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数学:1.2.1《排列》课件(4)(新人教A版选修2-3)



1.什么是分类计数原理?

2.什么是分步计数原理? 3.应用这两个原理时应注意什么问题?

问题一:从甲、乙、丙三名同学中选出两 名参加某天的一项活动,其中一名同学参加上 午的活动,一名同学参加下午的活动。有多少 种不同的选法?并列出所有不同的选法。
上午 甲 下午 相应的排法 乙 丙 甲 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙

上面问题中被取的对象 叫做元素 从3个不同的元素a、b、c 中任取2个,按照一定的顺 序排成一列,共有多少种 不同的排法?










这里的每一种安排方案就是一个排列。

问题二:从a、b、c、d这4个字母中, 每次取出3个按顺序排成一列,共有多少种 不同的排法?并列出所有不同的排法。

这里的每一种排法就是一个排列。

b
a c d a c b

c d b d b c
b d a d a b

a a a a a a c c c c

b b c c d d a a b b

c d b d b c b d a d

a b c d

c d a d a c b c a c a b

b b b

a a c

c d a

b
b b d d d d

c
d d a a b b

d
a c b c a d

a
d b

d

c
c

d
d

a
b

c

d
d

c
b

a
b

一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。 说明:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也 不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判 断一个问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的 元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫 全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不 遗漏,最好采用“树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题? (1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 (5)以圆上的10个点为端点作弦 (6)以圆上的10个点中的某一点为起点,作 过另一个点的射线 (7)有10个车站,共需要多少种车票? (8)有10个车站,共需要多少种不同的票价?

例2、若从6名志愿者中选出4人分别从事 翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,则 选派的方案有多少种?

例3、有a,b,c,d,e共5个火车站,都有往 返车,问车站间共需要准备多少种火车票?

二、 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 m 元素的排列数,用符号 表示。 An

探究1:如果有排列好顺序的2个空位,从不同的3个 元素a,b,c 中任取2个去填空,那么有多少种不同的 填法呢?
第 1位 第 2位

? 3 ? ( 3 ? 1 ) ? 6 A3
3-1 3 探究2:如果有排列好顺序的2个空位,从不同的n个 元素 中任取2个去填空,那么有多少种不同的 填法呢?
第 1位 第 2位

2

A

2

? n ( n ? 1 ) n

n

n-1

问题3:如果有排列好顺序的m个空位,从不同的n个 元素 中任取m个去填空,那么有多少种不同的 填法呢?
第 1位 第 2位 第 3位 第 m位

······
n n-1 n-2

n-(m-1)

个 数 相

?

m个连续的自然数相乘

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ? (n ? m ? 1)

排列数公式

数 相

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ?(n ? m ? 1)

?

m个连续的自然数相乘

这个公式的特点是: 1、公式右边第一个因数是n;

2、后面每个因数都比前面一个因数少1;
3、总共有m个因数相乘; 4、最后一个因数是n-m+1.

A4 8 8=

×7×6×5

1、公式右边第一个因数是n; 2、后面每个因数都比前面一个因数少1; 3、总共有m个因数相乘; 4、最后一个因数是n-m+1.

A510= 10 ×9 ×8 ×7 ×6
Amn=17×16×15×…×5×4,那么n等于什么 呢?m等于什么呢? ∵A1417=17×16×15×…×5×4, ∴n=17,m=14

A55= 5 ×4 ×3 ×2 ×1 Ann n(n-1) (n-2)×…×3×2 ×1 = n个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n个不同元素的一
个全排列。这时在排列公式中,m=n即是上面公式。 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1 到n的连乘积。正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表 示。所以n个不同元素的全排列公式可以写成 Ann=n!

排列数公式

数 相

A

m n
n

? n (n ? 1) (n ? 2) ?(n ? m ? 1)

?

m个连续的自然数相乘

全排列数

A

? n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) ? ···?3 ?2 ?1 n
简写为

A
A
m n

n

? n ! n

n! ? 规定0!? 1 (n ? m)!

说明:
1、排列数公式的第一个常用来计算,第 二个常用来证明。
2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是 解方程时的隐含条件。

1、选择题 (1)100×99×98×…×89等于 A、A10100 A、11 B、A11100 B、12 C、A12100 C、13 D、A13100 (B) D、以上都不对 ( C)

(2)已知A2n=132,则等于

例1、计算: 6 3 ( 1 )A (2)A6
16

( 3)
2 x

A

4 8

例2、解方程:

A ? 100 A
3 2x

例3、某年全国足球甲级联赛有14个队参加, 每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一 场,共进行多少场比赛? 例4、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少 个没有重复数字的正整数?

课堂小结

1、排列数的定义
2、排列数公式 3、全排列的定义和公式 4、阶乘的定义和公式

几点说明:

1.判断一件事是否为排列关键有两个 要素,一是取出的元素要考虑顺序,二 是事件中没有重复元素,否则就不能按 排列原理求方法数. 2.排列与排列数是两个不同的概念, 前者是指按照一定顺序排成的一列元素, 后者是指所有排列的个数,它可以用排 列数公式进行计算. m 3. An 是表示排列数的符号,解题时 要利用排列数公式算出其具体数值.



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