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【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)试题分类汇编10 排列、组合及二项式定理 理



备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精 选理科试题(大部分详解)分类汇编 10:排列、组合及二项式定 理

一、选择题 1 .【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)将甲、乙、丙、丁 ( 四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同 一个班,则不同的分法的种数为 ( A.

24 种 B.30 种 C.36 种 D.81 种 【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名
2 3 学生则,从 4 人中先选 2 人一个班,然后在分班,有 C4 A3 ? 36 种。若甲乙两人分在 3 一个班则有 A3 ? 6 种,所以甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数



为 36 ? 6 ? 30 种,选

B. )

2 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学)从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 ( A.24 B.18 C.12 D.6 【答案】B【解析】若选 0,0 只能放在十位上,此时从 1,3,5 中选 2 个奇数的排成三位
2 奇数有 A3 ? 6 种。若选 2,从 1,3,5 中选 1 个奇数排在个位,然后从剩下俩个奇数选 2 一个和 2 进行全排列放在十位和百位,共有 3? 2 ? A2 =12 种,所以共有 18 种排法,选

B. 3 .【解析】云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学)某教师一天上 3 个班 ( 级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并且教师不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课的所有排法有 ( A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 【答案】A【解析】首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 ? 504 种排
3



法,其中上午连排 3 节的有 3 A3 ? 18 种,下午连排 3 节的有 2 A3 ? 12 种,则这位教师
3 3

一天的课表的所有排法有 504-18-12=474 种,故选 A. 4 . (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题) ( x ? )(2 x ? )5 展 开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为 A. ?40 B. ?20 C. 20 ( D. 40 )

a x

1 x

【 答 案 】 D 【 解 析 】 令 x ? 1 , 得 1? a ? 2 , 所 以 a ? 1 , 所 以
1

a 1 1 1 ( x ? )(2 x ? )5 ? ( x ? )(2 x ? )5 x x x x



1 (2 x ? )5 x

的 展 开 通 项 为 :

C5r ? 2 x ?

5? r

r ? 1? r 5? r 5? 2 r , 由 5 ? 2r ? 1, 得r ? 2,由5 ? 2r ? -1, 得r ? 3, ? ? ? ? ? ?1? C5 2 x ? x?

r

所以 (2 x ? )5 展开式中 x 项的系数为 80, (2 x ? )5 展开式中 x ?1 项的系数为-40,所 以 ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中常数项为 80-40=40。 5 . (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题) (2x+ ) (2x- ) 的展开式中各项系数之和为 3,则该展开式中常数项为

1 x

1 x

1 x

1 x

a x

1 x

5





A.40 B.160 C.0 D.320 【答案】C 6 . (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题) 跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格, 那么人从格外跳到第 8 个格子的方法种数 1 2 3 4 5 6 7 8 ( 为 A.8 种 B.13 种 C.21 种 D.34 种[来源: 【答案】 C. 7 . (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考数 学(理)试题)若 ( x ?1)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 a0 ? a2 ? a4 的值为 A.9 【答案】 B.8 B. C.7 D.6 (





8 . (贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学) 2 ? 的和为( ) A.-1

?

x 展开式中不含 x 4 项的系数 ..
( )

?

8

B.0
k

C.1
8? k

D.2
k

【答案】【解析】 B 二项式的通项 Tk ?1 ? C8 2

令 (?1) k ( x ) k ? C8k 28? k (?1) k x 2 , k ? 8 ,

8 则 T9 ? C8 (?1)8 x 4 ? x 4 ,所以 x 4 的系数为 1.令 x ? 1 ,得展开式的所有项系数和为

? 2 ? 1?

8

? 1 ,所以不含 x 4 项的系数的和为 0,选

B.
8 4

9 . (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题) 一 x ) 展开式中不含 x 项 (2 .. 的系数的和为 A.-1 ( B.0 C.1
8



D.2

【答案】B【解析】令 x=1,得: 一 x ) 展开式中所有项的系数为 1,又 (2

C8r 28? r ? x

?

?

r

? ? ?1? C8r 28? r x 2 ,由
r

r

r ? 4, 得r ? 8 ,所以 x4 项的系数为 2
2

? ?1?

8

8 C8 20 ? 1 ,所以(2 一 x )8 展开式中不含 x4 项的系数的和为 1-1=0。 ..

10. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 (四) 理科数学试题) 若二项式 ? x 3 ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 A.3 B.5 C.7 【答案】B【解析】展开式的通项公式是 Tr+1= Cr x n
3n? 3r ? 2r

? ?

1 ? ? x2 ?

n

( D.10
? ? 1 ? ? x2 ?
n



x = Cr x3n? 5r,若二项式 ? x3 ? n

的展开式中含有非零常数项,则 3n? 5r = 0,即 n ? 时,此时 n 的最小值是 5. 选 B.

5r ( r ? 0 ,1,2,…,n),故当 r ? 3 3

11. (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)若

( x2 ?

3 1 n ) 的展开式 中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中 常数项是 14 x





A. -10 B. 10 C.-45 D.45 【答案】 D. 12. (甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学(理) )将甲、乙、丙、丁、戊共五位同 学分别保送到北大、上海交大和浙大 3 所大学,若每所大学至少保送 1 人,且甲不能被 保送到北大,则不同的保送方案共有多少种? ( A.150 B.114 C.100 D.72 【答案】C【解析】每所大学至少保送 1 人,则各学校保送人数为 1,1,3 或者 1,2,2.若 甲单独被保送到一个学校,若各学校人数为 1,1,3 时,先保送甲,然后把其他 4 人按
1 1 3 2 1,3 进行分组保送,此时有 C2C4C3 A2 ? 16 ;若各学校人数为 1,2,2 时,先保送甲,然 1 2 2 后把其他 4 人按 2,2 进行分组保送,此时有 C2C4 C2 ? 12 .若甲和另外 1 人构成 2 个一



组时,此时按 1,2,2 进行分组报名,先从 4 人选 1 人和甲一组,然后剩余 3 人按 1,2
1 1 1 2 2 进行分组保送,此时有 C4C2C3C2 A2 ? 48 .若和甲一起报名的有 3 人,此时先从 4 人中 2 1 2 选 2 人和甲构成 3 人,剩余 2 人,1 人保送一个学校,此时有 C4 C2 A2 ? 24 .综上不同

的保送方案有 16 ? 12 ? 48 ? 24 ? 100 种,选

C.

13. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一
2 n 中) )若 ( x ? ) 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项为

1 x





A. ? 84

B. 84

C. ? 36
n

D. 36

【答案】B【解析】因为所有二项式系数和为 2 ? 512 ,所以 n ? 9 。所以二项展开式 的通项为 Tk ?1 ? C9 ( x )
k 2 9? k

1 (? )k ? (? 1)k C9k x18? 3 k ,由 18 ? 3k ? 0 得 k ? 6 ,所以常数 x
3

6 项为 T7 ? (?1)6 C9 =84 ,选

B.

二、填空题 14. (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学)在 (1 ? x)5 ? (1 ? x)6 的展开式中,含

x 3 的项的系数是
【答案】-30【解析】 (1 ? x)5 的展开式的通项为 C5 (?1) x , (1 ? x)6 的展开式的通项
k k k

为 C6 (?1) x ,所以 x 3 项为 C5 (?1) x ? C6 (?1) x ? ?30x ,所以 x 3 的系数为 ?30 .
k k k 3 3 3 3 3 3 3

15. (贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题)(x +1)(1 ? 2 x) 展开式中, x 3
5

的系数为

(用数字作答) .
5

k 【答案】 ?40 【解析】 (1 ? 2 x) 的展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 (?2) k x k ,所以
3 40 所以 x 3 的系数为, ? 80 ? ?40 . T3 ? C52 (?2) 2 x 2 ? 40 x 2 , 4 ? C5 (?2)3 x 3 ? ?80 x 3 , T

16.【解析】云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学) ( x ? ) 展开式中常 (
3 4

1 x

数项为 【答案】 ?4 【解析】展开式的通项为 Tk ?1 ? C4 ( x )
k 3 4? k

1 k (? ) k ? (?1) k C4 x12? 4 k ,由 x

3 12 ? 4k ? 0,得 k ? 3 ,所以常数项为 T4 ? (?1)3 C4 ? ?4 。

17. (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)6 人站 一排照相,其中有甲乙两人,则甲乙两人之间间隔两人的排法有 【答案】144 18 .( 甘 肃 省 兰 州 一 中 2013 高 考 冲 刺 模 拟 ( 一 ) 数 学 ( 理 )) 设

a ? ? sin xdx,则二项式(a x ?
0

?

1 6 ) 的展开式中的常数项等于 x

.

【答案】-160 ; 19. (云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理) .将甲、乙、丙、丁四名 学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个 班,则不同分法的种数为 。 【答案】 30 【解析】四名学生两名分到一组有 C4 种,3 个元素进行全排列有 A3 种, 甲乙两人分到一个班有 A3 种,所以有 C4 A3 ? A3 ? 36 ? 6 ? 30 .
3 2 3 3 2 3

20. (贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)

(9x ? 3? x )6 ( x ? R) 的二项展开式中的常数项是__________.

4

【答案】 15 21. (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)在 ( x ? ) 展开式中,
7

1 x

不含 x 的项的系数 和是___ _____. 【答案】 7

2

5



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