kOM

??

x2 , 直 线 QM 的 方 程 为 y2

y ? y2 ? ?

x2 ( x ? x2 ) y2
4 , 3
同理可得直线 QN 的方程为: x3 x ? y3 y ?

化简得 x2 x ? y2 y ?

4 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? 4 ? 3 把点 Q 的坐标代入得 ? ,所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 3 ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
令 y ? 0 ,得 m ?

4 4 4 4 , y1 ? ;令 x ? 0 ,得 n ? ,所以 x1 ? 又点 Q 在椭圆 C1 上, 3m 3n 3x1 3 y1

所以: (

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? 为定值。 3m 3n 3m n 4
2

22.解(1) x ? (2)? OM ?

y2 ? 1. 3

???? ?

? ???? 1 ??? (OP ? OQ) ,? M 是 PQ 的中点,假设存在满足条件的直线 l 2

若直线 l 的斜率不存在时,此时 M 点即为 F (2, 0) ,可解得 N (?2, 0) ,P (2,3) ,Q (2, ?3)

??? ? ???? ??? ? ???? ? PN ? (?4, ?3), QN ? (?4,3) ,? PN ? QN ? 7 ? 0 ,即此时 l 不满足条件;
若直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? k ( x ? 2). 联立 ?
2 2 2 2

? y ? k ( x ? 2)
2 2 ?3 x ? y ? 3

得 (3 ? k ) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,? 要使 l 与双曲线交于右支不同的 P、Q 两点,须要

4k 2 4k 2 ? 3 ?0, 2 ? 0 可得 k 2 ? 3 3 ? k ? 0 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,即 2 k ?3 k ?3
2

又? x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 3 12k , x x ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2 1 2 2 2 k ?3 k ?3 k ?3

y1 y2 ? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ?

?9k 2 , ? M 在 直 线 x ? ?2 上 的 射 影 点 N 满 足 k2 ?3

??? ? ???? P N? Q N? 0
???? ??? ? ???? y ? y ???? y ?y ? PN ? (?2 ? x1 , 2 1 ), QN ? (?2 ? x2 , 1 2 ) ,? PN ? QN ? 0 , 2 2 y ? y y ? y2 ? (?2 ? x1 )(?2 ? x2 ) ? 2 1 ? 1 ?0 2 2



4x1x2 ? 8( x1 ? x2 ) ?16 ? [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 0
4 2 2 可得 7k ? 66k ? 27 ? 0 ? k ? 9 或 k ?
2

3 2 2 ,? k ? 3 , k ? 9 ,即 k ? ?3 7

所以存在这样的直线 l 满足条件, l 的方程为 3x ? y ? 6 ? 0 或 3x ? y ? 6 ? 0



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