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高中数学 第三章《几个常用函数的导数》教案 新人教A版选修1-1


3.2.1 几个常用函数的导数 备课人 夏军 贾正才
教学目标: 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数; 2. 利用公式解 决简单的问题。 教学重点和难点 1.重点:推导几个常用函数的导数; 2.难点:推导几个常用函数的导数。 教学方法: 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数,感知、理解、记忆。 教学过程: 一 复习 1、函数在一点处导数的定义; 2、导数的几何意义; 3、导函数的定义; 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例 1.推导下列函 数的导数 (1) f ( x) ? c 解:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0, ?x ?x ?x ?y f ' ( x) ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0

1. 求 f ( x) ? x 的导数。 解:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ? 1, ?x ?x ?x ?y f ' ( x) ? lim ? lim 1 ? 1 。 ?x ? 0 ?x ?x ? 0

y ' ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程关于时间
的函数,则 y ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动。
'

思考:(1).从求 y ? x , y ? 2 x , y ? 3x , y ? 4 x 的导数如何来判断这几个函数递增 的快 慢? (2).函数 y ? kx(k ? 0) 增的快慢与什么有关? 可以看出,当 k>0 时,导数越大,递增越快;当 k< 0 时,导数越小,递减越快. 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数。
2

1

解:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ? 2 x ? ?x , ?x ?x ?x
y ' ? f ' ( x) ? lim ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x 。 ?x ?0 ?x ?x ? 0

y ' ? 2 x 表示函数 y ? x2 图象上每点(x ,y)处 的切线的斜率为 2x,说明随着 x 的变化,
切线的斜率也在变化: (1) 当 x<0 时,随着 x 的增加, y ? x2 减少得越来越慢 (2 )当 x>0 时,随着 x 的增加, y ? x2 增加得越来越快。 3. 求函数 y ? f ( x ) ?

1 的导数。 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x ? ?x x x ? ( x ? ?x ) 1 ? ? ? ?? 2 解: , ?x ?x ?x x( x ? ?x )?x x ? x ? ?x
y ' ? f ' ( x) ? lim
?x ?0

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ? ?x x

思考 :(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程

k ? f ' (1) ? ?1 ,所以其切线方程为 y ? ? x ? 2 。
(2)改为点(3,3),结果如何? (3)把这个结论当做公式多好呀,,既方便,又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数 y ? f ( x) ? 解:

x 的导数。
x ? ?x ? x ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? ?x ?x    ?

( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ?x( x ? ?x ? x ) 1  = ( x ? ?x ? x )
y ' ? f ' ( x) ? lim ?y 1 1 ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x
2

2. 已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y ? x 上的两点,求与直线 PQ 平行的曲 线的切线方程。 解: y ? 2 x ,设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y
'
' x ? x0

? 2 x0 .
2

4 ?1 ? 1, 又切线平行于 PQ, 2 ?1 1 1 1 所以 k ? 2 x0 ? 1 ,即 x0 ? ,切点 M ( , ) , 2 2 4
因为 PQ 的斜 率 k ? 所求直线方程为 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 。[ 四 练习 1.如果函数 f ( x) ? 5 ,则 f ' (1) ? ( A. 5 B. 1 C. 0 ) D.不存在 )

2.曲线 y ? ?2 x2 ? 1 在点(0,1)的切线斜率是( A.-4 3.曲线 y ? B.0 C.2 D. 不存在

1 1 2 x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为( ) 2 2 ? ? 5? A. ? B. 1 C. D. 4 4 4

答案: 1.C 2.B 3.C 五 小结 1.记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用; 2.在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证明,上 述几个结论直接使用。 六 作业 1. P85 ,A 组 1 2.求双曲线 y ?

1 1 过点 (2, ) 的切线方程。 x 2

3


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