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2.2.1



向量加法、减法运算及 其几何意义

大城一中高一一部数学组

知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等

2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示
A

B

/>
3. 什么叫相等向量?

2)用字母来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终 ? 点字母表示. 如 a , AB

长度相等,方向相同的向量相等. (正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)

判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)两个有共同起点的相等向量,其终点可能不同. (X )
(2)

? ? ? ? (3)若非零向量 a与b 共线,则 a = b

? ? ? ? ? ? 若a = b,b = c, a = c 则 ;

( Ⅴ)

???? (4)四边形ABCD是平行四边形,则 AB

? ? ? ? (5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同或相反(X )

???? = DC

(X) ( )

(6)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。 (X )

引入1:

上海

台北

香港

上海 O

台北

B

A 香港

O OA+AB=OB

B

A

向量加法的三角形法则:
a
C

? b

a?b
A

b
a

首 首 尾 尾 相 连 接 ?

B ? ? ??? ? ??? ? ? ? 已知非零向量 a 、 , 在平面内任取一点A,作 AB ? a, BC ? b, b ???? ? ? ? ? 则向量 AC叫做 a与b的和,记作 a ? b, 即 ? ? ??? ??? ???? ? ? a ? b ? AB ? BC ? AC

这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

例题讲解:

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求作向量 a ? b 。
作法1:在平面内任取一点O, ? ??? ? ??? ? ? 作 OA ? a ,AB ? b , ??? ? ? ? 则 OB ? a ? b

b

A

? a

? a
O

? b
B
a?b

三角形法则

尝试练习一:
(1)根据图示填空:

E

D

C A

B

??? ??? ? ? ???? AC AB ? BC ? _____ ? ??? ??? ? ? ??? BC ? CD ? _____ BD ??? ??? ??? ? ? ? ???? AD AB ? BC ? CD ? _____ ? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? DE ? _____ AE

思考1:如图,当在数轴上两个向量共线时,加法的三角形
法 则是否还适用?如何作出两个向量的和?

? a

? a
b

b
A (1) B

(2) C

? ? a?b

C ?

?A a?b

B

?? ? ? ? ? 若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | b | ? | a | ) |

? ? ? ? ? 规定:? a ? a ? 0 ? a 0

? ? ? ? 当向量 a?、不共线时,和向量的长度 | a ? b | 与向量 b ? ? ? ? a?、的长度和 | a | ? | b |之间的大小关系如何? b
? ? a?b

? b

三角形的两边之和大于第三边
? ? ? ? ? ? 当向量a?、不共线时有 | a ? b |?| a | ? | b | ?b
综合以上探究我们可得结论:

? a?

? ? ? ? | a ? b |?| a | ? | b |

引入2: 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向 伸长了EO;图2表示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析,力F与F1、 F2之间的关系如何?
F1 M 图1 M E O 图2 C EO F2 F F2 F1 F

F=F1+F2

向量加法的平行四边形法则:
B C

b
O

a?b

起 点 相 同

? ? 以同一点O为起点的两个已知向量 a、 为邻边作? OACB, b ???? ? ? ? ? 则以O为起点的对角线OC就是 a与 b 的和 a ? b, 即 ? ? ??? ??? ???? ? ? a ? b ? OA ? OB ? OC 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则。

? a

A

向量加法的平行四边形法则:
B C

b
O

a?b

起 点 相 同

? a

A

文字表述为:以同一起点的两个向量为邻边作 平行四边形,则以公共起点为起点的对角线所对 应向量就是和向量。

例题讲解:

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求作向量 a ? b 。
作法2:在平面内任取一点O, ? ??? ? ??? ? ? OB 作 OA ? a , ? b ,

? 以 OA、OB为邻边作 OACB a, ???? ??? ??? ? ? ? ?
连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b.

b

A

? a
a?b

C
平行四边形法则

O

b

B

尝试练习二:

?? ? (3)已知向量? ?、 ,用向量加法的三角形法则和平行四边形 a ?b ? 法则作出 a ? b




? b
? a

? b
? a

思考2:数的加法满足交换律和结合律,即对任意a, b ? R ,


那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律? D 请画图进行探索。
B

a ? b ? b ? a, (a ? b)?? c ? a ? (b ? c). ?

? a
a?b b

C

a?b?c
b?c
A

c
C

b
O

? a

A

a?b

? ? ? ? a?b ? b?a

a

b

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 C
D

???? ??? ? (1)如图所示, 表示船速, 表示水速, AD AB ??? ? 以AD、AB为邻边作? ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.

解:

A

B

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 ??? ? ??? ? 解: 在Rt? ABC中,AB |? 2,| BC |? 2 3 (2) | ? C D ??? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ? AC |? | AB | ? | BC | |

? ?4

22 ? (2 3) 2
A
B

2 3 ? tan ?CAB ? ? 3 2

??CAB ? 60 .
?

答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义

探 究

向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数,如:5-1=5+(-1)

向量的减法是否也有类似的法则:

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量?

一、相反向量 定义:与 a 长度相等,方向相反的向量, 叫做 a ? 的相反向量,记作: a ?

a ? ?a

? AB ? BA, 在计算中常用

结论: (1) ? ( ? a ) ?

a 0

(2)零向量的相反向量仍是零向量,

? ? ?0 ? 0

(3)a ? (?a) ? (?a) ? a ?
(4)如果是

a ? ? b , b ? ? a, a ? b ? 0

a b

互为相反的向量,那么

二、向量减法: 定义: a ? b ? a ? (?b) 即:减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a ? b 也叫做 也是一个向量。

a 与 b 的差。a 与 b 的差

三、向量减法的作图方法:
? b

? a

已知a, b,根据减法的定义, 如何作出a ? b呢?

? ?? 已知a, b,根据减法的定义, ? ? 如何作出a ? b呢?

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )
B

? b

? b ? ?b
C O

? ? a ? ( ?b) ?

a

? a

A ? ? a ? ( ?b) D

一般地

? a

? b

三、几何意义:

? ? ? a ? b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量

( O 三 ? A 角 b ? ? 形 a ?b 法 B 则 ? )

? a

注意:(1)起点必须相同。(2)指向被减向量的终点。 “共起点,连终点,指向被减向量”

? ? (1)如果从 a 的终点指向 b 终点作向量,所得向量是什么呢? ? ?
??? ???? ??? ? ? 练习: AB ? AD ? DB (1) ??? ??? ???? ? ? (3) BC ? BA ? AC ??? ??? ??? ? ? ? (5) OA ? OB ? BA

??? ??? ???b ? a ? ? ? (2) BA ? BC ? CA ???? ??? ???? ? (4) OD ? OA ? AD

? ? ? ? 思考:若向量a、 共线,则应怎样作出 a ? b 呢? b

? a
b
(1)
O A B

? a
b
(2)

?? ? ? ? ? 若 a,方向相反,a ? b |?| a | ? | b | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若 a,方向相同,a ? b |?| a | ? | b (或 | b | ? | a |) b | | ?? ? ? ? ? 若a,不共线,则 | a ? b |?| a | ? | b | b

? ? a ?b

B

? ? a ?b

O

A

?? ? ? ? ? ? ? 任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

?? ? ? ? ? ? ? 任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

?? 任意向量a, b, ? ? ? ? ? ? 有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

例3 已知向量

? ? a ?b
? a ? b
? ? d

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b, c, d ,求作向量 a ? b , ? d 。 c

? ?? c?d
? c

B A
? a ? b
? ? d

D C

? c
O

作法:

? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? 在平面内任取一点O, 作 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d ,


??? ? ? ? BA ? a ? b

???? ? ? ? DC ? c ? d

起点相同,连接终点,指向被减向量的终点。 注意:

? ? ? ? 练习:已知向量 a, b,求作向量 a ? b
(1)
? a



(2)

? ? a ? ?b
b

? a ? b

? ? a ?b
? a

(3)

? ?? a ?b a

(4)
? b

? b

? ? a ?b

??? ? ???? ? ? 例4 在 AB ? ? ABCD 中, ???? ???a, AD ? b, ? ? 你能用 a, b表示 AC , DB 吗?

???? ? ? AC ? a ? b

???? ? ? DB ? a ? b

? b

D

C

? ? 变式一 本例中,当 a, b 满足什么条件时, ? ? ? ? ? ? a ? b与 a ? b 互相垂直? a ? b ? ? 变式二 本例中,当 a, b满足什么条件时,
? ? ? ? a ?b ? a ?b ?

A

? a

B

? ? a与b互相垂直

_____________________________________

变式训练三:a +b与a ?b可能是相等向量吗? 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同.

??? ? ? 例4:如图平行四边形ABCD, AB ? a, ??? ? ???? ? ? D DA ? b, OC ? c, ? ? ? ??? ? c b 证明:? c ? a ? OA b
O

C

A

证明:? c ? DA ? OC ? OC ? CB ? OB b ? b ? c ? a ? OB ? AB ? OB ? BA ? OA

a

B

练习:2
(1)化简 AB ? AC ? BD ? CD ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 解 : 原式 ? CB ? BD ? CD ? CD ? CD ? 0
(2)化简OA ? OC ? BO ? CO ??? ??? ? ? ???? ??? ? 解 : 原式 ? (OA ? BO ) ? (OC ? CO ) ??? ??? ? ??? ? ? ? ? (OA ? OB ) ? 0 ? BA

3、判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由

1、 ? BA ? 0 AB
2、 ? OA ? OB AB
4、若

( (



) ) )

3、相反向量就是方向相反的量 (
三点是一个三角形的定点 ( 5、 ? a ? a ( ) 0 )

AB ? BC ? CA ? 0 ,则A、B、C

6、两个向量是互为相反向量,则两个向量共线 ( )



练习
? 1化简:

( AB ? CD) ? ( AC ? BD)

原式 ? AB ? CD ? AC ? BD ? AB ? DC ? CA ? BD ? ( AB ? BD) ? ( DC ? CA) ? AD ? DA ? 0

练习
若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC 的取值范围是 _____.

解: BC ? AC ? AB , ? ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC ? AB ? 3 ? BC ? 13

??? ? ???? ? ? o 练习3:如图,已知向量 AB ? a , AD ? b,?DAB ? 120 , ? ? ? ? ? ? 且 | a |?| b |? 3,求 | a ? b | 和 | a ? b |
C
O

D ?

`

b

120o A

? a

B

解:以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD , 由于 | AD |?| AB |? 3,故此四边形为菱形 由向量的加减法知 ? ? ? ? AC ? a ? b, ? a ? b DB ? ? ? ? 故 | AC |?| a ? b | ,DB |?| a ? b | |
C
O

D ?
O

因为?DAB ? 120 ,所以?DAC ? 60
O

b

120o A

`

? a

B

所以?ADC 是正三角形,则 | AC |? 3

由于菱形对角线互相垂直平分,所以?AOD是直角三角形, ???? ???? 3 3 3 o | OD |?| AD | sin 60 ? 3 ? ? 2 2 ? ? ? ? 所以 | a ? b |? 3,a ? b |? 3 3 |

小结:
(一)知识 1.理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义, 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点 重点:向量减法的定义、向量减法的三角形法则



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