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高中数学必修2-2.1.3、4《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》同步练习



2.1.3、4《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》 同步练习
一、选择题 1.正方体的六个面中相互平行的平面有( A.2 对 C.4 对 [答案] B 2 .三棱台 ABC - A′B′C′的一条侧棱 AA′所在直线与平面 BCC′B′之间的关系是( A.相交 B.平行 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 [答案] A [解析] 由棱台的定义知,棱台的所

有侧棱所在的直线都交于同一点,而任一侧面所在 的平面由两条侧棱所在直线所确定, 故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面 都相交. 3.若直线 a∥平面 α,直线 b∥平面 α,则 a 与 b 的位置关系是( A.平行 C.异面 [答案] D [解析] 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1∥平面 AC, A1D1∥平面 AC, 有 A1B1∩A1D1=A1; 又 D1C1∥平面 AC, 有 A1B1∥D1C1; 取 BB1 和 CC1 的中点 M,N,则 MN∥B1C1,则 MN∥平面 AC,有 A1B1 与 MN 异面,故选 D. 4.给出以下结论: (1)直线 a∥平面 α,直线 b?α,则 a∥b. (2)若 a?α,b?α,则 a、b 无公共点. (3)若 a?α,则 a∥α 或 a 与 α 相交. (4)若 a∩α=A,则 a?α. 正确的个数为( A.1 个 C.3 个
1

) B .3 对 D.5 对

)

)

B.相交 D.以上都有可能

) B .2 个 D.4 个

[答案] B [解析] 其中(3),(4)正确. 5.平面 α∥平面 β,直线 a∥α,则( A.a∥β C.a 与 β 相交 [答案] D [解析] 如图(1)满足 a∥α,α∥β,此时 a∥β; 如图(2)满足 a∥α,α∥β,此时 a?β,故选 D. ) B.a 在面 β 上 D.a∥β 或 a?β

6.已知平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行,那么( A.α∥β C.α 与 β 重合 [答案] D B.α 与 β 相交

)

D.α∥β 或 α 与 β 相交

[解析] 如右图,设 α∩β=l,则在 α 内与 l 平行的直线可以有无数条 a1,a2,…,an,…,它们是一组平行线.这时 a1,a2,…,an,…与平 面 β 都平行,但此时 α∩β=l. 二、填空题 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中判断下列位置关系: (1)AD1 所在的直线与平面 BCC1 的位置关系是________. (2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 的位置关系是________. [答案] 平行 相交 8.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零, 则这两个平面的位置关系是________. [答案] 平行或相交 9.下列命题正确的有________. ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ③若直线 l 与平面 α 相交,则 l 与平面 α 内的任意直线都是异面直线; ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ⑤若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的直线平行或异面; ⑥若平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,则直线 a∥b.
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[答案] ①⑤ [解析] ①显然是正确的;②中,直线 l 还可能与 α 相交,所以②是错误的;③中,直 线 l 和平面 α 内过 l 与 α 交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线 中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面 内,所以④是错误的;⑤中,直线 l 与平面 α 没有公共点,所以直线 l 与平面 α 内的直线没 有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的;⑥中,分别在两个平行平面内的直线可以 平行,也可以异面,所以⑥是错误的. 三、解答题 10.如右图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,试判断 (1)AM 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系? (2)CN 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系? (3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系? (4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系? [解析] (1)AM 所在的直线与平面 ABCD 相交. (2)CN 所在的直线与平面 ABCD 相交. (3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 平行. (4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 相交. 11.三个平面 α,β,γ.如果 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线 c?β,c∥b. (1)判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由. (2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. [解析] (1)c∥α.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,又 c?β,所以 c 与 α 无公共点, 则 c∥α. (2)c∥a.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,又 γ∩α=a,γ∩β=b,则 a?α,b?β,且 a,b?γ,a,b 没有公共点.由于 a,b 都在平面 γ 内,因此 a∥b,又 c∥b,所以 c∥a. 12.如图所示,已知平面 α∩β=l,点 A∈α,点 B∈α,点 C∈β,且 A?l,B?l,直线 AB 与 l 不平行,那么平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 有什么关系?证明你的结论.

[解析] 平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 相交. 证明:∵AB 与 l 不平行,且 AB?α,l?α, ∴AB 与 l 一定相交.设 AB∩l=P, 则 P∈AB,P∈l.

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又∵AB?平面 ABC,l?β, ∴P∈平面 ABC,P∈β. ∴点 P 是平面 ABC 与平面 β 的一个公共点, 而点 C 也是平面 ABC 与平面 β 的一个公共 点,且 P,C 是不同的两点, ∴直线 PC 就是平面 ABC 与平面 β 的交线. 即平面 ABC∩平面 β=PC,而 PC∩l=P, ∴平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 相交.

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