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2015-2016高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1



3.2 函数模型及其应用

3.2.1

几类不同增长的函数模型(一)

栏 目 链 接

1.复习已学习一次函数、二次函数、反比例与正比例函数及分段 函数的应用. 2.能根据数据正确选择最适合的函数模型,研究相应简单应用问 题. 3.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差 异.

r />
4.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型 增长的含义.

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题型1 一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不

同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围 内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如下图所示.
栏 目 链 接

(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.

分析:由题目可获取以下主要信息:(1)通过图象给出函数关 系,(2)函数模型为直线型,(3)比较两种函数的增长差异.答本题可 先用待定系数法求出解析式,然后再进行函数值大小的比较. 解析:(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35), C(30,15)分别代入y1,y2得 1 1 1 1 k1= ,k2= .∴y1= x+29,y2= x. 5 2 5 2
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1 1 2 (2)令y1=y2,即 x+29= x,则x=96 . 5 2 3 2 当x=96 时,y1=y2,两种卡收费一致; 3 2 当x<96 时,y1>y2,即如意卡便宜; 3 2 当x>96 时,y1<y2,即便民卡便宜. 3 点评:在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降 (自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数模型,利 用一次函数的图象与单调性求解.
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?跟踪训练 1.某企业制定奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的 员工实行奖励,奖励金额(元)是f(n)=k(n)(n-5 000)(其中n为年销售 0.03,5 000≤n≤10 000, ? ? ?0.04,10 000<n<20 000, ? ?0.05,20 000≤n, )
栏 目 链 接

额),而k(n)=

一员工获得400元的奖

励,那么该员工一年的销售额为( A.8 000 C.12 000

B.10 000 D.15 000

解析:本题是一分段函数应用题,函数关系已给出,关键是正 确理解题意,分段取值验算先取k(n)=0.03,由0.03(n-5 000)=400 栏 解出n>10 000,故不符合,再取k(n)=0.04,同样解得n=15 000, 目 链 知10 000<n<20 000时,符合题意. 接 答案:D

题型2 二次函数的应用
例2 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到 西红柿种植成本为Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的 数据如下表:

时间t
种植成本Q

50
150

110
108

250
150

栏 目 链 接

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个描述西红柿种植 成本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b, Q=at2+bt+c, Q=a·bt, Q=a·logbt. (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天 数及最低种植成本.

解析:(1)由题提供数据知:Q与上市时间t的变化关系的函数不 可能是常函数,而用函数Q=at+b, Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意 一个进行描述时都有a≠0,且此时三个函数均为单调函数,与表格 所提供的数据不合,所以选取二次函数Q=at2+bt+c来描述,以表 格中数据代入得: 150=2 500a+50b+c, ? ? ?108=12 100a+110b+c, ? ?150=62 500a+250b+c, 1 3 425 解得:a= ,b=- ,c= . 200 2 2 所以Q与t 的关系为:Q= 1 2 3 425 t - t+ . 200 2 2
栏 目 链 接

3 2 (2)当t=- ? =150天时,西红柿种植成本最低,为Q= 1 ? 2?200? ? ? - 1 3 425 ·1502- ×150+ =100(元/100 kg). 200 2 2 点评:对于二次函数模型,根据实际问题建立函数解析式后, 可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数 的最值,从而解决实际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时 特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
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?跟踪训练 2.如右图,用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框 架,若半圆半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并 写出它的定义域.
栏 目 链 接

︵ 解析:设AB=2x,CD=πx , l-2x-πx 于是AD= , 2 l-2x-πx πx2 因此,y=2x· + , 2 2 π+4 2 即y=- x +lx. 2 2x>0, ? ? l 由?l-2x-πx 得0<x< , π+ 2 >0 ? 2 ? ? l ? 函数的定义域为?0,π+2?. ? ?

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题型3 指数函数模型的应用
例3 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设 本利和为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的函数关系 式.如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后本利 和. (“复利”:即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算 下一期利息.)
解析:1期后y1=a+a×r=a(1+r),2期后y2=a(1+r)2,…, 则x期后,本利和为:y=a(1+r)x.将a=1 000元,r=2.25%,x=5 代入 上式:y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55, 由计算器算得:y=1 117.68(元). 所以复利函数式为y=a(1+r)x,5年后的本利和为1 117.68元.
栏 目 链 接

点评:(1)在解已给出函数模型的实际应用题时,关键是考虑该 题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型列出函 数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
栏 目 链 (2)判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近 接

数学模型,对于一般的应用问题,不会让数学模型完全符合,只是 基本符合,对此,无最优解,只有满意解.

?跟踪训练
目 璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后的强度为y,则 链 接

3.光线通过一块玻璃时,其强度要损失10%,把几块这样的玻 栏

y关于x的函数关系式为________.

答案:y=a0.9x

题型4 对数型函数模型的应用
例4 已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料 重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的 函数关系式为:

栏 目 y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln 2(其中k≠0). 链 当燃料重量为(-1)m吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大 接

速度为4(km/s). (1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火 箭的最大飞行速度达到8 km/s,顺利地把飞船发送到预定的轨道?

解析:(1)依题意把x=(

e

-1)m,y=4代入函数关系式y=

k[ln(m+x)-ln( 2m)]+4ln 2,解得k=8. 故所求的函数关系式为 y=8[ln(m+x)-ln( 2m)]+4ln 2,
?m+x?8 ? . 整理得y=ln? m ? ?

栏 目 链 接

(2)设应装载x吨燃料方能满足题意,此时,m=544-x,y=8,
?m+x? 8 544 ? 代入函数关系式y=ln ? ,得ln =1,解得x= 544-x ? m ?

344(t). 即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

点评:(1)解决应用问题的基础是读懂题意,理顺数量关系,关键是 正确建模,充分注意数学模型中元素的实际意义.

栏 目 (2)对数函数模型的一般表达式为:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数, 链 接 a>0,a≠1).

?跟踪训练 4.我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕 子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v= O 5log2 ,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量. 10 (1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位; (2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多 少? 解析:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入已知 O 函数关系式可得0=5log2 ,解得O=10个单位. 10 (2)将耗氧量O=80代入已知函数关系式,得 80 v=5log2 =5log223=15(m/s). 10
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