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2015届高考苏教版数学(理)大一轮配套讲义: 第3章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式



2015 届高考苏教版数学(理)大一轮配套讲义: 第 3 章第二节同角三角函数的基本关 系与诱导公式

对应学生用书 P41

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式 角 函数 正

弦 余弦 正切 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不 2 变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”.

1.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. [试一试] 5 1.(2013· 全国大纲卷改编)已知 α 是第二象限角,sin α= ,则 cos α=______. 13 解析:因为 α 是第二象限角, 所以 cos α=- 12 答案:- 13 20π - ?=______. 2.计算:cos? ? 3 ? 1 答案:- 2 5 ?2 12 1-? ?13? =-13.

1.诱导公式的应用原则 负化正,大化小,化到锐角为终了. 2.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4 [练一练] π? 1.(2014· 南京模拟)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ).若 f? ?4?= 13π? 3,则 f? ? 4 ?=______.

解析:因为 f(x+π)=2sin(2x+2π+φ)=2sin(2x+φ)=f(x),所以函数 f(x)的周期为 π, 13π? ? π π 3π+ ?=f? ?= 所以 f? = f 4? ?4? ? 4 ? ? 答案: 3 1 cos θ 2.(2013· 芜湖调研)若 sin θ· cos θ= ,则 tan θ+ 的值是________. 2 sin θ cos θ sin θ cos θ 1 解析:tan θ+ = + = =2. sin θ cos θ sin θ cos θsin θ 答案:2 3.

对应学生用书 P42

考点一

三角函数的诱导公式

1.sin 600° +tan 240° 的值等于________. 解析: sin 600° +tan 240° =sin(720° -120° )+tan(180° +60° )=-sin 120° +tan 60° =- + 3= 3 . 2 3 2 3 2

答案:

π 3 ? ?5 ? 2.已知 tan? ?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. 5 ? ? π ? 解析:tan? ?6π+α?=tan?π-6+α?

?π-α??=-tan?π-α?=- 3. =tan? π - ? ?6 ?? ?6 ? 3

答案:-

3 3

3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin? ?α- 2 ? 3.化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α?

? π?? tan αcos αsin? ?-2π+?α+2?? 解析:原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?]
= π ? tan αcos αsin? ?2+α? ?-cos α?sin α tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α

tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α 答案:-1 sin?kπ+α? cos?kπ+α? 4.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是______. sin α cos α sin α cos α 解析:当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α 答案:{2,-2} [备课札记]

[类题通法] 诱导公式应用的步骤 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 ↓ 锐角三角函数 ← 0~2π的角的三角函数 提醒:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 考点二 同角三角函数的基本关系

1 [典例] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; (2)把 1 用 tan α 表示出来,并求其值. cos2α-sin2α

[解] (1)联立方程

1 ? ?sin α+cos α=5, ? ? ?sin2α+cos2α=1, 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②, 5 整理得 25sin2α-5sin α-12=0.

① ②

?sin α=5, ∵α 是三角形内角,∴? 3 ?cos α=-5,
4 ∴tan α=- . 3 sin2α+cos2α 1 (2) 2 = cos α-sin2α cos2α-sin2α sin2α+cos2α cos2α tan2α+1 = 2 = cos α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tan α=- , 3

4

?-4?2+1 tan2α+1 ? 3? 1 25 ∴ 2 =- . 2 = 2 = 4?2 7 cos α-sin α 1-tan α 1-? ?-3?
[备课札记]

保持本例条件不变, sin α-4cos α 求:(1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+2sin αcos α 的值. 解:由例题可知: 4 tan α=- . 3 sin α-4cos α (1) 5sin α+2cos α 4 - -4 3 tan α-4 8 = = = . 4 7 5tan α+2 ? 5×? ?-3?+2

sin2α+2sin αcos α (2)sin2α+2sin αcos α= sin2α+cos2α 16 8 - tan α+2tan α 9 3 8 = = =- . 16 25 1+tan2α 1+ 9
2

[类题通法] sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实 cos α 现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三 个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. [针对训练] 已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 解:∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β, tan2α=9tan2β. 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β. 由①+③得 sin α+9cos α=4. 又 sin2α+cos2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,∴cos α=± . 8 4 考点三 诱导公式在三角形中的应用
2 2

① ② ③

[典例] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ ABC 的三个内角. [解] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2

(1)当 cos A=

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- , 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意. 4 6

π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 [备课札记]

[类题通法] 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, A+B A B C π C + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2 2 2 2 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. [针对训练] 在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. 解:∵sin A+cos A= 2, ∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1. ∵A 为△ABC 的内角, π π ∴2A= ,∴A= . 2 4 ∵ 3cos A=- 2cos(π-B), π 3 ∴ 3cos = 2cos B,∴cos B= . 4 2 π ∵0<B<π,∴B= . 6 7π π π 7π ∵A+B+C=π,∴C= .∴A= ,B= ,C= . 12 4 6 12
对应学生用书 P43

[课堂练通考点] π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 1.(2013· 苏州期中)已知 tan θ=2,则 =______. π ? -θ -sin?π-θ? sin? ?2 ? π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? cos θ+cos θ 2 解析: = = ,又 tan θ=2,得 π cos θ - sin θ 1 - tan θ -θ?-sin?π-θ? sin? ?2 ? π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? =-2. π ? -θ -sin?π-θ? sin? ?2 ?

答案:-2 1 2.(2014· 镇江统考)已知 α 为第四象限角,且 sin(π-α)=- ,则 tan α=________. 3 1 1 解析: 由 sin(π-α)=- 得 sin α=- .因为 α 在第四象限, 所以 cos α= 3 3 1 2 2 - ?2= 1-? , 3 ? ? 3 1 - 3 sin α 2 则 tan α= = =- . cos α 2 2 4 3 答案:- 2 4 1-sin2α=

2 3.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A=________. 3 解析:∵0<A<π,∴0<2A<2π. 2 2 π 又∵sin 2A= ,即 2sin Acos A= ,∴0<A< . 3 3 2 5 15 ∴(sin A+cos A)2= ,∴sin A+cos A= . 3 3 答案: 15 3

17π? ? 17π? 4.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是________. 17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 2. 4 4 4 4 答案: 2

7π 3 α- ?的值. 5.已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? 2? ? 5 解:∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 =cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5 7π? ∴sin(3π+α)· tan? ?α- 2 ?

?-tan?7π-α?? =sin(π+α)· ? ?2 ?? ?π-α? sin ?2 ? π -α?=sin α· =sin α· tan? ?2 ? π ? cos? ?2-α?

cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 π? 3 ? π? 1.(2014· 南通调研)若 sin? ?α-3?=5,则 cos?α+6?=________. π? ?? π? π? 解析:cos? ?α+6?=cos ?α-3?+2

?

?

π? 3 =-sin? ?α-3?=-5. 3 答案:- 5 2.(2014· 淮安模拟)若 tan α=3,则 sin2 α-2 sin αcos α+3 cos2 α=______. 解析:sin2 α-2 sin αcos α+3 cos2 α = = = sin2 α-2 sin αcos α+3 cos2 α sin2 α+cos2 α tan2 α-2tan α+3 tan2 α+1 12-6 3 = . 10 5

3 答案: 5 π 3 π ? 3.已知 cos? ?2-φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ=______. π 3 ? 解析:cos? ?2-φ?=sin φ= 2 , π 1 又|φ|< ,则 cos φ= ,所以 tan φ= 3. 2 2 答案: 3 π ? 4.已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos? ?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值是______. 解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,故 sin α= 3 10 . 10 3 10 答案: 10 sin?π-α?cos?2π-α? 31 ? 5.已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 π?的值为________. cos?-π-α?tan α

sin αcos α 解析:∵f(α)= =-cos α, -cos αtan α 31 ? π? ? 31 ? ? ∴f? ?- 3 π?=-cos?- 3 π?=-cos?10π+3? π 1 =-cos =- . 3 2 1 答案:- 2 π ? 1 6.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈? ?-2,0?,则 tan(2π-α)的值为________. 4 1 2 解析:sin(π-α)=sin α=log8 =- , 4 3 π ? 又 α ∈? ?-2,0?, 得 cos α= 1-sin2α= 5 , 3

sin α 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = . cos α 5 2 5 答案: 5 π π ? cos?π-α? sin?π-α?· ? sin? cos? ?2+α?· ?2 ? ?2+α? 7.化简 + =________. cos?π+α? sin?π+α? cos α· sin α sin α?-sin α? 解析:原式= + -cos α -sin α =-sin α+sin α=0. 答案:0 sin θ+cos θ 3π ? 8.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? ? 2 -θ?=________. sin θ-cos θ sin θ+cos θ 解析:由 =2,得 sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ), sin θ-cos θ 两边平方得:1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ), 3 故 sin θcos θ= , 10 3π ? 3 ∴sin(θ-5π)sin? ? 2 -θ?=sin θcos θ=10. 答案: 3 10

9.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan 945° . 解:原式=-sin 1 200° · cos 1 290° +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120° · cos 210° +cos 300° · (-sin 330° )+tan 225°

=(-sin 60° )· (-cos 30° )+cos 60° · sin 30° +tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

3π ? 10.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α 解:由已知得 sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 (1)原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α sin2α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 (2)原式= = = . 1 5 sin2α+cos2α sin2α+ sin2α 4 第Ⅱ组:重点选做题 1.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=______. 解析:由 cos α+2sin α=- 5,可知 cos α≠0,两边同除以 cos α 得,1+2tan α=- 5 1 5 ,两边平方得(1+2tan α)2= 2 =5(1+tan2α),∴tan2α-4tan α+4=0,解得 tan α=2. cos α cos α 答案:2 2.(2014· 无锡模拟)如图, A, B 是单位圆上的两个质点, 点 B 坐标为(1,0), ∠BOA=60° .质点 A 以 1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质 点 B 以 1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动. (1)求经过 1 s 后,∠BOA 的弧度; (2)求质点 A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间. π 解:(1)经过 1 s 后,∠BOA 的弧度为 +2. 3 π 5π (2)设经过 t s 后质点 A,B 在单位圆上第一次相遇,则 t(1+1)+ =2π,所以 t= ,即 3 6 5π 经过 s 后质点 A,B 在单位圆上第一次相遇. 6 3.(2014· 镇江统考)如图,单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原 点, 单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB, yB),设∠BAO=β. (1)用 β 表示 α; 4 (2)如果 sin β= ,求点 B(xB,yB)坐标; 5 (3)求 xB-yB 的最小值. π 3π 解:(1)因为∠AOB=α- =π-2β.所以 α= -2β. 2 2

3π yB 2 ? ?4?2 (2)由 sin α= ,r=1,得 yB=sin α=sin? ? 2 -2β?=-cos 2β=2 sin β-1=2×?5? -1 r 7 = . 25 24 由 α 为钝角,知 xB=cos α=- 1-sin2 α=- . 25 24 7 ? 所以 B? ?-25,25?. (3)法一:xB-yB=cos α-sin α= π? 2cos? ? α+4?.

π ? π ?3π 5π? 又 α ∈? ?2,π?,则 α+4∈? 4 , 4 ?, π 2 cosα+ ∈?-1,- ?. 4 ? 2? 所以 xB-yB 的最小值为- 2.
2 法二: 因为 α 为钝角, 所以 xB<0, yB>0, x2 xB-yB=-(-xB+yB), (-xB+yB)2≤2(x2 B+yB=1, B 2 +yB )=2,

所以 xB-yB≥- 2. 所以 xB-yB 的最小值为- 2.



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