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构造新函数



第 5 御 

高 中数 学教 与学 

构 造新函数

巧 麓 一 类 题 

王  琪  
( 江苏 省盐城 中学 , 2 2 4 0 0 5 )  

近几年各地 调研 、 模 考试 卷 中经 常 出现  这样一类题 , 即给 出含有 导数式 子 的不 等式 ,  

求解 ( 或判断 ) 相关不等式 的问题.这类 问题 


单调性 , 从 而得 到 , (  )的单 调性 ; 再 由 函数  , (  )的奇偶性 得 到 函数 g (  )的奇偶 性 和 图  象 的对称性 , 由, ( 3 )=0 得 到函数 g (  )的图  象过定点 , 根据 函数简 图不难求 出, (  ) ≥0 的  解集.  
解  令 g (  )=  
g   (  )  :  
‘ .


般都涉及 到抽 象 函数 , 往 往 比较 抽 象难 以 

求解. 如果 能想 到利 用 导数 的 运算 法则 构 造  新 函数 , 然后再 运用 导数性 质确定 其单 调性 ,   那么此类问题 就迎刃而解 了. 本文从 2 0 1 3年 、   2 0 1 4年各地调研 、 模 考试 题 中精 选几 例 进行  分析 , 供大家参考.   例1   若 函数 Y=厂 (  )在 R上可导且满  足不等式  (  )>一   )恒成立 , 且常数 口 、   b 满足 n >b , 则 下列不 等式 中一 定成立 的是 
(   )  

(   ≠0 ) , 则 
<0,  

戈‘  

g ( x ) 在( 一∞, 0 ) 上是减 函数.  

又 函数 , (  ) 是定 义在 R 上的奇 函数 , 知  g ( x ) 是 R上偶 函数 ,  
?




g (  ) 在( 0 , +a 。 ) 上是增 函数 ,   /   )=x g (  ) 在( 一∞ , 0 ) 和( 0 , +∞)  

。 . .

( A) a f ( b )>b y ( 8 )   ( B ) a f ( 口 )>b y ( 6 )   ( C ) a f ( a )<b y ( b )   ( D) a f ( 6 )<b y ( 8 )  

上是都是增 函数.  
? . .

由  3 )=一  一 3 )=0=  0 ) 结合单 

分析  由不等式条件 的结构联 想 , 构造  函数 g ( x )=x f (  ) , 再 由导 函数 的符号判断 出  函数 g (  )的单调性 , 即可得 出正确选项.   解  设 g (  )=  
。 . .

调性可 知 , 原不等式 的解集 为 {  l 一3≤   ≤0   或  ≥ 3 } .   例3   已知定义在 R上 的可导 函数 Y=   , (  )的导 函数为  (  ) , 满足 f   (  )<   ) ,   且 Y=   +1 )为偶 函数  2 )=1 , 则不等式  )<e  的解集为一   分析  本题关键是构造 函数 
g (  ) =  
e 

) , 则 

g   (  )=x f   (  )+ , (  )>0 ,  

函数 g (  ) 在 R上是增 函数.  
.  

又 ‘ . ’常数 a , b 满足 a>b ,  


. 

口 )>b y ( b ) .  

故应选 B .  

解  令g (   ) =  掣, 则  
g , (   ):  
e 
? . .

例2   函数  ) 是定义在 R上的奇函数 ,   , ( 3 )=0 , 且  <0时 ,   (   )< , (  ) , 则不等 
式  )≥ 0的解集是一   分析  构造 新 函数 g (   ) =厶  (  ≠   0 ) , 利用  (  ) 相关不 等式得到 函数 g (  )的 

<0 ,  

g (  )在 R上是减 函数.   又 Y=   +1 )为偶 函数 ,  
? .



Y=  

)图象关于直线  =1 对称 , 即 
2 5?  

有, ( 2 )=   0 ) =1 .  
?

高中文学教与学  
O a f (  )<。   ,  
e 

2 0 1 5年  
<1 .  

詈 ) s i n   的 解 集 为 —— 
解 令  )=   , 则 

又g ( 0 ):A o   ): 1


,  

。 . .

g (  )<g ( o ) , 即有  >0 ,  

g , (   ):   坐 
?
? ?

<0

,  

? . .

原不等式 的解集 为 {  I   >0 } .   (  ) > 0 ,则 不 等 式  )的 解集 为  ) , 则 

例 4 设, (  ) 是定义在 R上的可导函数 ,   且满 足 , ( * )+   , (  
. .。... ..... ..... ....

g (   ) 在 ( o , 詈 ) 内 为 减 函 数 ?  

)>  
一-  

由  ) <  詈 ) s   n   ,   即 有  
? .

<  詈 ) ,  

解  令 g (  )=  
?
. .

g (   ) < g ( 詈 ) ,  

g   (   )=. , . (  )+   (  )>0 ,  



原不等式 的解集 为 

g ( x ) 是增 函数. 不等式 

)> — - — l f ( 厢
可化为 


)  

詈“ < 詈 } .  
例7   定 义 在 R 上 的 函 数  )满 足  ,   (   )> 1一 , (   )   0 ) =4 , 其 中  (   )是  , (  )的导 函数 , 则不等式 e   )>e   +3 ( 其 

+1  
l  

+1 )>  
一1 ) ,   一1 ) .  

即 

g (  

+1 ) >g (  

中e 为 自然对数 的底数 )的解集为一 解  令 g (   )=e   )一e   , 贝 H  

 

由 f  玎 >  
L   一 I≥ 0.  
? . .

1 , 得1 ≤  < 2 ,  

g   (  )=e   [   )+ ,   ( z )一I ]>0 ,  
‘ . .

原不 等式 的解集为 {  I   1≤   <2 } .   (  ) 恒成立 , 则不等式 


g (  )是增函数. 又  0 )=4 ,   不 等式 e   )>e  +3可化为 e   )   原不等式 的解集 为 {  I   >0 f ,  



例5   已知, (  ) 是定义在 ( 0 , +∞) 上 的 





可 导函数 , 且, (  )>  

e  >3 , 即g (   )>g ( o ) , 得  >0 .  
? . .

÷ ) 一  ) > 0 的 解 集 为  
解 令  )=   , 则 
<0 ,   g , (   ):  
? . .

例8   设 函数, (  ) 是定 义在 ( 一∞, 0 ) 上  的可导 函数 , 其导 函数为f’ (  ) , 且有  )+   ’   (  ) >   , 贝 U 不等式 (   +2   0 1 5 )  ^ (  +   2   0 1 5 )一   一2 )>0的解集 为一   分 析  构造 函数 g (  )=   ) , 讨论其  单调性 , 其 中将条件  )+   (   )>   两边 

g (  )为定 义域 ( 0 , +∞)上的减函数.  

同时乘 以  的变形 是解题 的关键.  

由 条件不等式 得   早



>  

,  

解  由2 , - (  )+   (  )>   (   <0 ) , 得 

2   ) + x V   (   )<   < 0 , 且 口 [   :  ) ]  <0 ,  

. .

<  . 即  > 1 ,  

令g (  )=   2   0 1 5 )  
’ . . 

) , 则 当  <0时 , g (  ) 是减函 

数. 又 g (一 2 ) = 哇 厂 (一 2 ) , . ’ . 由 (   +  

?




原不等式的解集为 {  I   >1 } .  

+2   0 1 5 )一4 J  一 2 )>0 , 得g (  +  
+2   0 1 5 <一2 , 即  <一2   0 1 7 ,  

例 6  已 知 定 义 在 ( 0 , 詈 ) 内 的 函 数  )  

2   0 1 5 ) >g ( 一2 ) ,  

的 导 函 数 为 ,   (   ) , 且 对 任 意   c ( 0 , 号 ) , 都  
有,   (  ) s i n   <   ) C O 8  , 则不等式  )<  






原不等式 的解集为 ( 一∞ , 一2   0 1 7 ) .  

例 9 定义在 R上的函数  ) 满足  1 )  

第 5 朝 

高中文学教 与学  

。课 外测试 。 

高 一数 学测 试 




填 空题 ( 本大题共 1 4小 题 , 每小题 5 分, 共 

9 . 在 AA B C中 , 已知 D是 B C上 的点 , 且C D=  

7 0分 )  

2 B D . 设府 :口 ,   :b , 则  :一
( 用a , b表示 )  
A 

 

1 . 若集合 A= { 1 , 3 } , B={ 0 , 3 } , 则A   u   B=   2 .s i n   2 1 0 。 的值为一  

3 .1 g   2+2 1 g √ 亨的值为一

 
B   D  C 

4 , 函 数 , , = t a n ( 3   + 子 ) 的 最 小 正 周 期 为  
5 .函 数 Y =   +   I _ 的 定 义 域 为 
l 一 

第 9题 图 

1 0 . 已知不 共 线 向量 a 、 b , A 雪 =t a—b( t   E   R) , A C=2 a+ 3  , 若 A、 B、 C三点 共线 , 则 实  数t 等于一   l 1 .将 函数 Y:s i n   的图象上所有 点 向左 平 

6 . 已 知 幂 函 数 , (   ) 的 图 象 过 ( 2 , 譬 ) , 则 , ( 4 )  

— — —

_

.  

7 . 函数  )=I n ( x一2 )的单调 递增 区间为 
8 . 已知扇形 的周长为 8   c m, 圆心角 为 2   t a d , 则  该扇形的面积 S为— — c m 2 .  

移÷ 个单位长度, 再把所得各点的横坐标 
J 

变为原来 的3 倍( 纵坐标不变 ) , 则 所得 函数 

图象的对称 中心坐标为— —- .  
1 2 .在 AA B C中, 角 A为钝角 , 且A 舌 =( 1 ,  

‘ ●… ‘ ●… ? ●… ? ●… ‘ ●…  

=1 , 且对任意  ∈R, 都有,   (  )<  1


?

则不 





g ( t )在其定 义域上 为减 函数.  
1 上 1  

又  1 )=1 , g ( 1 )=   1 )一  

=0 , 原 
● 

等式  l 。 g :   )>  

的解集 为— —   不 等式可化 为 g ( t )>g ( 1 ) ,   , 结 


分析  构造 函数 g ( t ):, ( t )一  





t<1 , 即有 l o g 2  <1 , 解得 0<   <2 ,  

?

合条件讨论 其单 调性 , 然 后转 化 为对 数 不 等  式求解.   解  令 t=l o g :  , 则原不等式可化 为  , ( £ )>  





原不等式的解集为 {  1   0<   <2} .  

总之 , 根据所解 不等 式 , 由导数 运算法 则 

构造适 当的辅 助 函数 , 结 合条 件 运 用导 数 判 
断其单调性 , 从 而“ 脱去 ” 对 应法则 , 变 陌生为 

熟悉 , 化 抽 象 为具 体 , 将 原 不 等式 转 化 为 整 

令g ( t ) : , ( t ) 一   去   , 贝 q  
g , ( f ):f, ( f )一   1 <0
,  

式、 分式 、 指数 、 对 数和 三角不等式 来求解 , 就  可 达到解决 问题 的 目的.  
27 ?  

?



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