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第2课时 函数奇偶性的应用



第2课时

函数奇偶性的应用

1.复习函数的单调性和奇偶性的概念; 2.利用函数的奇偶性补全函数的图象; 3.能够根据函数奇偶性的概念求函数解析式;(难点) 4.根据奇偶性判断函数的单调性.(重点)

函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值

x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数.

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.

探究点1 根据函数奇偶性画函数图象
偶函数的图象关于y轴对称,如果能够画出偶函数在 y轴一侧的图象,则根据对称性就可补全该函数在y轴另

一侧的图象.
奇函数的图象关于坐标原点对称,如果能够画出函数

在坐标原点一侧的图象,则根据对称性可以补全该函数
在原点另一侧的图象.

例1.画出下列函数的图象
(1) y ? x 2 ? 2 x 1 (2) y ? x ? x

分析:(1)根据函数奇偶性的定义,不难知道函数是偶
函数,这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据

对称性画出函数在x<0时的图象.
(2)函数是奇函数,同样根据对称性解决.

解:(1)当

x?0

时, y ? x2 ? 2 x ? ( x ?1)2 ?1

其图象是以点(1,-1)为顶点,开口向上的抛物线,与x
轴的交点坐标是(0,0)(2,0). 此时函数图象在y轴右半

部分如图所示:
根据函数图象的对称性

得到整个函数的图象,
如图.

(2)函数是奇函数,可以证明这个函数在区间(0,1]

上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且在(0,
+∞)上函数值都是正值,函数在(0,+∞)上的最小值 为2.(这些都可以根据函数单调性的定义进行证明) 根据函数在(0,+∞)上的性质,

作出函数的图象,如图第一象限
内如图所示.

根据奇函数图象关于坐标原点
对称画出这整个函数的图象, 如图。

探究点2

根据函数的奇偶性求函数解析式

例2.已知函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=2x+1, 根据下列条件求函数在(-∞,0)上的解析式. (1)f(x)是偶函数;

(2)f(x)是奇函数.

分析:求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式,就是求当

x ? (??,0) 时,如何用含x的表达式表示f(x)
能够利用的已知条件是函数在(0,+∞)上的函数解析 式,这样就要把(-∞,0)上的自变量转化到(0,+∞) 上的自变量. 根据偶函数、奇函数的定义,具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的,对偶函

数就是f(x)=f(-x),这样当 x ? (??,0) 时, ? x ? (0, ??) ,
而在(0,+∞)上的函数解析式是已知的.对奇函数同 样处理.

解:(1)当函数f(x)是偶函数时,满足f(x)=f(-x)
当 x ? (??,0) 时,? x ? (0, ??) , 所以,当 x ? (??,0) 时,

f ( x) ? f (? x) ? 2(? x) ? 1 ? ?2 x ? 1
(2)当函数f(x)是奇函数时,满足f(x)=-f(-x) 当 x ? (??,0) 时,? x ? (0, ??) , 所以,当 x ? (??,0) 时,

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[2(? x) ? 1] ? 2 x ? 1

探究点3

利用函数的奇偶性研究函数的单调性

回顾例1中两个函数的图象 第(1)个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上的单调性恰好相反,这也是偶函数的单调性的一 般规律. 第(2)个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的 区间上具有相同的单调性,这也是奇函数的单调性的一

般规律.

例3.已知函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函
数,证明函数在(-∞,0)上也是减函数. 分析:根据证明函数单调性的一般步骤,先在(-∞,0) 上取值,然后作差,通过函数是奇函数把函数在(-∞,0)

上的函数值转化到(0,+∞)上的函数值,再根据函数
在(0,+∞)上是减函数,确定所作的差的符号,最后 根据函数单调性的定义得到证明的结论.

证明:在(-∞,0)上任取x1<x2,则-x1>-x2>0 因为函数在(0,+∞)上是减函数,所以

f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? 0
由于函数f(x)是奇函数,所以

注意步骤

f (? x1 ) ? ? f ( x1 ), f (?x2 ) ? ? f ( x2 )
所以-f(x1)+f(x2)<0 ,即f(x1)-f(x2)>0. 根据减函数的定义,函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.

提升总结:
函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区 间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于定 义域对称的区间上单调性相反. (2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数;

偶函数在对称区间上的最值相等.

1.(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-

8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(
(A){x|x<-2或x>4} (C){x|x<0或x>6}

)

(B){x|x<0或x>4} (D){x|x<-2或x>2}

解:选B.因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,由偶函数的性质可知,若f(x-2)>0,需满足|x-

2|>2,得x>4或x<0,故选B.

2.画出函数f(x)=-x2+4|x|的图象.
答案:

3.已知奇函数f(x),在(-∞,0]上的解析式是 f(x)=x2+2x,求这个函数在(0,+∞)上的解析式. 答案: f ( x) ? ? f (? x) ? ?[(? x)2 ? 2(? x)] ? ? x2 ? 2 x

4.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,判断函数f(x) 在(0,+∞)上的单调性,并加以证明. 答案:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数. 证明:在(0,+∞)上任取x1<x2,则0>-x1>-x2 由于函数在(-∞,0)上是增函数,故f(-x1)>f(-x2), 由于函数f(x)是偶函数,所以f(-x1)= f(x1), f(-x2)= f(x2),所以f(x1)>f(x2),根据减函数的定义,函数f(x)

在(0,+∞)上是减函数.

1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它与函数的单 调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具. 2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,而函数

的单调性是函数在定义域上的局部性质.
3.具备奇偶性的函数,若是奇函数则在定义域关于原点 对称的区间上具有相同的单调性;若是偶函数则在定 义域对称的区间上具有相反的单调性.

但凡人能想象到的事物,必定有人能

将它实现。
——凡尔纳



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