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绝对值不等式2



用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式

a2 ? b2 (a、b ? R), ① a ? b ? 2ab ? ab ? 仅当 a = b 时, “=”号成立 2
2 2

② a ? b ? 2 ab ? ab ? ?
3 3 3

?a?b? ? 仅当 a = b 时,

“=”号成立 ? (a、b ? R ), ? 2 ?

2

a3 ? b3 ? c3 ③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ? 仅当 a = b = c 时,“=”号成立 (a、b、c ? R ? ), 3
④ a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ?

?a?b?c? ? ? (a、b、c ? R ) ,仅当 a = b = c 时,“=”号成立 3 ? ?

3

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值:
2 ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

3 ) 2

② y ? sin x cos x(0 ? x ?
2

?
2

)

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y ? R ,求 f ( x) ? x ? 4、条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足
?

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y
?8 1 ?x ? y ?1 ? 即 ? x 16 y ? ? ? x ?y

解法一: (利用均值不等式)

8 1 x 16 y x 16 y x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , 当 且 仅 当 x y y x y x

x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。
解法二: (消元法) 由

8 1 ? ?1 x y



y?

x x ?8


1



y?0

x ? x ?8

又 0 ? x

0 ?

则 8 ? x?

16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? ? 10 ? 18 。当 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 16 且仅当 x ? 8 ? 即 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 x ?8
x ? 2y ? x ?
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ?3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy ,即 ( xy ) ? 2 xy ? 3 ? 0解得
2

xy ? ?1 (舍)或 xy ? 3 ,当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取 值范围是 [9, ??) 。
x? y 2 ) ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 ,当且仅 2 当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ??)
又 x ? y ? 3 ? xy ? ( 6、 添、减项(配常数项)

y ? 3x 2 ?
例 1 求函数

16 2 ? x 2 的最小值.

3x 2 ?
分析:

16 1 2 2 ? x 是二项“和”的形式,但其“积”的形式不为定值.而 2 ? x 2 可与 x 2 ? 2 y ? 3x 2 ? 6 ? 16 ?6 2 ? x2 ,再用均值不等式.

相约,即其积为定积 1,因此可以先添、减项 6,即

评注 为了创造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变, 添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.

xy 是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式 x ? y 是否定 分析 lg x ? lg y ? lg( xy) ,
值,

xy 而已知是 3 x 与 2 y 的和为定值 12 ,故应先配系数,即将 变形为
式. 7、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数

3x ? 2 y 6 ,再用均值不等

y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1
的最小值.

分析 在分子的各因式中分别凑出 x ? 1 ,借助于裂项解决问题. 8、 取倒数

( x ? 1)2 1 y ? 0? x? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数 例 4 已知
2

分析 分母是 x 与 (1 ? 2 x) 的积,可通过配系数,使它们的和为定值;也可通过配系数,使 它们的和为 (1 ? x) (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 9、 平方 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且

2x2 ?

y2 ? 8 x 6 ? 2 y2 3 求 的最大值.

分析 条件式中的 x 与 y 都是平方式, 而所求式中的 x 是一次式, y 是平方式但带根号.初看 似乎无从下手,但若把所求式 解决. 10、 换元(整体思想)

x 6 ? 2 y2

平方,则解题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来

y?
例 6 求函数

x?2 2 x ? 5 的最大值.

分析 可先令 x ? 2 ? t ,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决. 11、 逆用条件

1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 例 7 已知 x y ,则 x ? y 的最小值是(
分析 直接利用均值不等式,只能求

) .

xy 的最小值,而无法求 x ? y 的最小值.这时可逆用条

1?
件,即由 12、 巧组合

1 9 1 9 ? x ? y ? ( x ? y)( ? ) x y ,得 x y ,然后展开即可解决问题.

例 8 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 . 13、 消元

y2 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是. 例 9、设
y?
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题.

x ? 3z y2 x , z 表示, 2 , 则可对 xz 进行消元, 用

三、 练习
1、求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 2、已知 x ? 1 (2)y=2x+ x

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
3

3、 当 4、设 0 ? x ?

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 5、求 y ? x ?1
6、求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

7、已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 最大值.

x(1? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的

a b 8、若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

9、若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y
1 的最小值. ab

10、已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

11、已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 12、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 13、求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

14、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a

2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

15、正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 16、已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

17、已知 x ? 0, y ? 0 且 18 、 若 a ? b ? 1, P ? 是 .

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y
lg a ? lg b , Q ? 1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) , 则 P, Q, R 的 大 小 关 系 2 2

19、试分别求: y ?

x ?1 ( x ? 1) ; y ? x ? x ?1
2

x ?1 最大值。 x

20、求 y ? 2log2 ( x ? 2) ? log2 ( x ? 3) ? 1 最小值。 21、若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

4



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